G) RR

abc

Par suite, les lignes pour lesquelles la courbure totale demeure constante sont définies par l'équation

uv = const.

Or, si Ton désigne par S la distance du centre de Pellipsoïde au plan tangent en un point de coordonnées //, (^, un calcul facile donnera

RR'

abc

Il suit de là que les courbes considérées sont celles que Poinsot a désignées sous le nom de polhodies et qui sont le lieu des points pour lesquels la distance du centre de Tellipsoïde au plan tangent conserve une valeur constante.

Des considérations de Géométrie tirées de la théorie des diamètres conjugués, et auxquelles le lecteur suppléera aisément, mettent en évidence une remarquable propriété de ces courbes :

Si, par chaque tangente à une polhodie, on mène un plan normal à l'ellipsoïde, la section de l'ellipsoïde par ce plan aura un de ses sommets au point de contact de la tangente.

En d'autres termes, les polhodies sont des courbes telles que chaque section normale tangente à la courbe en un de ses points est surosculée en ce point par un cercle.

Nous retrouverons plus loin cette propriété au n® 510.

Avant de commencer l'étude détaillée des lignes tracées sur les surfaces, nous allons donner différents Tableaux contenant les systèmes de formules que nous avons obtenus dans ce Chapitre et dans le précédent.

Tableau I (Chapitre I).

Rotations p^ q^ r\ ps^q^^r^\ translations $, v), o ; Ç|, r^, o : dp dpi â^ d^i

dr âri

dx -r- \du -^ \\dv '\- i q du. -\- q\dv) z — ( r du. -^ rj ds; )/,

(B) ^ dy -i-r^du -^T^xdif -^ i r du~^ ridç)x — ip du-^ pidf)z,

dz -t- { p du -+-p\ dv )y — ( q du -^ qidv ).r .

Courbe tracée sur la surface :

(1) dscosoi ^ ^du -h^idVy ds sïnta = t\ du -i- rudv. Image sphérique de la courbe :

(2) d7 cos^ = q du -^ qidVf d7Sin^=—pdu — Pid\\

(3) di^ - ( p du -^pidv)^-^ (q du-\- qidi>,^ ,

Condition pour que deux directions soient conjuguées :

(4) (pdu-hpidv)(T^ ou -^Tjjop) — ( <7 du -+- qidif)(l 8m -i- $i8p)= o. Lignes asymploliques :

t5) (pri — qi)du*-^( piTii^ qi^i) di^^-i (prti-^piTl — q^i—qil)du dv = o, (6) (p du -+- pidv )s'xinii — ( q du-h q\dv) cosa> — o.

Lignes de courbure :

i i,du-r- ^xdv-^p{qdu-\-qxdv) = o, r t\du-r- r^\dv — ^{p du-^ p\ dv) — o.

Equation différentielle de ces lignes :

(8 ) (p du-T-pidi>)(^ du H- ^idv) — i q du -r- qidv)[ri du -^-T^^dv) — o, (^) (p du -^ pidv) cosoj -i- { q du ~i- q^dv) sinw = o.

Equation aux rayons de courbure principaux :

(10) 9^{pqx— qpx) -^ ?( qrn— qxr, ^ pU— Pxl) -^k^x— rXx^ o.

Courbure totale :

At^ ijix — r^ „^ ^„ àr an

Tableau II (Chapitre I).

Courbure et torsion d'une ligne tracée sur la surface; Ç', r/, IJ', angles de la normale principale ; V, jjl', v', angles de la binormale avec les axes du irièdre (T) :

\ cosÇ' = — sincu sinw, costj' — cosaisincr, cosÇ' = costïj, ( cosA = sinoicosm, cos[jl = — cosuicosm, cosv = sinin,

( 2 ) ds — d(ii -\- r du-\- r\ dv,

(3 ) ds = sinu)(/) du -^pidv) — costo(ç du-^ qydv),

1 dm p du~p\dv g du-hgtdv . i à /costït\

(4) -r =— j-^ cosw — -^ -j-J sinu>= -r- »

^ z ds ds ds a OU) \ p /

cosBj do s'inm fi

p* ds p

. \ d /costn . d /cosTij\"| du.

ds

cosm\ à /'cosnrM ds^

ds

[à /cosm\ d v'cosnrX"!

Centre de la sphère osculatrice (^q, ^q, Zq) :

1^0 ro . dp

— = p SmTiT H-T COSCJ-T-J

— sinoi cosu) ds

do .

Zq — p cosm — T-7- sincT.

Centre de courbure normale (j?o j'i, -^i) :

(7) ^i = ri = o, ;?! =

COSCJ

Centre de courbure géodésique (0:2, JK27 ^2) - ,^ psinto pcosto

(,8) Xi= : , yi= ^-. , ^2=0.

Centre de courbure de la courbe (0:3, y^, z^^) : (9) 3*3 — — p sinoisinro, j'j = p cosco siiiTn, Z3=pcostîT.

Tableau III (Chapitre II).

(i) ds*— X* du* -^C*di^*-{-^ \Ccos a du dv,

(3) î = Acos/w, 7) = Asinm, Çi = Gcosn, Tjt = Csin/i,

dp dpx an 1

dv du ^ ^ du Csinai

d\ àC \

cosaj,

xâiv ) àg dçi dm i /dC d\ \

— ^ =pq\ — qpu A(/>, sinm — ^icosm)— C(/? sin/i — qcosn),

dx -i- X cos mdu-^C cos ndv -^iq du-^qx dv)z — {rdu-^r^ dv)j\ dy -^ K sinm du -^ Q 9\nndv -h {r du-¥- r\dv)x — {p du-hpi dv)js, dz -h(pdu-hpidv)y — {q du-{-qidv)a^,

Ligne tracée sur la surface ;

(4; ds cos oi = A cos m du-^C cos ndVj ds sin ta =\ sïn m du -hCsinndv .

Angle de deux directions :

i ds 85 cos (o) — (»)') = X^du^u -^ AC cos 0L{du ^v -h dv 8a) -h C dv ùi\ i ds ^ssin(iù — eu') = AG sinoL{dv 8w — du Bv).

Directions conjuguées :

( A (^ cos m — psinm) du ^u -h C(qi cos n — pis\nn)di^ùv (6) )

\ -^ A(^iCOsm — pisinm)du 8p ■+■ C{q cosn — p sinn) dv 8a = o.

Lignes asymptotiques :

( A(^cosm — ps'inm) du*

( H-C(yiCosn — pisinn) dv*-h2X(qiCosm — pis'in m) du dv = o.

Lignes de courbure :

l X cos m du -^ C cosn dv -f- p{q du -^ qidv) ~ Oy ( X sin m du -+- Csm ndv — p{p du -^pidv) = o.

Équation diflTérentielle :

\ X{p cos m -h q sinm)du*-h Cipicosn -h qisinn) dv* (g) <

f -h [Xipxcosm-h ^isinm) -h C(p cosn -r- q sin/i)] dudv — o

Rayons de courbure principaux :

( — p[A(/?iCOsm-+-yisin/n) — C(pcos/?-h9r sin/i)]-h ACsina== o,

/dC dX ^ /dX dC^

ACsina d*aL d i du dv j d i dv diû

^"^ RK' ~ ^dïTdi ~5ii \ Â^îiTa J ~ dv \ Gsîîïli

LES FORMULES DE H. COD.iZZI. 385

Tableau IV (Chapitre II).

Coordonnées rectangulaires quelconques :

Ti = O, 5, = O,

1 Xqi-^ G/> = o,

dp dpi dç du

= qri — rqiy

1 I dX

\ G dv

àq àqi dv du

^ rpi — pn,

i I <^C \ A att

dr drx dv du

dx -r- Adu -h(q du T- qidv)z — {rdu-^ ri dv )y^ (B) { dy -r- C dv -^ (^r du -T- ridv)x — {p du -\-pxdv)z^

ds -i-{p du -^pidv)y — (q du -h qidif)x.

Ligne tracée sur la surface :

( x ) ds cos co — ArfM, dssïnb} = C dç.

Directions conjuguées :

(3) A q du ou — Cpidv^v -h Aqi{duQç -f- dv 8m) = o.

Lignes asymptotiques :

(4) Aq du^ — Cpidv^-r (Aqi — Cp) du dv = o.

Lignes de courbure :

i Adu-^p{qdu^ qxdv) = o, ( Q»dv — p{pdu-^ pidv) =i o.

Équation différentielle :

(6) Apdu^-hGqidv*-h(Cq -^ Api)du dv = o.

Rayons de courbure principaux :

(^> . P*(£-£j-P(A;>.-G^)4.AG^o,

^^ RK' "" du\A du) dv\Cdv}^

(9) AG(±^i,)=A/,.-G7

Tableau V (Chapitre II).

Système de coordonnées formé par les lignes de courbure (i) Ç-^A, Ti = o, Ei=o, T)i=G, /> = o, <7i=o,

, -r A, Ti = o,

El=0, T)|=G, /> = o,

1 dX """"Cdi'

àpt

du= ^'•«

i dC ''^^ Xdu'

dq

dï= 'P'^

dr dry

d, du = "^^'^

d /i dpt'\ d / i dq du \Q du / dv \ Pi dv

Directions conjuguées :

(%) Xqdu^u — Cpidi^ùç = o.

Lignes asymptotiques :

(3) Xqdu^—Cpidv^^o, —^ 1 — = o.

Rayons de courbure principaux :

' dv ^ ôv du ^ du

Ligne tracée sur la surface :

Kdu Cdv

COS W = i — y Sin (I) = — -, — 9

ds ds

,„, COS m cos*a) sin'w

/ V i dm / i i \ .

(7) ___=(^___js.na.cosa.,

cosm dp sincy /a o^'^N

p* (S P \ t ds J

"*" ^ du ds* ^ dv ds^ ds ^* dw ds ds^ ^* c^t» cT^»

Tableau VI (Chapitre II).

Coordonnées symétriques :

l dx-h \{du-\-dsf) -\-{qdu -^ qidv)z — ( r du -r- ridv)y,

(B) < dy-^i'k{dv — du)-r-(rdu -h ridi>)x — (p du -h pidv)z,

\ ^- ■^{pdu-hpidif)jr — {qdU'^qidv)x,

Directions conjuguées :

(3) {q-hip)duou-\-(qi— ipi) dif ^v -^ {q ^ ip)(du^v -h dv ^u) = o. Lignes asympto tiques :

(4) (q -^ ip) du^-^ (qi— ipi) dv*-^ i{q ^ ip) du dv = o.

Lignes de courbure :

... K '>^idU'¥-dv)-r-p{qdu-h qidv)z=o^

{ i'k{du — dv)'^p{pdU'hpidv) = o.

Équation difTérentielle :

(^) (p — iq)du^ -^ (pi-^ iqi)dv* = o.

Rayons de courbure principaux :

(7) P^iPqi — qPi) — Àp(/?, —p — iq — iqi) 4- 2iX2 = o,

/ON 1 __ ï <^'log^

^ ^ RR' ~ X« di£c^p *

Courbe tracée sur la surface :

/ \ ,-,» a^ du :k\dv

(9) ^'"=-5r' '-""^-dT'

(.0) { ^ \ du dv )