AZ

àxdy

330. Après ces remarques et ces définitions préliminaires, nous allons exposer la méthode de Laplace.

Supposons que les invariants A et A: ne soient pas nuls. Nous pourrons substituer à l'équation proposée (i) deux équations de même forme dont l'intégration entraînera celle de l'équation (i).

Faisons d'abord la substitution définie par la formule

dz ày

L'équation proposée pourra s'écrire

(iG) ~ -^bzx = hz,

L'élimination de z entre ces deux équations conduit, nous Tavons vu, à l'équation nouvelle

OÙ Ton a

. «V dXosh , , da dh . d\ofih

Les nouvelles valeurs des invariants seront

(19) { dxdy

Elles s'expriment, comme il fallait s'y attendre, uniquement en fonction des invariants de l'équation donnée. Effectuons de même la substitution

nous aurons

(21) kz=-' raz-i,

et nous serons conduits pour z\ à l'équation avec les valeurs suivantes des coefficients

, ^. , , dXo^k db da d\os,k

Les valeurs correspondantes des invariants seront

Ainsi, par les deux substitutions indiquées, on déduit de l'équation proposée, que nous désignerons par la lettre (E), deux équations nouvelles (E|) et (E«). On peut évidemment appliquer la

même méthode à ces deux équations ; mais il importe de remarquer qu'elle ne donnera pas deux équations nouvelles pour chacune d'elles. La formule (21), mise sous la forme

kz = -r ha t<3 i,

ày

nous montre que la première des deux substitutions appliquée à l'équation (E| ) nous ramènerait à l'équation proposée dans

laquelle z serait remplacée par -,t et la formule (16) montre de

même que la deuxième substitution, appliquée à (E{), nous ramènerait à l'équation proposée dans laquelle z serait remplacée

Si donc on regarde comme équivalentes deux équations qui se ramènent l'une à l'autre par le changement de z en \z et qui ont, par conséquent, la même réduite et les mêmes invariants, on voit que les substitutions de Laplace appliquées successivement nous donneront seulement une suite linéaire d'équations

..., (E>,), (E-i), (E), (El), (E,), ...

à indices positifs et négatifs, dans laquelle chaque équation (E/) se déduira de l'équation (E/< ) par la première substitution et de l'équation (E/^î ) par la deuxième. Si l'on remplace partout, pour éviter toute confusion, les variables x etj^ par p et pi, et si l'on se reporte à l'interprétation géométrique de la méthode de Laplace donnée au Chapitre précédent, on reconnaîtra que, (E) étant l'équation relative au système conjugué tracé sur la surface (S), (E,) sera l'équation relative au système conjugué tracé sur la surface (S/).

331. Les invariants des équations (E/) se déduisent les uns des autres par l'emploi répété des formules (19) et (24). On trouve ainsi

Ces formules peuvent être résolues par rapport à A/ et Âi; et

elles donnent

ihi = A-/^!,

On pourra d'ailleurs attribuer à l'indice i toutes les valeurs entières, positives ou négatives; on retrouve, par exemple, les formules (19) et (24) en faisant t = o et « =-. — i. On pourrait aussi, au lieu de considérer deux séries de quantités A/ et A:/, introduire seulement les quantités A,-. On aurait alors une suite de quantités

se déduisant les unes des autres par la formule de récurrence ( ^7 ) ^/-i -^ /*/-! = ^ Al- - -j~^- ^

et les invariants de l'équation (E/) seraient hi et A||. L'équation (E) fournira donc les deux termes consécutifs h et A i; et la relation précédente permettra de calculer les autres de proche en proche.

11 est difficile d'obtenir directement l'expression de hi en fonction de h et de A.i . On peut signaler cependant la relation

qui s'obtient par la combinaison linéaire des équations (2^).

Les formules relatives à la substitution par laquelle on passe de l'équation (E/) à l'équation (E) peuvent être écrites sous une forme où ne figurent plus que les invariants des équations intermédiaires. Si l'on se reporte, en effet, aux équations (18), on reconnaît que le coefficient b de l'équation linéaire demeure toujours le même si l'on applique indéfiniment la première substitution. La formule (16) donnera donc, en général,

- ^ bZi =i hi-\Zi-x ôx

fbr/x — ï à Jbdx

LA MÉTHODE DE LAPLACE. 3l

L'application répétée de cette formule conduit à la suivante

qui détermine z en fonction de Zi et de ses dérivées par rapport à X prises jusqu^à Tordre i. En opérant de même avec la formule ( 1 5), on obtiendra l'équation

ôy hi-t ày h dy^

qui fait connaître zi en fonction de :;.

Il existe, évidemment, des formules analogues relatives à la deuxième substitution; il suffira d'ailleurs, pour les obtenir, d'échanger, dans les formules précédentes, tout ce qui se rapporte aux variables x et y.

332. > On peut se proposer un grand nombre de questions différentes au sujet de la suite d'équations linéaires fournie par la méthode de Laplace. Examinons, par exemple, les cas les plus simples dans lesquels la suite sera périodique. Si Ton veut que toutes les équations de la suite soient identiques, il suffira que l'équation (E«) soit identique à (E), c'est-à-dire que l'on ait

hx = /i, k\ = k.

Les formules (19) nous donneront alors

,t = A, ^'iîf-* =0. A = XY.

En adoptant pour nouvelles variables x, y des fonctions convenablement choisies de x et de y, on pourra réduire la valeur de h à l'unité (n® 327). L'équation (E) aura donc pour forme réduite (n« 329)

ôx ôy

On reconnaît, en effet, immédiatement que la méthode de Laplace transforme cette équation en elle-même.

Si l'on veut que les équations (E/) se reproduisent de deux en deux, il suffira que l'équation (E2) soit identique à l'équation (E),

3a LIVRE IV. — CHAP. II.

c'est-à-dire que Ton ait

hi = A, Atj = A.

On est ainsi conduit au système

%k — ih —-p- = o,

Oxoy

d^ losh

ih — 7.k -z — ^ = o,

oxoy

qui doit déterminer h et k. En ajoutant les deux équations, on trouve

dxdy

= o. hk = XY.

Ici encore, en remplaçant les variables x^ y par des fonctions

nouvelles de ces variables, on peut ramener la relation précédente

à la forme

tout se réduira donc à l'intégration de Téquation

â^ \0crh

que nous rencontrerons plus tard dans la théorie des surfaces à courbure constante et dans Tétude d'autres questions de Géométrie. Si l'on pose

elle prend la forme

333. Nous laisserons de côté, pour le moment, l'étude de cette équation et l'examen des questions analogues que l'on peut se proposer relativement à la suite de Laplace, pour nous attacher surtout au problème le plus important, et rechercher dans quel cas la méthode de Laplace peut donner l'intégrale générale de l'équation linéaire proposée. Cette méthode ramène l'intégration de l'équation proposée à celle de l'une quelconque des équations (E/); il suffira donc que l'on sache intégrer l'une de ces équations. C'est ce qui aura lieu, en particulier, si l'un des deux invariants hi ou

ki est nul : il importe seulement de bien définir les conditions

dans lesquelles la méthode réussira.

Supposons d'abord qu'après avoir appliqué une ou plusieurs

fois la première substitution, on rencontre une équation (E/)

d'indice positif pour laquelle un des invariants soit nul; ce ne

pourra être que l'invariant A/, puisque l'invariant ki de cette

équation est égal, d'après les formules (aa), à l'invariant A|< de

l'équation précédente (E/|), qui, par hypothèse, n'est pas nul.

Ecrivons donc

ht == o.

L'application de la méthode de Laplace sera alors arrêtée, et il sera impossible de former l'équation (E/^i); mais l'équation (E/) pourra, nous l'avons vu au n° 326, se mettre sous la forme

et elle admettra l'intégrale première

Oy ^ '"' ■" *^ '

Y désignant une fonction quelconque de y. Une nouvelle intégration donnera la valeur générale de ;;/ qui sera

( 32) zi = e"f''^''' (X ~^f\ e/«'''^-/^' ''-^ dy\ .

Cette solution est de la forme (33) ^, = a(x+J'Y?cO'j,

a et P étant des fonctions déterminées de a; et de j^^ X et Y désignent les fonctions arbitraires, qui dépendent respectivement de la seule variable x et de la seule variable y.

De la valeur de zi on passera à celle de z. Nous avons vu plus haut (n'* 331) que z sera une fonction linéaire et homogène de Zi et de ses dérivées par rapport à x jusqu'à l'ordre i. La forme D. — II. 3

géaërale de la valeur de z sera donc la suivante

A, A« , . . . , A| désignant des fonctions déterminées de x et de y. On voit que la fonction arbitraire Y sera engagée en général sous plusieurs signes d'intégration. Si Ton annule cette fonction, on obtiendra la solution

(35) 2 = AX -t- AiX'-i-. . .-T- A/X'^

qui est moins générale, mais où la fonction arbitraire X est dégagée de tout signe d'intégration.

334. Réciproquement, toutes les fois que l'équation linéaire proposée admettra une solution particulière de la forme précédente, l'application répétée de la méthode de Laplace conduira certainement, après des opérations en nombre au plus égal à e, à une équation linéaire dont l'invariant h sera nul. Pour démontrer ce point essentiel, remarquons que, si l'on substitue une expression de z de la forme (35) dans l'équation proposée, elle prend la

forme

HX -+- H,X'-4-. . .-H H,4iX^'-^»î = o.

Si l'équation doit être vérifiée, comme nous le supposons, quelle que soit la fonction arbitraire X, il faudra que H, H| , . . . , H|+i soient nuls. En effet, si ces expressions n'étaient pas toutes nulles, il suffirait d'attribuer ky une valeur arbitraire dans l'équation précédente, pour obtenir une relation linéaire entre la fonction X et ses dérivées : cette fonction ne pourrait donc être choisie arbitrairement, ce qui est contraire à l'hypothèse.

On calcule aisément les valeurs de H/^i et de H/. On a

If ^^' . A

ôy dx ùy ox dy

On voit donc que la fonction A/ devra satisfaire à Téquation

(36) -^-4-aA/ = o.

En outre, si l'on égale à zéro la valeur de H/ en y remplaçant -^ par sa valeur tirée de l'équation précédente, on trouve

(37) ^^aA,-i = AA/.

Ces points étant établis, appliquons la première substitution, définie par la formule (i 5). On aura

dz 5i = - — y-az ày

et, en vertu de la relation (36), la valeur de z^ ne contiendra plus les dérivées de X que jusqu'à l'ordre i — i au plus. D'ailleurs, d'après la formule (S^), le coefficient de X^'"'^ sera — /«A/. Il ne sera donc nul que dans le cas où l'invariant h le sera.

Par conséquent, l'application répétée de la substitution nous conduira à une équation (Ey), d'indice j inférieur à i, pour laquelle l'invariant h sera nul; ou bien nous finirons par obtenir l'équation (E/) admettant une solution de la forme

Zi = AX.

La substitution directe montre alors que, pour cette équation aussi, l'invariant h est nul. Donc, dans tous les cas, au bout de i opérations au plus, la méthode de Laplace conduira à une équation intégrable.

335. En rapprochant les résultats précédents, on peut parvenir à une proposition précise; mais il faut que nous présentions auparavant quelques remarques sur les expressions de la forme