DIXIÈME LEÇON

Vibrations transversales des membranes planes. — Membrane carrée; classement des sons; ligues nodales. — Membrane rectangulaire. — Membrane triangulaire équilatérale.

§ 52. — L’objet delà Leçon actuelle est d’étudier les différents ternies de la double série qui exprime la loi générale des petits mouvements transversaux d’une membrane plane, rectangulaire, carrée, ou triangulaire; de classer les états vibratoires simples, ou les sons que représentent ces termes ; enfin de déduire de ce classement les systèmes nodaux qui accompagnent les sons. Nous nous proposons surtout de faire voir que certaines propriétés des nombres entiers sont essentielles à connaître, pour accomplir ce travail , et lui donner la clarté nécessaire. C’est pour avoir méconnu ce lien naturel entre les vibrations et les nombres, que certains travaux sur ce sujet sont obscurs et incomplets. Comme il sera souvent question de vibrations dans la suite du Cours, la discussion que nous entreprenons y trouvera de fréquentes applications; on peut la regarder comme un travail préliminaire indispensable.

Chaque terme de la série ie ( 18 ), § 49, contient le paramètre y, qui assigne la durée 5 de la vibration, et la hauteur 3t> (/',«') du son, lors du mouvement vibratoire simple que ce terme représente; on a

Membrane

rectangulaire.

Classement des sons de la membrane carrée.

Si les côtés de la membrane rectangulaire, Z et Z', ainsi que leurs carrés , Z 1 et Z' ! , sont incommensurables , les sons que la membrane peut produire forment une infinité de séries naturelles, analogues chacune à la série des sons d’une corde vibrante. Le son fondamental, ou la base de chaque série, est une valeur de (Z, i') pour laquelle les entiers Z et i' sont premiers entre eux ; tous les sons de cette série sont représentés par <Db (/«/, mi'), où m est un nombre entier quelconque; et il y a autant de séries distinctes ou incommensurables entre elles, que de valeurs de > (/, Z 7 ) dans lesquelles Z et i' sont premiers entre eux, c’est-à-dire une infinité. A chaque son (Z, Z f) fondamental ou mul-

tiple, ne correspond qu’un seul terme de te; le système nodal qui l’accompagne, provenant de l'annulation du produit des deux sinus eu x et en y qui caractérise- ce terme, se compose, sans aucune variation possible, de (Z — i) lignes parallèles aux x , et de (Z — i) parallèles auxj', partageant le rectangle de la membrane en ii' concamérations rectangulaires égales. Mais, si les côtés Z et Z', ou leurs carrés Z 1 et Z /! , sont commensu râbles, les sons se groupent d’une autre manière; de plus, il existe des sons auxquels correspondent plusieurs termes de in, conséquemment des systèmes nodaux très-variés, composés de droites parallèles aux côtés, de droites inclinées, ou enfin de lignes courbes. Pour débrouiller ces lois compliquées et assigner les causes de ces variations, il importe de considérer d’abord le cas oii V — Z, c’est-à-dire celui d’une membrane carrée.

§ 53. — Les petits mouvements d'une membrane carrée , dont le cÔLé est X , sont représentés par la série

H sin i v - sin f'jr y cos 7 1 ,

lorsque l’état initial a eu lieu sans vitesse, hypothèse de

SUIS I. ÉLASTICITÉ. I u J

simplification qui n’altère pas les conséquences générales de la discussion suivante. A chaque terme de la série (2) correspondent le paramètre y et le son (t,t' ), ayant pour valeurs

(3) X (i, /') = ~ s/i' + ï' = ~ fa

Le son le plus grave pour lequel la membrane puisse vibrer, correspond à i = i' — 1 , d’où m= a, - 3 c (1 , 1) = y'a. Tout nombre ni somme de deux carrés , non carré, et non

divisible pour un carré, donne un son — V"* , qui forme

la base d’une série de sons commensurables; nous appellerons m, ainsi défini , Y argument de la série dont la base

est DZ> = \ üi ; suivant qtte m ne sera décomposable que

d’une seule manière en une somme de deux carrés, ou le sera de deux , de trois manières, nous dirons que l'argument est simple, double , triple. La suite des arguments est (2, 5, 10, 1 3 , \ y , 2G, 2p, 34, 3 j, 4 1 , 33, 08, fit, fia,. . .).

La formule = J — \jm comprend tous les sons de la

série dont l’argument est m, si l’on donne à J toutes les valeurs entières; les termes de te, qui appartiennent à ces sons, reproduisent, sans exception, toutes les solutions de l’équation indéterminée

Il existe, en outre, une série singulière , celle des sons comprenant toutes les solutions en nombres entiers de l’équation indéterminée

Nombre de termes donnant lo mémo son .

lesquelles solutions sont données pat - les formules connues ( 6 ) i — p'—q\ i' = 2.pq, J =p‘ + q\

où p et q sont des entiers quelconques. Les sons de cette série ont pour expression J ; mais la série est incomplète,

et même la base est virtuelle , car le son ^ ne peut pas être produit par la membrane carrée. Cette série à base virtuelle est 1 5 — ~ 5 i o i 3 — »••• ) » ou bien X (3, 4), 3^(5, 8 ),

X (5,i 2), ... ; on peut dire, par extension , que son argument est l’unité.

§ 54. — Quand on veut former l’equation des lignes npdales qui peuvent accompagner un son désigné, à l’unisson duquel la membrane carrée puisse vibrer, il faut nécessairement connaître le norabredes termes de te ( 2 ) qui appartiennent à ce son. La base n’a qu’un terme; toute

autre base dont l’argument in est simple et égal à (a 5 —J— ) , a deux termes : l’un où i — a , i' = ft , l’autre où ï = ( 3 , i'=ci. Quand l’argument est double, la base a quatre termes; six termes quand l’argument est triple. Pour indiquer qu’au son X (i, i') appartiennent deux termes, nous

l’écrirons X • Par exemple, l’argument 771=2 donne

la base à un seul terme X ( 1 , 1 ), l’argument m = 5 la base à deux termes X(J), l’argument double m — 6 5 la base à quatre termes X (J) = X ( j ). Tout son multiple

X,- — i ~ m possède un nombre de termes égal «à celui

des solutions de l’équation (4), où J est donné; si J n’est pas décomposable en deux carrés, X, a autant de termes que la base ; mais si J est de même espèce que les arguments,

SUli L’ÉLASTICITÉ. I2 r )

le nombre des termes de X >j est plus grand, et voici comme on le trouve :

Pour l’argument m — i , soit 3 = a* -+- ù*, on aura un couple de solutions de l’équation ( 4 ), en prenant pour i et i’ les deux nombres

a 1 — b 7 rfc 2 ab ;

ce qui donnera deux termes outre celui qui correspond à i' = i — J, c’est-à-dire trois en tout. Par exemple, m étant 2 , pour J = 5 le son X (5 , 5 ) = X ( ; ) a trois termes. Pour un argument simple, m = oc 1 -+- /S*, soit J = «’ -f- on aura des solutions de l’équation ( 4 ), en prenant les valeurs absolues de i et i' données par les formules

|( = a(o î — b 7 ) ■jp 2$ab , | i'=îs(ii± — b').

où les signes supérieurs et inférieurs se correspondent; ce qui donnera quatre termes comprenant, ou ne comprenant

pas , ceux de X

c’est-à-dire quatre ou six termes;

par exemple, pour m = 5 , si J = 5 le son a quatre termes X ( '* ) = X ( ) ; si J = 1 3 le son a six termes

36 (JJ) = (Y) = ’N* (”)• Pour un argument double

m — a* 4 - jS’ = *'* -f- jS'*, soit encore J = -f- b*, on aura

des solutions de l’équation (4) en prenant pour /et /' les valeurs absolues données par les formules ( 7 ), et par des formules semblables où a et (V remplaceraient a. et (5; ce qui^ donnera huit termes comprenant, ou ne comprenant

pas, ceux de X ( J* ) , X ('j,)

c’est-à-dire huit ou douze

termes; par exemple, pour m = 65 , si J = 5, le son a huit termes

= X(jJ) = X(JJ) = X(JJ),

Ligne* nodules de la membrane carrée.

si J = 1 7, le son a douze termes

. Nous ne pousserons pas plus loin ces règles partielles ni ces évaluations numériques; ce qui précède indique suffisamment la marche à suivre pour déterminer les termes qui

appartiennent à un son désigné 06/ = J — \Jm , parmi tous

ceux que la membrane carrée puisse admettre ; et cela , quel que soit le degré de multiplicité de l’argument rn , et lors même que J serait décomposable de plusieurs manières en deux carrés.

§ 55. — Donnons maintenant quelques exemples de la détermination des lignes nodales. Le son 36 (1, 1) = — V 2 n'a qu’un terme; son système nodal , donné par l’équation

x . y siriir — sm n —

ne comprend que les côtés. Le son 06 (2, 2) = 2 ^ y fâ ,

octave de la base 06 (t, 1), n’a aussi qu’un terme; son système nodal , donné par l’équation

sin 2 n - sm 2 ir — — o ,

comprend , outre les côtés, deux parallèles à ces côtés , menées par le centre de la membrane. Le son 06 ( ’ ) = \/5 a

deux termes; son système nodal, représenté par l’équation

a sinîs- sm ir - + n smr-smJi: 7 = 0,

sua i, «lasticité.

ou par celle-ci ,

sin c 7- sin it — I a cos jr - + a cos ir - J = o,

donne, outre les côtés, la ligne droite ou courbe, représentée par l'équation

a cos 7r — — I -a cos tt - = o ;

les coefficients a çt a' ayant des valeurs qui dépendent de l'état initial; si a' — o, la ligne ( 8 ) est une seule droite,

.r = ^ 5 parallèle aux x et menée par le centre de la membrane; si a — o, la droite y = -» est parallèle *aux y ; si

a' = — n, la ligne ( 8 ) est la diagonale y—x qui passe par l’origine ; si a! — a , c’est l'autre diagonale y x — ^ ;

enfin, pour toute autre valeur du rapport — > la ligne ( 8 ) est

courbe, elle passe par le centre où elle s’infléchit, de manière à toujours présenter sa concavité à une même diagonale.

Le son OU (3, 3) = 3 — octave de la quinte du

son ( 1 , 1 ) , n’a qu’un terme: son système nodal comprend , outre les côtés, deux trisectrices parallèles aux x , deux parallèles aux y , ce qui partage la membrane en neuf carrés

égaux. Le son OU ( j ) = ^ v^ïo a deux termes ; son système

nodal est représenté par l’équation

■ 1 x ■ y , t ■ x 1 y a sin i jr - sin jr ; — H a sin n — sin 3 ir — o ,

ou, puisque sin 3 <p = sin 9 (4 cos’ç — 1 ) , par celle-ci ,

X sin Tt T U (4 <"OS 5 * T — -+- a ' (^4 COS 3 7T^ — l'j'j — O, •

sin n

1 a 8 LEÇOISS

et donne, outre les cotés, le lieu géométrique dont l’équation est

( 9 ) « ^4 cos ’ 77 ^ — t j 4 - a ( 4 cos 7 n ' ^ — i J = o ;

si a' = o , ce sont deux trisectrices parallèles aux .r; si a = o , deux parallèles aux jp; si a' = — a , c’est l’ensemble des deux diagonales ; si a' = a , l’équation (9) devient

ou bien

2 cos’ 77-4-2 cos’ n~ — 1 = 0,