ET LA THÉORIE DES LIGNES GÉODÉSIQUES
Équations du mouvement dans le plan. — Définition d'une famille de trajectoires. — Équation aux dérivées partielles de Jacobi. — Usage que l'on peut faire d'une solution particulière, d'une solution complète. — Théorèmes fondamentaux de Jacobi. — Détermination des solutions de l'équation aux dérivées partielles par différentes conditions initiales. — Des systèmes orthogonaux formés avec une famille de trajectoires. — Application au mouvement des corps pesants. — Théorème de MM. Thomson et Tait. — Principe de la moindre action pour le cas des mouvements plans. — Principe d'Hamilton. — Correspondance établie entre le plan et une surface de telle manière que les trajectoires du mobile dans le plan correspondent à des lignes géodésiqucs de la surface. — La solution de tout problème de Mécanique fait connaître une infinité de systèmes orthogonaux dans le plan. — Brachistochrones. — Quelques résultats généraux relatifs aux cas où l'on associe des trajectoires qui ne correspondent pas à une même valeur de la constante des forces vives. — Généralisation de ces résultats et application à la théorie des surfaces minima.
538. Dans les deux Chapitres précédents, nous avons établi uq ensemble de propriétés des lignes géodésiques. Nous les avons définies d'abord par la propriété de leur plan osculateur, ce qui revient à les considérer comme les trajectoires d'un point qui se meut sur la surface sans être soumis à l'action d'aucune force; puis, par des considérations entièrement élémentaires, nous avons rattaché à cette définition les propriétés d'orthogonalité et de minimum. Il nous a paru intéressant d'appliquer la même méthode à l'étude de tous les . problèmes de Mécanique dans lesquels il existe une fonction des forces. Pour mettre en évidence la simplicité des raisonnements, nous commencerons par les mouvements qui s'efiectuent dans un plan.
On a alors les équations
^'^ dt^ ~ dx' df^ ^ dy'
dont la dernière est l'intégrale des forces vives. Si nous regardons la constante des forces vices comme donnée, les intégrales des équations précédentes admettent seulement deux constantes arbitraires, en dehors de celle que l'on peut ajouter au temps. En d'autres termes, la trajectoire du point matériel sera déterminée par la condition de passer par un point et d'y avoir une tangente donnée. En effet, si l'on compte le temps à partir du moment où le mobile passe en ce point, la condition énoncée
détermine les valeurs initiales de x, y, -~; et, comme l'équation
des forces vives donne les valeurs de -7- > -^ en fonction de -r- > on
dt dt dx
peut calculer les valeurs initiales de ^> ~ • Le mouvement est donc complètement déterminé. Remarquons que l'on a pour-^>
-^ deux systèmes de valeurs égales et de signes contraires, qui
correspondent à la même trajectoire, parcourue dans les deux sens. On peut, du reste, obtenir par un calcul facile l'équation différentielle des trajectoires. On trouve, en effet, en combinant les équations (i),
dxd*y — djrd^x = (-^dx^ --dyjdfl,
et, en remplaçant dt^ par sa valeur tirée de l'équation des forces vives,
dx^ -H dy'^
(3) dxd^y-dyd^x=(^^dx^^^dy^^
Celte relation ne change pas de forme, on le reconnaît aisément, quand le temps cesse d'être la variable indépendante; elle constitue donc l'équation différentielle des trajectoires qui correspondent à une valeur donnée de la constante des forces vives. Gomme elle est du second ordre, on voit que les trajectoires dépendront de deux constantes seulement; mais elle est de plus linéaire par rapport aux différentielles du second ordre et, par conséquent, une trajectoire sera pleinement déterminée par la condition de passer en un point et d'y avoir une tangente donnée.
Parmi tous les mouvements correspondants à une même valeur de A, considérons tous ceux dont les trajectoires satisfont à une
condition, par exemple passent par un point, sont normales à une courbe, etc. Ces trajectoires formeront une famille de courbes qui dépendra d^un seul paramètre; il en passera un nombre limité par chaque point du plan. Soit
M dx-hîi dy = o
Péquation différentielle de cette famille de courbes. En tenant
compte de l'équation des forces vives, on pourra exprimer ^, -^en fonction de j; et de j' ; on aura
cte __ dy __ dt ^^(IJ -¥- h)
On peut donc considérer ^> ^ comme des fonctions de x et
de^. En les substituant dans les équations (i) et (2) et en les désignant, pour abréger, par x' etj^', on aura
(4) ar'«-+-/« = 2(U-+-A),
dx[ dV ^y ^ .
dt "^ dx^ dt ~' dy*
OU, en remarquant que x'y y sont exprimées en fonction de j: et de 7,
\ dx dv àx^
\ dx oy' dy
L'équation (4) nous fournit, parla différentiation, les valeurs
j du au
suivantes de 3— » x~
àx oy
dU ,dx' .ày au ,dx' ,dy
dx dx dx dy dy '' dy
Si nous portons ces valeurs dans les équations (5), nous aurons
Ces deux équations, qui se ramènent l'une à l'autre, expriment que x', y, considérées comme fonctions de x et de^, sont les dé-
LES MOUVEMENTS DANS LE PLAN. 44l
rivées d'une même fonction. On peut donc poser et 8 devra satisfaire à Vunique équation
Les équations (6) nous montrent que les trajectoires du mobile coupent à angle droit toutes les courbes 8 = const. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Etant donnée une famille quelconque de trajectoires du mobile, les courbes qui les coupent à angle droit sont définies en égalant à une constante une solution de V équation (']) et les composantes de la vitesse du mobile sont données en chaque point par les formules (6).
Réciproquement, toute solution de l'équation (7) définit une famille de trajectoires qu'on obtiendra par l'intégration de l'équation
(8) ^da:--djr = o,
539. Si l'on n'a qu'une solution particulière, sans constante arbitraire, de l'équation aux dérivées partielles, on n'obtiendra qu'une famille de trajectoires. Pour trouver toutes les trajectoires du mobile, il faut donc connaître une solution 8 contenant au moins une constante arbitraire. Nous allons montrer ici encore qu'étant donnée une telle solution il n'y aura aucune intégration à faire pour obtenir toutes les trajectoires.
Soit, en effet.
une solution de l'équation (7), contenant une constante arbitraire
dx ày
a qui figure dans l'une au moins des deux dérivées ;p> 3-' On
aura, en différentiant l'équation (7) par rapport à a,
Cette équation exprime que les courbes
0 = const., -r- = coDst.
oa
se coupent à angle droit. Donc les trajectoires du mobile auront pour équation
On le verrait encore en remarquant que Pidentité (g) peut
aussi s'écrire
d^dx d^^ dy ±l^\ a dx dt dady dt ~ ~~ dt\da)'
da
DifTérentions maintenant l'équation (7) par rapport à A, nous aurons
dh dx ôx dh dy dy
OU encore, en vertu des équations (6),
c^«6 dx d»0 dy dhàx dt dhOy dt
L'intégration des deux membres nous donne
