QUATRIÈME LEÇON

Réduction relative aux corps solides homogènes d'élasticité constante. — Cas d’une traction. — Cas d'une torsion. — Expressions réduites des forces élastiques.

§ 16. — La Leçon actuelle a pour objet principal de chercher comment se simplifient les valeurs des N,-, T, , quand il s’agit de corps solides homogènes, et d’élasticité constante dans toutes les directions. Le second mode de démonstration , employé au § 14, conduisant aux mêmes formules que le premier qui s'appuie sur le principe des actions mutuelles (§ 4), nous regardons le principe dont il s’agit comme suffisamment vérifié par cette coïncidence , et nous l’adoptons sans restriction. Ce principe est surtout utile pour déterminer directement , dans des cas particuliers et sans recourir aux formules générales, la loi de la force élastique exercée sur des plans de même direction dans toute l’étendue du milieu. Voici deux exemples de cette détermination , lesquels servent de lemmes pour arriver à la simplification que nous avons en vue.

Considérons un corps sofide , homogène et d’élasticité constante, dans lequel la loi du déplacement moléculaire soit exprimée par les valeurs

(a) u = o , v = o , iv = es ,

v étant constant. Toutes les molécules se sont déplacées, parallèlement à l'atre vertical des z, de quantités proportionnelles à leurs distances au plan horizontal des.rj-. C’est le cas d’une traction parallèle aux z. La loi du déplacement

La*

il une fraction.

étant bien définie, cherchons la force élastique exercée sur un élément-plan a, perpendiculaire aux X, et qui sépare le milieu en deux parties : B du côté de l’origine et du cylindre infiniment délié qui a u pour base; A du côté opposé. Soient p (fig. 3) une molécule du cylindre, m une molécule de A; par /np, et la normale pJN k u, faisons passer un plan; dans ce plan, et de l’autre côté de pN, menons

pm' faisant l’angle N p;«' = Np/« ; enfin prenons pm' = pm. D’après le genre d’homogénéité que l’on suppose , s’il existe un point matériel en m, il en existera un en ni.

Imprimons au corps une translation descendante, qui ramène p à sa position primitive, ce qui ne modifie en rien les forces élastiques; le déplacement ascendant de m surpassant autant celui de p , que ce dernier surpasse celui de rn', la translation imprimée laissera m déplacé de mn , et m' de rn' n' égal à mn, mais de sens contraire. Les distances pm, pm' (£) sont égales; les projections (A£) de mn et de ml ni sur ces lignes perspectives sont pareillement égales; donc les déplacements, relatifs à p, des deux points matériels m et ni, auxquels on suppose la même masse ,

produiront sur p deux attractions égales , dirigées , l’une sur pm , l’autre sur pm', dont la résultante sera elle-même dirigée sur la normale ou bissectrice pN. Il en sera de même pour tous les couples que l’on devra considérer. Donc la résultante totale, ou la force élastique cherchée, sera normale à l’ élément-plan n. Ainsi, lorsque la loi du déplacement sera donnée par les valeurs («), et qu’il s’agira d’un solide homogène et d’élasticité constante, des trois composantes N,, Tj, T s (§ 8) de la force élastique exercée sur un élément-plan perpendiculaire aux S:, la première existera seule, les deux autres T s , T,, seront nécessairement milles.

suit l'élasticité. 4 1 •

§ 17. — Considérons le même milieu, dans lequel la loi du déplacement moléculaire est actuellement exprimée par les valeurs

w étant constat. Chaque molécule s'est déplacée parallèlement au plan horizontal des xy, et a décrit, autour de l’axe vertical des z , un petit arc de cercle proportionnel : t° à sa distance à l’axedes z\ 2 0 à sa hauteur au-dessus du plan des xy. C’est le cas d’une torsion autour de l’axe des z. La noffvelle loi du déplacement étant bien définie, cherchons la force élastique exercée sur un élément-plan gt , perpendiculaire aux x, en un point du plan méridien des zx. Soient: p (Jig. 4) une molécule du cylindre; m fct m'deux points symétriques par rapporta la normale Bp A, et pris dans le plan méridien; m est la projection de deux points matériels M , M, , symétriquement placés , le premier en avant, le second en arrière du méridien; m! est la projection de deux autres points M', M', , symétriques de M, M, , par rapport à l’horizon de p. Car, d’après le genre d’homogénéité que l’on suppose, s’il existe des points matériels en M , M, , il en doit exister en M', M', .

Si l’on imprime à tout le corps une rotation autour de l’axe des z, qui ramène p à sa position primitive, ce qui n’altère pas les forces élastiques , les déplacements, relatifs à p,dc M , M, , M', M', , seront des arcs de cercle égaux ; mais ceux de M , M, iront de l’arrière vers l’avant du méridien ; ceux de M', M',, de l’avant vers l’arrière; d’où résulte que M et M', se sont éloignés de p, tandis que !\I, et M' s’en sont rapprochés. Les distances pM, pM,, pM', pM' sont égales ; les projections des déplacements sur ces lignes le sont aussi ; donc les quatre actions exercées sur p ont des intensités égales; mais deux sont attractives, suivant pM et

j/M^ , qui se composent sur la bissectrice ou normale p A; deux sont répulsives, suivant M,p et M'p, qui se compo r sent sur la bissectrice ou normale pB ; les deux résultantes, contraires et ayant des intensités égales, se détruisent. 11 en sera de même pour tous les groupes que l’on doit considérer. Donc la résultante totale, ou la force élastique cherchée, est nulle. Ainsi , lorsque la loi du déplacement sera donnée par les valeurs (b), et qu’il s’agira' d’un solide homogène et d’élasticité constante, les trois composantes N,, T s , T» de la force élastique exercée en un point du méridien xz, sur un plan perpendiculaire aux X, seront nulles toutes trois. *

11 importe de remarquer que , dans les mêmes circonstances, la force élastique exercée, au même point, sur un plan horizontal ou perpendiculaire aux z , est parallèle aux y , conséquemment tangentielle ; c’est-à-dire que des trois composantes T s , T,, N s (§ 8) de cette force élastique, T, seule existe, les deux - autres sont nulles. En eflet, p ( fi g. 5) appartenant au cylindre de base o, et m étant, comme ci-dessus, la projection des deux points symétriques M, M,, des deux actions, égales en intensité, et dirigées suivant pM et M,p, la première est attractive, la seconde répulsive ; leur résultante est donc horizontale et perpendiculaire au méridien. Il en est de même pour tous les groupes que l’on doit considérer. Donc la résultante totale, ou la force élastique cherchée, est perpendiculaire au plan méridien ; c’est-à-dire que non-seulement T, = o, comme cela résulte de l’alinéa précédent, mais aussi N 3 = o, au point désigné.

Les lois simples que nous venons de trouver appartiennent aux phénomènes de la traction et de la torsion, quand le milieu solide présente, par rapport à la ligne de traction et par rapport à deux plans, desquels l’un est perpendiculaire à cette ligne et l’autre lui est parallèle, les

SUR l’élasticité. 4^

dispositions moléculaires symétriques que nous avons supposées. Maisj si le solide qui satisfait à ces conditions particulières de symétrie est tiré dans une direction dilférente, ou tordu autour d’un autre axe, peut-il arriver que les mêmes lois simples se reproduisent ? La réponse affirmative à cette question est une des conséquences les plus remarquables de la théorie mathématique de l’élasticité des solides, et en même temps la définition la plus claire et la plus naturelle des corps solides homogènes et d’élasticité constante. Pour obtenir cette importante réponse, il faut essentiellement avoir recours à la transformation des coordonnées. Si les formules que nous allons établir sont longues à écrire, plutôt qu’à démontrer, il faut considérer qu’elles contiennent la réponse attendue, qu’elles servent de letnnies à la simplification cherchée, et qu’elles nous seront très-utiles dans la suite du Cours. On pensera que tous ces avantages compensent l’aridité de quelques pages de calculs.

§ 18 . — Soient, en conservant la même origine, (x', y', z') de nouvelles coordonnées rectangulaires du point M; désignons, comme l’indique le tableau,

ni,

par ( m , , 11,', />, ) les cosinus des angles que les nouveaux

Formulé» de transformation .

axes font avec les anciens, par ( u', v', w') les nouvelles projections du déplacement de M. On sait que les neuf cosinus (m, , n, , p,) sont liés entre eux par les six relations

m l 4- «1 -hp\ = i,

m j iMj -t- «, 4- = o ,

m, ni, 4- n,n, 4- p,p, — o ,

«i '«J -+- «( >h 4 p,p 3 = O , ou

n, p, 4- n, p , 4- «j Pj = o , p,"‘ i 4 = o ,

Le tableau ( 1 ) conduit facilement, par la méthode des projections , aux formules

«' = /«, « 4 «iV 4 e' = /w a M 4 «a v 4 p-, iv , iv' — m, u 4 n, v 4— p, iv ,

sua l’élasticité. 45

qui donnent (x , y, z) en ( x ', y', z’) et («', p', w') en

en fonction des anciennes, en différentiant («', v\ iv') comme des fonctions ( 5 ) de («, y, w) , qui sont fonctions de (a:, y , a) , qui sont fonctions (4) de ( x j-', 2') 5 ce qui donne d’abord les formules symboliques

(«, v, w). On obtient les nouvelles dérivées y.-j

du! ,, , . ! ni, n, p,\

M = {m ' Ju + n ' llv + P ' dw )\d- X + Ty + dz j ’

g = [m t du 4- 1 ** 4 -/», <*r) (g + % + fi) ’

(6) ( 4- (m 3 rfu 4- n 3 dv 4- /hdtv) 4- ^ 4- »

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