Considérons Téquation linéaire aux dérivées partielles
, ^ d'Z dz , dz
(i) -r— , ha- h b - -h c^ = o,
^ dx dy ôx * dy
OÙ a, 6, c désignent des fonctions quelconques de x et dey ; elle peut être mise sous Tune ou l'autre des deux formes suivantes :
dz \ , dz , f da\
Introduisons les deux fonctions h et A* définies par les relations
1 h — - — \- ab — c, 1 Ox
\ k ■= - — y- ab — c.
\ dy
Si h est nulle, la première des équations (2) peut se mettre
24 LIVRE IV. — CilAP. II.
SOUS la forme
fdz \ ,{dz \
( - — h a>5 ) -H o ( - — v az] = o
\ày 1 \ày j
â (dz
et, par suite, la détermination complète de toutes les intégrales de l'équation (i) se ramène à l'intégration successive des deux équations du premier ordre
\ âz
intégration qui n'exige que des quadratures.
De même, si k est nulle, la seconde des équations (2) prend la forme
et l'on pourra remplacer l'équation proposée par le système
suivant
iâz-i — r h az-i = o, :
tout à fait semblable au système (4)-
327. Supposons maintenant que h el k ne soient pas nulles : nous allons montrer que ces fonctions jouissent de propriétés d'invariance, qui ont une grande importance dans l'étude de l'équation proposée ; nous envisagerons successivement les substitutions
JZ ^^ f^ z \
^ = y» y = ie'\
qui ne changent évidemment pas la forme de l'équation proposée. Faisons d'abord
\ étant une fonction quelconque de x et de y. L'équation en z
sera
)xdy \ dy I dx \ dx ] dy
\ dx dy ^^ \ dxdyl
On calcule sans difficulté les nouvelles valeurs des fonctions h et A: : o/i trouve ainsi que ces fonctions n^ ont pas changé. Effectuons maintenant la substitution
ar = Q(a?'), yz=^{y').
L'équation (i) deviendra
Les nouvelles valeurs A', k' de h et de A' seront
.g ( >i'=Acp'(^')f(y),
^ \ k'^kr^\x')^'(y').
Enfin la substitution
échangera les valeurs de h et de A*.
Toutes ces propriétés justifient le nom ai invariants que nous donnerons à A et Ar.
328. Lorsqu'on remplace z par \z^ on a, nous l'avons vu, une équation de même forme
à^z ,dz ,,âz ,
-h a 3 — hb -r~ H- c^5 = o,
dxây dx dy
OÙ a' y y y d ont les valeurs suivantes :
dlogX
ck ^a'\'
, __ c^logX dlogX I d*X
" dx ày î dxdy^
et qui admet encore les invariants h et k. On pourra toujo.urs
a6 LIVRE IV. — CHAP. II.
déterminer la fonction \ de telle manière que Ton ait (lo) a'h> — c'= o.
En effet, en remplaçant a', 6', d par leurs valeurs, nous obtiendrons Téquation
qui fera connaître logX par une double quadrature. Nous appellerons équations réduites toutes celles dans lesquelles la relation (lo) sera satisfaite. Il y a une infinité de formes réduites correspondantes à une équation donnée. Pour supprimer cet inconvénient, nous conviendrons de faire la quadrature double indiquée par la formule (ii) de telle manière que o! s^annule pour :r = ^0 quel que soit y^ que V s'annule pour y:=iy^^ quel que soit x. Ces conditions détermineront parfaitement les deux fonctions arbitraires introduites par l'intégration de l'équation (il).
La forme réduite ainsi définie peut se calculer exclusivement au moyen des invariants; car on a, par suite des expressions de h et de A*,
et, par conséquent.
da' , db' ,
(12) a'= f hdx, b'= Ç kdy, c'=a'b'.
Xo «^Xo
Il suit de là que deux équations linéaires ayant les mêmes invariants peuvent toujours se ramener Vune à Vautre par la substitution
Les formules d'identification (9) donneront d'ailleurs ^^ > J^ ■ et, par conséquent, \ sera déterminé à un facteur constant près.
329. On peut encore adopter d'autres formes réduites pour l'équation proposée. Les formules (9) montrent immédiatement
que l'on pourra, par exemple, disposer de \ de telle manière que al s'annule identiquement et que V s'annule pour ^ = j^o- Alors
on aura
da' t r, I t
, db' ,,, , db' ,
ày dy
et, par suite,
La forme réduite serait donc
Il est clair que l'on pourrait, par l'échange de x et dej^, obtenir la forme analogue
dz' OÙ le terme en -r^ a disparu. On reconnaît ainsi que, dans le cas
où les invariants sont égaux, et dans ce cas seulement, on peut ramener l'équation proposée à la forme
