PREMIERE LEÇON

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De l'élasticité. — Des corps solides homogènes. — Origine el principe! théorie de l'élasticité. — Des forces élusliqucs.

§ 1. — Lorsque les molécules de la matière constituent Dénniiiou un corps ou un milieu, limité ou indéfini, les causes qui llulél " slk " <; ont assigné à ces molécules leurs positions relatives sont en quelque sorte persistantes, ou agissent continuellement; car, si quelque effort extérieur change un peu et momentanément ces positions , les memes causes tendent à ramener les molécules à leurs places primitives. C’est cette tendance ou cette action continue que l’on désigne sous le nom d’élasticité.

L’ élasticité a une limite. Quand l’effort extérieur a trop changé les positions relatives des molécules, ou lorsqu’il a trop longtemps exercé son action, le corps reste déformé; c’est-à-dire que les molécules ne reprennent plus leurs anciennes places et s’arrêtent dans de nouvelles positions. Les déformations permanentes sont dues aux mêmes causes que l’élasticité , mais ce sont des effets d’une autre nature et que nous n’étudierons pas. La plus grande intensité ou la plus

Définition dos rorps solides homogènes.

a “ LEÇONS

faible durée de l’cflbrt extérieur, qui n'amène pas une déformation permanente , sert de mesure à la limite de l’élasticité. Cette limite est rapidement dépassée dans les fluides et certains corps solides, mais elle n’est réejlement nulle pour aucun milieu.

L’élasticité est donc une des propriétés générales de la matière. Elle est, en effet, l’origine réelle ou l’intermédiaire indispensable des phénomènes physiques les plus importants de l’univers. C’est par elle que la lumière se répand, que la chaleur rayonne, que le son se forme, se propage et se perçoit, que notre corps agit et se déplace, que nos machines se meuvent, travaillent et se conservent, (jue nos constructions, nos instruments échappent à mille causes de destruction. En un mot, le rôle de l’élasticité, dans la nature, est au moins aussi important que celui de la pesanteur universelle. D’ailleurs la gravitation et l’élasticité doivent être considérées comme les effets d’une même cause, qui rend dépendantes ou solidaires toutes les parties matérielles de l’univers, la première manifestant cette dépendance à des distances considérables, la seconde à des distances très-petites.

§ 2. — Dans le Cours actuel , nous n’étudierons les effets de l’élasticité que sur les corps solides homogènes. Il importe de définir ici le genre d’homogénéité que nous admettons. On appelle généralement homogène un corps formé par des molécules semblables, simples ou composées, qui ont toutes les mêmes propriétés physiques, et la même composition chimique; nous supposons, de plus, qu’elles occupent des espaces égaux , et nous appelons système moléculaire l’espace élémentaire et de forme polyédrique, qui appartient à' chaque molécule ou qui la contient seule. D’après cela , les corps homogènes que nous considérons sont ceux dans lesquels une droite L, de longueur appré-

sun l'élasticité. 3

ciable et de direction déterminée, traverse le même nombre n de systèmes moléculaires, en quelque endroit qu’elle

soit placée; le rapport — peut d’ailleurs varier avec la direction de la droite L.

Cette définition de l’homogénéité embrasse les corps solides cristallisés, quelle que soit la forme, régulière, semirégulière ou irrégulière, de leur molécule intégrante; le

rapport — peut alors avoir des valeurs très-dilïérentes ,

suivant les diverses directions. Dans les corps homogènes non cristallisés, tels que les métaux, le verre, on admet

que le rapport — varie très-peu, ou ne varie pas sensiblement; c’est-à-dire que ce rapport peut être considéré comme indépendant de la direction de L. Cette hypothèse exige que« soit très-grand, quelque petite que soit la ligncL : car il est impossible de distribuer un nombre fini de points

matériels, de telle sorte que le rapport — soit constant. Mais

on verra qu’il peut exister, dans un corps solide, une telle distribution régulière des molécules , que les effets de l’élasticité soient complètement indépendants de la direction des axes de symétrie; lorsque ce mode de distribution a lieu, le corps solide est homogène et d’élasticité constante . Celte dernière définition ne repose sur aucune abstraction; et le nombre n peut être quelconque, petit ou grand.

11 importe souvent de considérer d’abord un corps solide dans son état d’homogénéité absolue, avant qu'aucune action étrangère ait mis enjeu son élasticité; que cette action provienne d’efforts exercés à la surface même du corps, ou qu’elle soit le résultat d’actions à distance. En un mot, l’état primitif supposé est celui du corps solide complètement libre, et même soustrait à l’action déformatrice de la pesanteur, tel qu’il serait, par exemple, en tombant libre-

Origine

«le In théorie île l'élasticité.

ment dans le vide. Un corps solide pesant, rendu immobile, n'est plus dans cet état d'homogénéité absolue; s’il est. suspendu par un fil , ou placé sur un support, l’élasticité y a développé des forces intérieures et d'intensités différentes, qui maintiennent au repos ses diverses parties; en réalité, sa densité n’est plus uniforme. Toutefois, pour presque tous les corps solides, pour ceux surtout que nous avons principalement en vue, la déformation qui résulte de l’action de la pesanteur sur ces corps seuls est tout à fait insensible ; c’est-à-dire qu'en retournant l’un d’eux , pour le faire reposer successivement sur ses différentes faces, on ne peut distinguer aucune différence dans sa forme aux diverses stations. La théorie indique d’ailleurs en quoi consistent ces déformations, dont l’existence est réelle, et donne les moyens de les calculer. Ces définitions et ces notions préliminaires étant établies, on peut aborder, comme il suit, la théorie mathématique de l’élasticité considérée dans les corps solides.

§ 3. — Dans la théorie de l’équilibre et du mouvement des corps solides, on considère ces corps comme ayant une rigidité parfaite; on suppose que les distances des points d’application des forces restent invariables, quelque intenses que soient ces forces. Cette abstraction suffit pour les problèmes qu’on a en vue, et simplifie leurs solutions sans troubler leur rigueur, excepté dans quelques cas trèsparticuliers. Mais cette hypothèse laisse ignorer la loi suivant laquelle se transmet, d’une partie à l’autre du corps solide, l’influence réciproque qui fait détruire l’action d’une force par celle des autres; c’est cependant un phénomène important et qui a ses limites , bien nécessaires à connaître, puisque, quand les forces qui se font équilibre par l’intermédiaire solide acquièrent un degré suffisant d’intensité, le corps, après avoir plus ou moins changé de forme, finit par

suit L’ÉLASTIcmi. 5

se briser. C'est la nécessite d’étudier ce phénomène cl d éviter, dans les constructions, les ruptures et les déformations permanentes, qui a donné naissance à la théorie mathématique de l’élasticité des solides; théorie que les géomètres ont étendue à la recherche des lois que suivent les petits mouvements, on les vibrations des milieux élastiques.

Un corps solide peut être considéré comme le lieu géométrique d’un nombre infini de points matériels, lequel se distingue du reste de l’espace par plusieurs propriétés mécaniques. Lorsque le solide est à l’état de repos relatif, les points matériels qui le composent sont sollicités par des forces, ou nulles, ou qui se font équilibre. Mais, quand on exerce un effort à la surface, celle-ci entre en mouvement, l’ébranlement se communique aux molécules intérieures, le solide se déforme légèrement cl se constitue bientôt dans un nouvel état d’équilibre. Ce phénomène, très-sensible sur certains corps, exigerait des instruments délicats pour être constaté sur d’autres, mais il existe pour tous. Les points matériels placés à la surface, et qui reçoivent l’action immédiate d’une pression , transmettent cette pression aux molécules intérieures du solide et éprouvent de leur part une pression égale, qui maintient leur nouvel équilibre; les molécules de la seconde couche exercent sur les molécules placées à une plus grande profondeur une action analogue. Ainsi se propage, suivant une loi inconnue, la pression exercée à la surface, jusqu'à ce qu’elle soit détruite par un obstacle contre lequel s’appuie le solide. Quand la pression extérieure cesse, les pressions intérieures cessent aussi , et tout finit par rentrer dans l’état primitif, si toutefois l’effort extérieur n’a pas dépassé une certaine limite.

Soit un corps cylindrique aux bases duquel on applique des tractions égales et opposées; il s’allonge légèrement et l’équilibre sc rétablit ensuite. La traction exercée aux

extrémités s’est propagée dans l'intérieur du cylindre : eu effet, si l’on imagine une section perpendiculaire aux arêtes, il est nécessaire, pour le nouvel état d’équilibre, que la partie du corps placée d’un côté de la section attire celle qui est placée de l’autre côté, et soit attirée vers elle, par une force égale à la traction exercée à chaque extrémité. Si celle-ci était remplacée par une pression, le cylindre, au lieu de s’allouger, se raccourcirait, et la partie du corps placée d'un côté de la section exercerait sur l’autre, et éprouverait de sa part, une action répulsive égale à la pression exercée à chaque extrémité. Enfin, si l’on fait cesser les tractions ou les pressions extérieures, les attractions ou les répulsions intérieures cessent également, et le cylindre reprend sa grandeur primitive.

Les changements déformé d’un corps solide, c’est-à-dire les variations des distances respectives des points matériels qui le composent, sont donc toujours accompagnées du développement de forces attractives ou répulsives entre ces points. Ces variations et ces forces naissent, croissent, décroissentet s’annulent en même temps; elles sontdouc dans une dépendance mutuelle. C’est cette dépendance dont il s’agit de trouver les lois. Or les propriétés d’un corps solide ne pouvant dépendre que de celles des points matériels qui le composent, eux seuls doivent être considérés comme les foyers d’où émanent les forces intérieures dont nous venons de parler. On a donc le principe, ou, si l’on veut, le résultat que voici.

Principe § 4. — Un corps solide, à la surface duquel ne s’exerce ’ d Véiasucité. d * aucune pression et dont les molécules ne sont sollicitées par aucune force extérieure, est le lieu d’une infinité de points matériels infiniment rapprochés, mais qui ne se touchent pas, équidistants si le corps est homogène , et qui jouissent les uns à l’égard des autres de la propriété sui-

vante : »i , eu venu d’uu ellbrt ou d’une action extérieure qui vient à naître tout à coup, deux points matériels pris au hasard, mais suffisamment voisins, se rapprochent ou s’éloignent l’un de l’autre, il en résulte entre ces deux molécules une action ou force, répulsive dans le premier cas, attractive dans le second, qui est une fonction de la distance primitiv e £ des deux molécules, et de 1 écartement A£, c’est-à-dire de la quantité dont elles se sont rapprochées ou éloignées. Cette fonction, pour un même corps, est nulle, quelle que soit la distance £, lorsque l'écartement A£ est nul ; elle décroît rapidement, quel que soit l’écartement , dès que la distance £ acquiert une valeur sensible, puisque toute adhésion cesse entre deux parties d'un même corps séparées par une distance appréciable. Selon que cette fonction variera plus ou moins rapidement avec l’écartement , les mêmes forces extérieures produiront un changement de forme moins sensible dans le premier cas, plus sensible dans le second. La théorie développée dans ce Cours s’applique au cas où les changements de forme résultant des actions extérieures sont extrêmement petits, soit que les actions aient de faibles intensités, soit que les corps considérés aient une grande rigidité. Alors la fonction de l'écartement A£, et de la distance se réduit au produit de la première puissance de l’écartement par une fonction de £ , [ F (£)], qui est insensible dès que £ est appréciable.

Dans ces circonstances, soient {Jig. 1) M, M' les positions primitives de deux points matériels; 1/1, m' leurs nouvelles positions; MM'= si l’on mène, par m, une droite mfj. égale et parallèle à MM', l’écartement A£, ou la différence des deux distances mm et «tfx, peut être exprimée par la projection de \iiil 1 sur mm ', car um' est supposé extrêmement petit par rapport à mm' ou ce qui doit être, si 1 on ne considère que des déformations très-faibles. L’écar-

Définition do la force élastique.

temenl A£, ainsi exprimé par la projection dont jl s'agit, aura le signe -f- si les molécules se sont éloignées, le signe — si elles se sont rapprochées. La grandeur insensible de £ n’est pas ici une objection : car si £ était considéré comme un infiniment petit du premierordre, A£ serait infiniment petit par rapport à £, ou un infiniment petit du second ordre.

§ 5. — Soit {fi g- 2 ) M une molécule intérieure du solide. Imaginons : i° la sphèreS, dont le centre est en M, et qui a pour rayon la plus grande distance £ au delà de laquelle F (£) est insensible, distance-limite qu’on appelle rayon d’activité de l’action moléculaire; 2 0 par le point M un plan quelconque LN , lequel partage la sphère S en deux hémisphères SA, SB; 3° au point M un élément superficiel extrêmement petit ct , sur le plan LN ; 4° enfin , dans l’hémisphère SB un cylindre droit , très-délié, ayant et pour base. Par suite de la déformation générale, les molécules contenues daus l’hémisphère SA exercent des actions sur les molécules du cylindre. La résultante dE de toutes ces actions est ce que nous appellerons la force élastique exercée par SA sur SB, et rapportée à l’élément-plan ct. Cette résultante sera, en général, oblique à l’élément-plan ct ; si elle est normale à cet élément, et dirigée vers l’hémisphère SA , elle représente une traction. Si , encore normale à ct, elle est dirigée vers SB, elle représente une pression; c’est-à-dire que SA attire le cylindre dans le premier cas, et le repousse dans le second. Si la force élastique ctE, ou la résultante qui vient d’être définie, est parallèle à l’élément ct, elle tend à faire glisser le cylindre parallèlement au plan LN ; on lui donne alors le nom de force élastique tangentielle.

Pareillement, si lecylindre est si tuédans l’hémisphère SA, la résultante des actions exercées sur les molécules de ce cy-

sun l’élasticité. 9

limite, par les molécules de l'hémisphère S15, est la force élastique crF/ exercée par SH sur SA , et rapportée à l’élément— plan u. Si le corps , légèrement déformé, est en équilibre d’élasticité, les deux forces élastiques giE, gjE', doivent être égales en intensité, et de directions contraires ou opposées. Mais elles représentent toutes les deux, ou des tractions, ou des pressions, ou des forces tangenti elles; c’est-à-dire que si l’une est une traction , l’autre sera pareillement une traction directement opposée à la première.

La force élastique csE, considérée par rapport aux éléments-plans gj, menés, tous parallèles entre eux, par tous les points du corps, variera en intensité et en direction, d’un de ces points à un autre; de plus, au même point M, elle variera avec l’orientation de l’élément-plan ci, ou avec les deux angles de direction de la normale à cet élément. Ainsi E, et ses deux angles de direction 4>, sont en réalité, dans le cas de l’équilibre d’élasticité, des fonctions de cinq variables, savoir : les trois coordonnées x, y , z du point M, et deux angles ® et , propres à déterminer la direction de la normale à l’élément rs. S’il y a mouvement intérieur, c’est-à-dire si la déformation s’opère, ou si le corps vibre, le temps t est une sixième variable que devront comprendre les trois fonctions.

Quelques mots sont ici nécessaires pour définir les deux angles d’une direction. On indique complètement la direction d’une droite, à l’aide de deux angles seulement, par le système, bien connu , de la latitude et de la longitude. L’axe des z étant l’axe polaire, le plan des xy celui de l’équateur, et le plan des zx le premier méridien, la droite, partant de l’origine, se trouve dans un méridien dont la longitude est <J>, et fait avec l’équateur l’angle çp, appelé latitude.

Si l’on imagine la sphère de rayon i dont le centre est à

l’origine, la droite rencontrera celle sphère en un point dont les coordonnées seront

x = C0S(J) cosj/, y = cos y sin ij/, s = sin j ;

la direction de la droite étant complètement déterminée quand ces coordonnées sont connues, toute quantité qui dépend de cette direction sera implicitement fonction de (cosçp cos <£, cos 9 sintp, sin 9), et ne contiendra pas les angles 9 et ÿ d’une attire manière; elle satisfera ainsi aux deux conditions essentielles, de ne pas changer quand tp augmente d’un multiple de 2-, et de 11e plus contenir 1]/

quand 9 = ± -•

Soient n?X, cjY, raZ, les trois composantes orthogonales de cjE, dirigées suivant les trois axes coordonnés; X , Y, Z , se déduiraient facilement de E, < 1 > , *P; réciproquement, ces dernières fonctions seront, déterminées, si X, Y, Z le sont; or il est plus commode de considérer ces trois dernières fonctions. Ainsi X, Y, Z, sont, en général, des fonctions de six variables (x, j, z, 9, i|>, Z), qui , si elles étaient déterminées , d'après les circonstances qui président à la déformation du corps , permettraient d’assigner à chaque instant , et en chaque point du solide, la direction et l’intensité de la force élastique qui s’exerce sur tout élément-plan passant par ce point. La détermination de ces fonctions, et l’étude de leurs propriétés, font l’objet principal du Cours actuel; on verra que ce problème général revient à déterminer trois fonctions de quatre variables seulement.

On peut donner de la force élastique une autre définition , en apparence plus simple que celle qui précède. Le corps solide, légèrement déformé , étant en équilibre d’élasticité, imaginons qu’il soit coupé par un plan LN en deux parties A et 11 ; la suppression de A détruirait évidemment l’équilibre de 11; mais on conçoit que cet équi-

suit L’ÉLASTICITÉ. 1 I

libre pourrait être conservé, si l’on appliquait eu même temps, sur chaque partie us du plan sécant, une force oE d’intensité et de direction convenables. Or cette force gjE est précisément la force élastique exercée par A sur lî , et rapportée à l’élément-plan a dont le point M fait partie. La fo rce élastique, ainsi déiinic, est analogue à la tension en chaque point d’un lil en équilibre, ou plutôt, la tension du (il est un cas particulier de la force élastique.

Mais si cette définition est plus rapide, elle ne donne pas une idée bien nette de la force élastique, et sous ce point de vue, sa simplicité n’est qu’une pure illusion. Quand on dit qu’une force est appliquée à la surface d’un corps, on se sert d’une expression très-vague, qu’un long usage et son adoption générale n’ont pas rendue plus claire. Si l’on cherche à se rendre compte de la manière dont la pression d’un gaz.se communique à la surface d’un corps solide, bien des doutes et des difficultés se présentent à l’esprit. On ne saurait admettre le contact immédiat des molécules gazeuses et des molécules du solide; on est conduit à concevoir une force répulsive, que le solide oppose à sa pénétration, émanant, non-seulement des molécules de la première couche solide , mais aussi de celles des couches intérieures et voisines, s’exerçant, non-seulement sur la première couche gazeuse , mais aussi sur des couches plus éloignées. Ou arrive de la sorte à regarder la pression communiquée comme une résultante d'actions moléculaires, de même nature que la force élastique, telle qu’elle résulte de notre première définition. S’il en est ainsi , n’y a-t-il pas lieu de douter que la densité du lluidc, dans la zone voisine du solide, soit la même qu’au loin ? et ce doute ne s’étendil pas aux résultats obtenus dans les expériences sur les gaz?

Quand on analyse le mode d’application d’une traction à la surface d’un solide , on est encore conduit à concevoir des

forces entre des couches éloignées. Plus généralement , tous les effets qui ont lieu au contact des corps , et même le sens du toucher, ne peuvetft s’expliquer d’une manière satisfaisante qu’en faisant concourir l’action mutuelle des couches internes. Ainsi, la première définition que nous avons donnée de la force élastique , non-seulement est seule complète, mais en outre peut servir à l’explication d’autres phénomènes. Toutefois, nous adoptons la seconde : éclaircie par les considérations précédentes, appuyée sur l’analogie avec les tensions, elle fait pressentir, en peu de mots, le rôle important des forces élastiques dans les phénomènes qui nous occupent.

SUR l.’ ÉLASTICITÉ.