DEUXIÈME LEÇON

Équations générales de 1 élasticité. — Équilibre du parallclipipède et du tétraèdre élémentaires.— Équilibre d’une portion finie d’un milieu solide.

§ 6. — L’objel principal de cette Leçon est de faire voir que les trois fonctions X , Y, Z, des six variables x, y, s, © , ip , t (§ 5), dépendent uniquement de six nouvelles fonctions de quatre variables seulement (,r,j', z, f); et que, en outre, ces nouvelles fonctions sont liées entre elles par trois équations aux différences partielles, linéaires et du premier ordre. Cette dépendance, et ces relations, résultent de la nécessité qu’une portion quelconque du solide, légèrement déformée, soit en équilibre, sous l’action des forces élastiques exercées sur la surface , et des forces qui sollicitent la masse. La densité du milieu solide étant p , w étant l’élément de volume dont le point M fait partie, nous désignerons par pwX 0 , /swYo, G(i)Z 0 , les composantes, suivant les axes coordonnés, de la résultante des forces qui sollicitent la masse de l’élément w. Si le corps est en équilibre d’élasticité , ces forces se réduisent à la pesanteur , ou plus généralement à des actions émanant de points extérieurs. Mais , si le milieu est agité , soit qu’il se déforme , soit qu’il vibre, les composantes X 0 , Y 0 , Z 0 doivent contenir, en

outre , les forces d’inertie : — -d-, Dans le

’ dt 2 dt 2 dt 2

premier cas , l’équilibre est réel ; dans le second , il n’est que

fictif, et résulte de l’application du principe de d’Alembert.-

¥ Nous adoptons ici l’expression, récemment introduite,

de force d'inertie, à cause de la facilité qu’elle donne, pour

Do l’équilibre d'élasticité.

Equilibre (lu pAntUélipfpède élémentaire.

traiter à la fois les questions de l’équilibre et celles du mouvement. Quant aux idées qui ont dicté cette expression, ou qu'elle amène à sa suite , ce n’est ici le lieu, ni de les exposer ni de les apprécier. Elles se rattachent d’ailleurs au système général de revirement qu’on vient de faire subir à renseignement de la Mécanique , et il faut confier au temps le soin de justifier ou de critiquer ce qui se rapporte à ce système. Tous ces changements sont , au fond, très-indidérents pour les savants qui ont soigneusement étudié toutes les parties de la Mécanique rationnelle : ils savent, par d’Alembert, Lagrange, et les géomètres de leur école, que les questions de l’équilibre, et celles du mouvement, sont intimement liées les unes aux autres , qu’elles composent deux parties d'un même tout, et sont comprises dans une même formule générale. Or, que l’on débute par exposer la * Statique, pour s’élever ensuite à la Dynamique , ou que l’on parte des notions du mouvement, pour arriver aux lois de l’équilibre , ces deux marches inverses sont équivalentes , pourvu que l’on parcoure avec soin toute la carrière, dans un sens ou dans l’autre, sans négliger la fin plus que le commencement. Reste à savoir si, pour les étudiants qui sont forcés de s’arrêter en route, il est préférable d’avoir des idées saines en Dynamique , et de très-obscures en Statique, ou, au contraire, de connaître à fond les lois de l’équilibre, et fort peu celles du mouvement. L’expérience ré-

§ 7. — Imaginons, dans le milieu solide, uti élément parallélipipédique w = rlxclytlz, dont les côtés soient parallèles aux axes , et dont le sommet le plus voisin de l’origine soit M ; désignons par A , B, C les trois faces dont les aires sont respectivement

rt, — dfdz, tat — dztlx, ra, = dxdy.

SU K l’élasticité. I 5

et qui forment l'angle triée] re en M ; par A', 15', C' les faces aboutissant à l’angle trièdre opposé. L’élément w doit être en équilibre sous l’action des forces élastiques exercées sur ses six faces, et des forces qui sollicitent sa masse pw ou otlxrlytlz. Afin d’exprimer cet équilibre, soient, pour le point M : gj,X,, u, Y,, gj,Z, les valeurs particulières des composantes de la force élastique quand l’élément-plau ci est perpendiculaire aux x, ou pour y — o, = o; ct s X,, ni, Y,, djZi les valeurs que prennent les mêmes composantes quand a est "perpendiculaire aux y, ou pour ç = o,

ifi = enfin, a 3 X 3 , d 3 Y 3 , ci 3 Z s les valeurs de ccs composantes quand üs est perpendiculaire aux z , ou pour o — ~ Les neuf quantités X,, Y, , Z, sont des fonctions de

quatre variables seulement (x, y, z , /). Le plan de xz, séparant le milieu en deux parties, n,X, , ci, Y,, ci, Z, sont les composantes de la force élastique, exercée par la partie du milieu la plus éloignée de l'origine sur celle qui contient celte origine 5 et il résulte du § o que les composantes de la force élastique exercée par la seconde partie sur la première seront

• BT/ Y" / , CT/ Z | .

Cela posé, écrivons les six équations d’équilibre de l’élément solide m. Evaluons, pour l’égaler à zéro, la somme des composantes, suivant l’axe des x, de toutes les forces appliquées à cet élément : les faces A et A' fourniront à

cette somme les deux termes — ct,X,, -(-ci, ^X,-f- >

dont 1 ensemble se réduit au terme unique iù —— : le groupe

des faces 15 et 15' donnera w'—r— 5 celui de C et C',

tir

,lz ’

enfin, les forces qui agissent sur la masse c o> ajouteront un

dernier tenue pwX 0 . Ce qui donne, en divisant par «, la première des équations (i) ; les deux autres résultent d’une sommation semblable, des composantes parallèles aux j', puis de celles parallèles aux z :

dX,

dY,

dX, (l X dY ,

pX„ = o,

dx rfT + pY " = °’

d Z, d Z, r/Zj „ •

Les trois équations dites des moments expriment, comme on sait, que le solide ne peut tourner autour d’un axe successivement parallèle aux trois coordonnées. Faisons passer cet axe par le centre du parallélipipède w, et supposons-le parallèle auxx; la résultante des forces pwX 0 , pw Y 0 , pwZ 0 , étant appliquée au centre de «, donnera un moment nul. Les forces élastiques exercées sur les faces A et A', ont des résultantes qui rencontrent l’axe aux milieux mêmes de ces faces; elles n’entreront donc pas dans la somme des moments. Les composantes

— et,Y,, -4- o, ^Yj -H djr'j, — EJjZ’j, -+- tjj ^Z.,+ -^rdzj ,

des forces élastiques respectivement exercées sur les faces 15 , IV, C , C', concourent au centre de m , ou en un point de l’axe ; elles ne fourniront donc rien non plus. Les composantes

dX 7

■ TS^X} 9 H” GJj

des mêmes forces élastiques, étant parallèles «à l axe, seront dans le même cas. Il reste les composantes

Oj t‘T, +

dZ,

~dv

JjY,, +

qui agissent tangentiellement aux faces B, B', C, C' dans un plan perpendiculaire à l’axe, et qui forment deux cou-

pies de sens contraires, — ^ et — % en négligeant les infiniment petits du troisième ordre devant ceux du second. L’équation des moments, pour l’axe proposé, se réduit donc à l’égalité de ces deux couples, ou à la première des équations (a); les deux autres résultent de l’égalité des deux couples contraires, qui tendent à faire tourner l’élément «, autour d’un axe central parallèle aux y, puis parallèle aux z :

Nous pouvons , par une extension dont on trouve de fréquents exemples dans les applications de la Mécanique, et notamment dans la théorie des fluides, appeler force élastique, et composantes de la force élastique, la fonction E (§ 5), et les fonctions X, Y, Z, dépourvues de tout facteur : il suffit de concevoir que ces forces s’exercent sur l’unité de surface, avec la même intensité relative que sur Pélémentplan ni. Cela posé, les équations (î) expriment que des neuf composantes X, , Y, , Z, , six sont égales deux à deux. Pour démêler, d’une manière commode , quelles sont les composantes qui sont égales entre elles, changeons de notation : désignons les neuf composatites par la seule lettre C, allectée, en haut et en bas , de l’un des indices x, y, z\ celui d’en haut indiquant l’axe auquel l’élément u est perpendiculaire, celui d’en bas l’axe auquel la composante est pa-

rallèle; on aura ainsi le tableau (3) :

Alors les relations ( 2 ) expriment que, si l’on intervertit les tleux accents, la composante conserve la même valeur. On verra que cette propriété remarquable n’est qu’un cas particulier d’une propriété plus générale (§9).

Introduction § 8. — D’après l’énoncé mnémonique qui précède, les >1» t ( - „(•>) v „{}) («)

composantes L x ou X, , ou Y, , ou Z 3 , restent distinctes ; nous les désignerons respectivement par N, , N,, N,. On aura ensuite, par le même énoncé :

C 011 Y, = C t ou Z,,

C (I) ou Z, = C (>> ou X, ,

Jr) v v

C x ou X, = C r ou Y , ;

nous désignerons respectivement ces composantes par T, , T, , T s . D’après ces conventions , les N, donnent les composantes normales de la force élastique, pour les trois positions cr, de l’élément-plan cr ; les T, donnent les composantes tangentielles qui sont nécessairement égales deux à deux. Si l’on remplace, dans les équations ( 1 ), les X,, Y,, Z,, par leurs équivalents N, , T, , on obtient les trois équations

dT,

— -t-pX, - 0 ,

dT,

dy +

qui peuvent être regardées comme le résultat de l’élimination de trois des neuf composantes entre les six équations d’équilibre ( 1 ) et ( 2 ). Ainsi les équations (4) expriment à elles seules l’équilibre de l’élément parallélipipédique w.

11 faud ra se rappeler constamment que les six fonctions

SIJR i/klasticité. 19

de quatre variables, j\ , T,, qui entrent dans les équations (4), donnent, par le tableau,

fN 1( T,, T,,

( 5 ) JT,, N„ T,,

les composantes , rapportées à l’unité de surface , de la force élastique exercée sur l’élément- plan us , la première ligne, horizontale ou verticale, quand cet élément est perpendiculaire aux x, la seconde aux y, la troisième aux z. Cette indifférence, du sens horizontal ou du sens vertical, traduit, d’une autre manière, la réciprocité signalée par les équations ( 2 ) , et énoncée au § T.

Les équations (4) doivent exister, quelles que soient les variables x , y, z , t. Elles expriment non-seulement l’équilibre du parallélipipède w, à toute époque, en quelque lieu qu’il soit, mais encore celui de toute portion finie du corps qui serait complètement décomposable en prismes rectangles, ou dont la surface ne comprendrait que des facettes parallèles aux plans coordonnés. Mais si cette surface avait des facettes inclinées, la décomposition en prismes laisserait des résidus tétraédriques, dont l’équilibre, non établi par les seules équations (4), exige de nouvelles relations.

§ 9. — Imaginons un tétraèdre infiniment petit, dont un sommet soit en M, et dont les trois arêtes qui partent de ce sommet soient parallèles aux axes. Désignons par u l’aire de la face triangulaire opposée, laquelle forme la base du tétraèdre, et soient m, n, p les cosinus des angles que la hauteur ou la normale à l'élément-plan n fait avec les axes des .r, y , z. Ces trois cosinus, exprimés en fonction des deux angles de direction ç, de la normale, sont *

(6) m = cos «p cos n = cos © sin p = sin <p,

Équilibre du tétraèdre élémentaire.

et l' élimination de » et tp donne la relation connue

D'après un théorème sur la projection des aires, les trois faces triangulaires rectangles «, b, c du tétraèdre que nous venons de définir, lesquelles sont respectivement perpendiculaires aux’.r, aux y, aux z, auront pour surface

ti — >nn, b zzz un, c z= p a.

Cela posé, le tétraèdre devant être en équilibre, sous l'action des forces élastiques qui s’exercent sur scs quatre faces, et des forces qui sollicitent sa masse, les sommes des composantes de ces forces, estimées suivant chaque axe, devront être nulles. A la somme des composantes suivant l'axe des .r, la face inclinée fournira le terme Xn; la face a , le terme — N, . m ra ; la face è, — T 3 . n tj ; la face c, — T, .pcj; les forces qui agissent sur la masse donneront un terme égal à p X 0 multiplié par le volume du tétraèdre, qui est tin infiniment petit du troisième ordre; ce cinquième terme disparaîtra donc à la suite des quatre autres, qui sont des infiniment petits du second ordre. Egalant la somme trouvée à zéro , et divisant par ni, on obtient la première des équations

/ X = /wN, 4- n T 3 4- />Tj,

les deux autres résultent d’une sommation semblable des composantes parallèles aux y, puis parallèles aux z.

Les équations (8), quand on y substitue à m, », p leurs valeurs (6), deviennent

X = N, cos y cos 4- T, cos y sin ^ -f- T, sin ç ,

Y = T, cos y cos <}i 4- N, cos f sin <|» -f- T, sin y ,

Z = T, cos y cos ii -f- T, cos y sin ij/ 4 - N sin y ,

sua l’élasticité. r >. i

cl indiquent de quelle manière y et ’p entrent nécessairement dans les fonctions de six variables X, Y, Z (§ o). On voit par là que les composantes X, Y, Z de la force élastique E dépendent uniquement des six fonctions N,, T,, lesquelles sont à quatre variables, et qui doivent vérifier les trois équations (4) aux dillërences partielles, linéaires et du premier ordre; c’est le résultat que nous annoncions au commencement de celte Leçon. '

Les équations (8) démontrent le théorème général dont la réciprocité signalée parles équations ( 2 ) n’est qu un cas particulier : la force élastique qui s’exerce en M sur un élément-plan perpendiculaire aux .r a pour composantes, suivant les trois axes , N, , T, , T» ; sa composante, ou sa projection suivant la normale à l’élément incliné ta, sera donc

et la première des équations (8) démontre que cette projection est précisément égale à X, ou à la projection, suivant l’axe des x, de la force élastique exercée sur l’élément incliné. Or les axes sont quelconques; on a donc le théorème suivant : Si, en un même point d’un milieu solide. E et E' sont les forces élastiques exercées sur deux éléments-plans ta et ta', ayant respectivement pour normales les lignes L et L', la projection de E sur L' sera égale à la projection de F/ sur L,.

§ 10. — D’après la vérification qui va suivre, les conditions nécessaires et suffisantes, pour établir l’équilibre d’élasticité d’une portion finie, de forme quelconque, découpée dans le milieu solide, sont au nombre de six, savoir: les trois équations (4) et les trois équations (8). 11 faut , pour obtenir ces six conditions, joindre aux équations déduites de l’équilibre du parallélipipèdc trois des équations qui expriment l’équilibre du tétraèdre, en lais-

Equilibre dune porlitrti finie du milieu solide.

1 a LEÇONS

sant de côté celle» dites des moments, ou qui annulent les couples. C’est parce que les équations ( 2 ) 11 e sont que particulières, comparées aux équations générales (8), que le groupe des six équations ( 1 ) et ( 2 ), ou celui des équations (4), est insuffisant.

Il s’agit de vérifier, maintenant, que les équations (4), accompagnées des relations (8), sont au contraire suffisantes pour établir l’équilibre d’élasticité d’une partie quelconque S l d’un milieu solide. Multiplions la première équation (4) par dxdjdz , et intégrons dans toute l’étendue de SL, il viendra

| /// iS 1 /// ^

X a dxdydz = o.

Dans l’intégrale triple en N,, on peut effectuer l’intégration en ,r, ce qui donnera

JJdydz ( N', — N" ) ,

JN', , JN" , étant les valeurs de la fonction N, , aux deux points où la droite parallèle aux x vient couper la surface qui limite SI ; si l’on indique par ct' et a" les éléments de la surface en ces deux points, et par a', a" les angles que les normales externes en ces mêmes points font avec l’axe des x , on aura

dydz ~ o' cos a' = — o" cos a" ; et 1 intégrale double qui précède ne sera autre que S N, cr cos a,

ci étant un élément de la surface de fi, a l’angle que la normale externe en tô fait avec l’axe des x, la fonction ÏY,

ayant la valeur qui correspond au lieu de cet élément, et le 2 s’étendant à toute la surface. On réduira à un 2 semblable la seconde , puis la troisième intégrale triple de la formule (10), en elfectuant l’intégration en y dans la seconde, en z dans la troisième, et introduisant les angles (3 et y, que la normale externe en ct fait avec les axes des y et des z. Enfin , la quatrième intégrale triple, si l’on observe que pdxdydz est l’élément pM de la masse, peut se mettre sous la forme 2po>X 0 , le sigma s’étendant ici à toute la masse de fi. L’équation (10) devient alors la première des équations

| 2 (N, COS a + T] cos 4- T, COS 7) CT 4- 2 pw X„ — O,

11) { 2 (T, cos a 4 - N 3 cos p —H T , cos 7) ci 4- 2p« Y„ — o,

( 2 (T, COS a 4- T, COS $ 4- Nj COS 7) SI + ïçmZ, rr o;

les deux autres s’obtiennent en opérant de la même ma-

nière sur la seconde et sur la troisième des équations (4). Or, en vertu des relations (8), les parenthèses des premières sommes, dans les trois équations (1 1), ne sont autres que les composantes X, Y, Z, de la force élastique qui s’exerce sur l’élément u , en prenant rn — cos « , n = cos (3 , p = cosy^ ces équations (1 1) peuvent donc s'écrire ainsi :

^ CT X 4“ ^ pw Xq ZZZ O ,

cr \ 4- ^ pw Y„ o ,

cr Z 4— pw Z„ — o ,

et expriment que les sommes des composantes des forces qui sollicitent fi, estimées suivant les trois axes, seront nulles d’elles-mèmes.

Si, de la seconde équation (4)? multipliée par z, on re-

l!\ LKÇONS

tranche la troisième, multipliée par y, il vient

d(tT 3 —yTj) , /rf(zN,— rT

' d[z'\,—y N,) , ilz

— T, )+ p(ïY„ — Z, j-) — o,

et l’on remarquera la disparition des quantités -+-T,, — T,, introduites afin de mettre le second et le troisième terme sous forme de dérivées: multipliant par dxdydz\ intégrant dans toute l'étendue de fi; effectuant une première intégration de chacune des trois premières intégrales triples ; introduisant enfin ra , et les angles a, (3, y, la formule (i 3) deviendra

^[(zT, — jT 2 )cosa (zN, — jrT,) cos p-f-(zT, — jNJ cos yja + Y « — = °>

ou, mettant z et y en facteurs communs, sous la première somme ,

2[z(T a cosa-pN,cos[i-t-T,cos7) — /(TsCOSa-l-T.cosp-t-ÎVjCosy)]^ + £ji>u{zY 0 — yZ a ) = o ,

ce qui donne enfin, en ayant égard aux relations (8), la première des équations

I 2(8Y- y Z)«H-2f“( zY .-rZ.)=o,

2 ( xZ — zX) ct -+- Z, — zX,) = o ,

— xY)ct -+- — x Y a ) — o;

les deux autres s’obtiennent en opérant de la même manière

sur l'élasticitk. a5

sur deux autres couples îles équations ( 4 ). Or les équations (14) expriment que les sommes des moments des forces qui sollicitent fl, prises par rapport aux trois axes, sont nulles d’cllcs-mèmes ; et les six équations (12) et (i4), déduites uniquement des équations (4) , accompagnées des relations ( 8 ) , expriment complètement l’équilibre d’élasticité de la partie quelconque fl du milieu solide.

Nous eussions pu , après avoir déduit les équations ( 4 ) de l’équilibre du parallélipipède, et sans considérer le tétraèdre , établir tout d’abord les équations (11). Or les six équations connues , qui expriment l’équilibre de fl, étant (12) et (14) , il faut que les équations (1 1) et (12) soient identiques; et comme la surface qui limite fl est quelconque, cette identité ne peut avoir lieu qu’en posant les relations ( 8 ) , lesquelles se trouveraient ainsi démontrées. Mais ce genre de démonstration est indirect et peu lucide; en outre, il indique mal toute l’importance des relations ( 8 ) : car ce ne sont pas de simples équations à la surface , elles signalent des propriétés s'étendant à tous les points intérieurs , et tout aussi générales que celles qui sont exprimées par les équations ( 4 )- Voilà ce qui donne une valeur réelle à la considération de l’équilibre du tétraèdre, imaginée , je crois , par M. Cauchy.

* Comme il s’agit ici d’un Cours destiné à propager la connaissance d’une théorie abordée par plusieurs géomètres, il serait juste et convenable de toujours citer les premiers inventeurs des diverses idées dont l’ensemble constitue cette théorie. Mais plusieurs causes rendent une pareille lâche assez diilicile, et nous ne la remplirons que très-incomplétemcnt. D’ailleurs, la plupart de ces idées se présentent si naturellement, qu’elles appartiennent à tous. En réalité, nous considérons le sujet de l’élasticité comme s’il était entièrement neuf; d’autres l’ont traité, ils ont pu en émettre avant nous les idées fondamentales, mais leurs

recherches sonl à peu près inconnues des ingénieurs et des praticiens , qu’il faut surtout convaincre. L’unique but de notre travail est de mettre hors de doute, et l’utilité de la théorie mathématique de l’élasticité, et la nécessité de l’introduire dans les sciences d’application. Quand ce but important sera atteint, fasse qui voudra le partage des inventions, et, quelque peu qu’on nous en attribue, nous ne réclamerons pas.

SUH l’élasticité.