TROISIÈME LEÇON

Des projections du déplacement moléculaire. — Expressions de l’écartement, des dilatations, des forces élastiques. — Extension aux corps cristallisés.

§ il . — Lorsque la partie du milieu , que nous avons désignée par iî au § 10, comprend le solide tout entier, les six équations ( 12 ) et ( 14 ) expriment l’équilibre du corps, sous l’action des forces données c rX, cîY, gjZ, agissant aux différents éléments de sa surface, et des forces poiX,, p wY 0 , owZ 0 , qui sollicitent les différentes parties de sa masse, y compris les forces d’inertie s’il y a mouvement. On sait que ces six équations renferment toutes les lois de l’équilibre réel , et toutes celles du mouvement d’un corps solide, considéré abstractivement comme ayant une rigidité absolue. Quand la Mécanique rationnelle a démêlé et interprété ces lois, les positions du corps sont bien définies relativement au monde extérieur; mais son état intérieur reste complètement inconnu. Pour connaître cet état , il faut remonter aux équations (4) (§ 8), et (8) (§9), qui signalent l’existence de six fonctions N,- , T,- , dont dépendent les forces élastiques intérieures. Ces six fonctions doivent vérifier les trois équations aux différences partielles (4) , et , par leurs valeurs aux différents points de la surface du corps, jointes aux forces données, rendre identiques les relations (8). Or ces conditions seraient insuffisantes pour les déterminer, si les six fonctions N,-, T,, n’étaient pas exprimables à l’aide de trois fonctions seulement : car trois équations aux différences partielles ne peuvent faire connaître généralement, que trois fonctions, et trois équations qui lient les valeurs de res fonctions, particulières à la surface* ne peuvent qu’é-

Projection* du déplacement moléculaire.

t.KCONS

tablir des relations entre les arbitraires introduites par lintégration. Il y a donc lieu de chercher quelles sont les trois fonctions dont dépendent les N,-, T,-, et en quoi consiste celte dépendance. Tel est l’objet de la Leçon actuelle.

Les faits étudiés aux §§ 3 et 1 de notre première Leçon, le principe qui en découle et la définition donnée au § 5, répondent directement aux questions posées , et indiquent la marche à suivre pour les résoudre. D’après ces préliminaires , les forces élastiques et les déplacements moléculaires sont dans une dépendance mutuelle. Mais, aux développements que nous avons déjà donnés sur les forces élastiques, il importe d’en joindre d’autres relatifs aux déplacements, avant de traduire analytiquement la dépendance dont il s’agit. Le milieu solide n’étant soumis à aucune force extérieure, un point matériel M, qui en fait partie, a pour coordonnées primitives (x,y, s); quand des efforts extérieurs ont déformé le corps, ce point matériel occupe une nouvelle position m, ayant pour coordonnées (.r-t-u, y -+- e, s 4 - w) ; h , e, iv sont les projections sur les axes coordonnés du déplacement Mm. Ces trois projections varient au même iustaut'd’un point matériel à un autre, et pour le même point avec le temps, si le milieu se déforme ou vibre; m, e, iv sont donc trois fonctions des quatre variables ( x , jp, s, t).

On peut regarder ces fonctions comme étant continues, non-seulement quant à la variable t , mais aussi par rapport aux variables (#, y, z). Car, si le milieu est composé de points matériels non contigus, qui se déplacent réellement, les points géonfétriques situés sur les intervalles qui séparent les molécules peuvent être considérés comme se déplaçant aussi. On conçoit, en effet, que si les déplacements de toutes les molécules étaient obscfvés et mesurés, on pourrait déterminer, par l’interpolation, des fonctions continues ii . r, te, qui reproduiraient d’abord toutes les

observations, et qui donneraient en outre les projections des déplacements pour les points géométriques non occupés par la matière. Ce sont ces fonctions continues que nous considérons. •

Quand le corps n’est que légèrement déformé, u, e, te ont de petites valeurs dans toute l’étendue du milieu. Soit, dans le voisinage de M, un second point M', dont les coordonnées primitives sont

et qui , lors de la déformation , prend la position m\ dont les coordonnées sont x' -t- y' 4- z' - 1- -w' . La dis-

tance MM' ou £ (§ 4 ) a pour projections sur les axes h , A, projections que nous supposons très-petites, ainsi que £ 5 la direction MM' fait avec les mêmes axes des angles

dont les cosinus sont -j -■> -•

du déplacement M' m' sont les valeurs des fonctions u , e, ie, quand on y remplace respectivement (x, y, z ) par (x -+- h , y -f- k , z 4- /), et le théorème de Taylor donne , du , du , du .

= * + Z h + Tr A+ 7.‘-

Les projections e', n»‘

dit’

dv , dv

, div . div dx ^4-^A+—

en supposant les projections h, A, l assez petites pour qu’on puisse négliger les termes qui contiennent leurs produits. C’est ce qui a lieu, par exemple, quand on veut évaluer l’action mutuelle de deux points matériels M et M', venus en m et /«', puisque cette action n’existe que si £ est inappréciable.

§ 12 . — La petite ligne u m' ( fig. 1) a pour projections sur les axes (ji' — m, — o, iv' — te); et, puisque l’on

Expression de rérariemetil.

peut substituer à la projection de uni' sur um, ou sur MM' (§ 4), on aura

( 2 ) AK = - (u' — u) -f- - ( v ' — e) -+- ^ ( w ’ — iv),

ou, substituant a (u' — u, r' — p, iv' — ip) leurs valeurs tirées des équations ( 1 ), et ordonnant le résultat,

enfin , remplaçant h, k , l par leurs valeurs en fonction de £ et de ses deux angles de direction <p et ip, lesquelles sont

h — Ç cos y cos ij/, k = Ç cos y sin-ij/, / = sino, on aura définitivement

• (4) aç=ç<

tiv

dev

cos- <p co$ z y -+

• — cos 3 0 sin 3 4 -f- <ty dz

/ dv

dw\

\dz +

dy)

cos if sin ç sin \|i

f dw

du\

dz )

cos tf sin y cos •{<

f du

dp ^

j — H \ rl r

dx j

cos’ÿ cos if» sin \J(

sin 3 <f

D’après cette valeur, l’écartement étant très-petit par rapport à £ , les dérivées • ,/*’ *'’ • ***1 sont toutes de très-petites fractions.

Le rapport — est la dilatation linéaire au point M , dans la direction déterminée par les angles <j> et Cette dilata-

SUR 1, ELASTICITE.

lion se réduit à si £ ou MM' est parallèle aux x , ou si

0 = 0 , <p = o; à — j si £ est parallèle aux y, ou si o = o,

<p= à ( ^-i si £ est parallèle aux z, ou si ç = -• D’après ces valeurs, la ligne dx, prise lors de l’état primitif, devient dx -I- après la déformation ; redevient dy(i-\- — j ;

dz devient dz -+- ‘-j-'j- L’élément primitif «= dxdydz devient alors

dxdydz I i +

/ du \ / dv \ / du'

( , + ^) V^Ty) {' + Tz

ou simplement

( du dv dw

' + di^Ty + lh

en négligeant les produits des dilatations linéaires; et la dilatation cubique en M, que nous désignerons par 0, est donnée par la formule

du dv dw

dx dy dz '

c’est-à-dire que la dilatation cubique, en un point du milieu,

est égale à la somme de trois dilatations linéaires, prises au

meme point, dans trois directions orthogonales. Si les dé-

. , du dv dw . • / i

nvees — > — ■> — sont négatives, elles représentent des

contractions linéaires; si 0 est négatif, il donne la compressibilité cubique.

Le point M restant le même , si l’on déplace M' dans l’hémisphère SA (§ 5), la valeur (4) de change avec £ ,

<p, tt; mais les dérivées * - restent essentiellement

constantes et conservent les valeurs qui leur appartiennent en M. Soit INI, un point situé à une profondeur y au-dessous de M, sur la normale à l’élément-plan a (§ 5), laquelle fait , avec les axes, des angles dont les cosinus sont (m, n, p) ; par le point M', menons M'M', égal et parallèle à MM, , et joignons M,M' ( ; soient («,, tq, tc,) les valeurs de (u, c, w) eu M, ; (u \ , v\, iv' ) en M',. Ou aura évidemment ou M, M', , égal et parallèle à £ ou MM'; il s’agit de faire voir que l’écartement A£, est aussi égal à A£. En effet, les coordonnées primitives de M, sont (x — mf, y — nf , z — pf), celles de M', sont (x -h h — mf, y -+- k — /«/’, z -+- 1 — pf) ; on a donc, par les formules (i) ,

du du

Tx + "df

, , , r, , , -.du , . du

u,=u -h (A - mf ) — H- (A — nf) + (/ p/) ;

d’où l’on conclut, par soustraction ,

, du du du

u, — n, z= /i — -y a — - + / - — u — ii, ax dy (il

et aussi

V V, «• , AV, ~ <v M'.

Or, M, M' ( étant égal et parallèle à MM' fait , avec les axes , les mêmes angles aux cosinus ~ ^ ^ ; donc A£, aura la

même valeur ( 2 ) que AÇ. Ainsi, que la distance f aux angles de direction <p et ait ou n’ait pas une de ses extrémités en M, pourvu qu’elle parte de l’intérieur du cylindre infiniment délié de base t3 (§3), et aboutisse dans l’intérieur de l’hémisphère SA ; dans tous les cas, son accroissement sera donné par la formule (4). C’est-à-dire que toujours A£ se composera de six termes variables avec £,

SUR l’klasticité. 33

/ dv du \ / dw du \

Sï’

dz ’

\rfz dy ) * dz)

\dy ^ dx)

coefficients

que

nous appellerons les G,-.

§ 13. — Or, quand on voudra évaluer les trois compo- v *i«r* lisantes de la force élastique exercée sur et, chaque couple r,lc ' de * 1 (M, , M', ) de deux points matériels de masses p, et p' , entre lesquels s’exerce l’action mutuelle p, p', F (£) . A£, fournira trois éléments, un pour chaque composante, éléments que l’on obtiendra en multipliant cette action par cos <p cos tf, par cos <p sin par sin cp. Si l’on fait ensuite la somme des éléments fournis à chaque composante par tous les couples de deux points matériels, l’un compris dans le cylindre de base ni, l’autre dans l’hémisphère SA, on pourra mettre les G,- en facteurs communs dans cette somme , et la composante cherchée comprendra définitivement six termes, ayant respectivement les G, pour coefficients. Telle est la forme générale de toute composante d’une force élastique exercée en M , et particulièrement des N, , T,-. On peut donc poser

formules qu’il faut écrire trois fois, en remplaçant l’indice ï successivement par i, 2,3.

3/j LEÇONS

Ces conclusions sont complètement indépendantes du nombre des couples de molécules entre lesquelles s’exercent des actions, ou du nombre des termes multipliés par le même G,; ces termes peuvent différer généralement, nonseulement par les valeurs de £ , ç et , mais aussi par celles de F (£), et même de , pt, ; ils peuvent se grouper plus nombreux sur certaines directions que sur d’autres. Autrement, le milieu solide peut être homogène ou hétérogène,composé d’une seule espèce de molécules ou de plusieurs espèces, entre lesquelles les actions suivent les mêmes lois avec la distance, ou au contraire des lois dill’érentes; les conclusions qui précèdent sont vraies dans tous les cas. Si le corps n’avait pas l’homogénéité que nous avons définie au § 2, les coefficients A,, B,,..., (6), lesquels sont au nombre de trente-six, pourraient varier d’un point M à un autre. Le genre d’homogénéité que nous considérons, est celui où ces trente-six coefficients sont constants, c’est-à-dire conservent les mêmes valeurs en tous les points du milieu; ces valeurs n’étant liées d’ailleurs par aucune relation nécessaire.

Tous les phénomènes dus à l’élasticité des corps solides homogènes doivent donc se déduire des formules générales (4) et (8) de la Leçon précédente, (5) et (6) de la Leçon actuelle; sauf les légères différences qui pourraient résulter de ce que les développements (i) ne sont qu’approchés. Mais, quand les géomètres abordent une question de physique, ils étudient d’abord les termes les plus influents, afin de découvrir les lois les plus générales; ils reviennent ensuite aux termes négligés, pour se rendre compte des perturbations observées dans l’application de ces lois. Telle a été la marche de l’Astronomie théorique ; telle doit être celle de la théorie mathématique de l’élasticité. Ainsi, nous bornant à la première étude, nous adoptons les valeurs (6) des N,-, T,, conséquences né-

suit (/élasticité. 35

cessaires des développements (i), limités à leurs premiers termes.

§ 1 1 . — Outre l’homogénéité que nous avons définie au § 2, et qui conduit à la constance des coefficients A, , B,-,..., dans les formules (6), on peut en concevoir une autre plus générale : celle où l’espace occupé par le milieu serait décomposable en polyèdres égaux et semblablement placés , dans lesquels la matière serait distribuée plus ou moins irrégulièrement; cette distribution étant la même pour tous les polyèdres. A ce genre de milieu, que l’on peut appeler pè vio diquement homogène , appartiennent sans doute les corps cristallisés. Alors les coefficients A,-, B,-,..., des formules (6) ne seraient plus constants , mais devraient être des fonctions périodiques. Toutefois , il y a lieu de distinguer, dans les milieux cristallisés, les phénomènes d’élasticité où chaque molécule intégrante se déplace en totalité, auquel cas les A, , B,-,..., sont constants; et ceux où l’agitation envahit l’intérieur même des molécules intégrantes , ce qui exige la périodicité des coefficients A,, B, ,.... Les phénomènes de la première classe se rangent parmi ceux que nous étudierons exclusivement.

Les formules (6), où les coefficients A,, B,-,..., sont supposés constants, pouvant être appliquées, dans certains cas, aux corps cristallisés, il importe de détruire un doute qui résulte de la nature même de ces corps. La démonstration des formules (6), fondée sur le principe du § A , admet que l’action mutuelle de deux molécules est dirigée suivant la ligne qui les joint. Or, lorsqu’un cristal se forme dans un liquide, les molécules qui viennent grossir le noyau , ne se dirigent pas vers les centres mêmes des molécules déjà fixées , mais vers les intervalles qui les séparent ; en outre, chemin faisant elles tournent , afin que leurs axes de figure s’arrêtent dans certaines positions, et il parait

Extension aux solides cristallisés.

difficile, sinon impossible, d’expliquer ces mouvements divers par des actions mutuelles uniquement dirigées sur les lignes mêmes qui joignent les molécules ; ce qui conduirait à penser que les formules (6) ne sont pas applicables aux corps cristallisés.

Mais l’action mutuelle de deux molécules M, M', déplacées, dépend toujours, et nécessairement , des projections (u, v, tv) du déplacement de M, et des projections (h', v', w') du déplacement de M'; or, que celte action soit ou non dirigée suivant MM', on conçoit que ses trois composantes seront toujours des fonctions de u, v, w, de £, y, <p, et de u', v', iv', exprimés parles développements (i); en sorte quelles peuvent être considérées, par première approximation , comme étant des fonctions linéaires de u, v, w

. d lu, v, w) ,

et de — Un arrive ainsi a établir que toutes les

composantes des forces élastiques exercées en M, et particulièrement les N,, T,-, seront de la forme

du dv dw

dx dy dz

dv div dw du „ du dv

+ D t +■ D — -+- E - — HE-j — h F -j — H F — • dz dy dx dz dy ^ dx

Or, toutes les forces élastiques sont milles quand le déplacement est nul partout, ou quand 11 = 0, v = o, iv = o; on doit donc avoir A 00 = o. Si le corps a exécuté un petit mouvement de translation quelconque, «, e, iv sont constants, et comme ce déplacement général u’a fait naître aucune force élastique , il faut que A 0 = o , B 0 = o, C 0 =o. Enfin , si le corps a exécuté un petit mouvement de rotation autour de l’axe des x, défini par les valeurs u = o, v = ws, iv = — my, w étant constant, ce qui réduit l’expression (7) à w (D — D'), comme ce déplacement général n’a fait naître aucune force élastique, il faut que D' = D ; de

suit L’ÉLASTICITÉ. 37

même, on doit avoir E'=E, F' = F, si la rotation s’est opérée autour de l’axe des j’, puis autour de l’axe des z. On établit ainsi, d’une autre manière, la forme essentielle des valeurs (6). .

Ce nouveau mode de démonstration fait entrevoir la possibilité d’aborder les problèmes relatifs à la Mécanique moléculaire, en laissant indéterminée l’influence réciproque des dilférentes espèces de matières; c’est-à-dire sans faire intervenir directement des attractions ou des répulsions, qui suivent certaines lois hypothétiques. Si l’on parvient ainsi à mettre les problèmes en équations, la nature de l’influence dont il s’agit, les forces qui la traduisent et leurs lois exactes se déduiront comme des conséquences. On reproduira de la sorte la marche de l’Astronomie théorique, dans laquelle l’attraction universelle , loin d’avoir été prise pour point de départ, 11 e s’est au contraire présentée que comme une conséquence forcée des lois du mouvement.

§ 13. — Lorsqu’on regarde comme infini le nombre des couples de molécules dont les actions mutuelles composent chaque force élastique, les coefficients A, , B, -,...,(6) se présentent sous la forme d’intégrales définies triples, dont les éléments diffèrent, de l’une à l’autre, par des facteurs trigonométriques. Les limites des variables çp et dépendent de la position de l’élément-plan nj : s’il est perpendiculaire aux x , les intégrations en <p et ÿ s’étendent toutes les deux

de — s’il esl P er P en< li cu laire aux y, ces intégrations s’étendent de <p = — ^ à = -f- ^ 5 et de<J/ = o àiji = 7t; enfin, si l’élément est perpendiculaire aux z, de <p= o à y — et de tp — rr à <p — 2 7t. Quant à l’intégration en Ç,

elle s’étend de £ = o à £ égal au rayon de la sphère d’activité de l’action moléculaire, puisque, au delà, le facteur

Méthode par l'intégration * autour d'un point.

F (£) est nul ou insensible. Il arrive toujours que cette dernière intégration ne peut être qu’indiquée. Dans le cas général, celui où F (£) doit être considéré comme variant avec la direction de £, la loi de cette variation étant inconnue, on ne peut non plus effectuer les intégrations en çp et ip, et toutes les intégrales triples qui remplacent les coefficients A,, B,-,..., restent inconnues, mais distinctes. Si l’on suppose F (£) indépendant de <j> et , pour considérer le cas où l’élasticité du milieu est la môme dans toutes les directions (§2), alors on peut effectuer les intégrations en <p et , et il ne reste plus d’inconnu, dans les coefficients A, , B,-,..., qu’un même facteur indiquant l’intégration en £.

Telle est la méthode suivie par Navicr et d’antres géomètres, pour obtenir les équations générales de l’élasticité dans les milieux solides. Mais cette méthode suppose évidemment la continuité de la matière, hypothèse inadmissible. Poisson croit lever cette difficulté, en remplaçant l’intégrale en £ par une somme d’un nombre de termes finis et indéterminés 5 mais cette sommation n’étant qu’indiquée, il ne fait, en réalité, que substituer le signe 2 au signe J , et cela pour une seule des intégrations, car il effectue les deux autres. La méthode que nous avons suivie dans la Leçon actuelle, et dont on trouve l’origine dans les travaux de M. Cauchy, nous paraît à l’abri de toute objection; loin de supposer la continuité de la matière, elle laisse dans une sorte d’indétermination le nombre des couples moléculaires dont les actions composent la force élastique; ce nombre peut être grand ou faible, il peut différer d’un milieu solide à un autre, et les résultats obtenus n’en seront pas moins vrais.

sim l'élasticité.