I.KGONS
mules (i), § 20; de l’équation jV 3 = o, on peut tirer la
dérivée ^ en ( ~ j ) ' et la substituer dans N, , N, , ce dz \dx dy )
qui donné
2 fi 2(> + p)— 4-X
dtT\
Ty\
X H- 2fi
ri! = ; » >3 — p l ~r
x-t-2p \(ty
dv du \
x -t- 2 f ' r \<(y tIx )
Ces valeurs transforment ainsi les équations (7) ,
il l( v •*«««,
4 ( 5 - f*) -f-(3X-t-3«.pL) ^ 7 ^ 7 ^ -«- ( > -4- 777 T = °>
dx dy
dÿ>
Afin de traduire les conditions relatives au contour de la membrane, soient IVb un point de ce contour pris sur le plan moyen , et ç l’angle que la normale en M'-au cylindre contournant fait avec l’axe des x ; 011 aura
j N, cos y -+- T 3 sin y = X , I Tj cos y N, sin y — Y ,
pour les composantes (X, Y, o) de la force élastique qui s’exerce sur ce cylindre en M', lesquelles doivent être respectivement égales aux deux composantes de la force appliquée extérieurement au même lieu. Les équations (10), exprimées en 7 - U ' V ! à l’aide des valeurs (8), devront être 1 ' '
vérifiées par les fonctions (u, e) résultant de l’intégration des équations (9), quand on y substituera les coordonnées de tout point M ; du contour.
Supposons que la résultante F de (X, Y) soit constante,
SUR L’ÉLASTICITÉ. I l3
et normale au cylindre contournant. On aura X = F cos ç, Y = Fsin et les équations (to) deviennent
i (N,— F)cos ? -t-T 3 sin ? = o,
I T 3 cos <p-+-(N, — F) sin <p = o .
Si l’on prend maintenant, dans toute l'étendue de la membrane ,
(la) T, = o, N, = N, = F,
les équations (7) et (i 1) seront satisfaites, et les dernières quel que soit c'est-à-dire que la membrane plane sera également tendue dans tous les sens, et partout; de telle sorte qu'on pourrait, sans troubler son équilibre d'élasticité, la limiter par un cylindre contournant de forme quelconque , pourvu qu’on appliquât normalement à ce cylindre, et sur toute sa surface latérale , une traction d'intensité constante F. C’est ce cas, extrême et simple, dont il nous importait de bien établir la possibilité. Les valeurs (12), substituées dans les équations (8), donnent
fin dv dx dy
du dv dy + Tx= 0 '
d’où l’on conclut par l’intégration : u — ax — b y , v — a.y-\-hx\ l’origine des coordonnées étant supposée fixe, et b étant une constante arbitraire. Mais les termes en h indiquent un déplacement par rotation autour de l’axe des s, lequel ne ferait uaitre aucune force élastique; 011 peut donc supprimer ces termes , et prendre
« = ax ,
<’ = ay ,
JL F
pour représenter la loi du déplacement moléculaire dans une membrane plane, également tendue dans tous les sens. La traction constante F est ici rapportée à l’unité de sur-
♦ ace; ou bien, F edi est la traction exercée sur l’élément ida de la surface du cylindre , compris entre deux arctes séparées par une étendue d a du contour.
Le coefficient a représente ici la dilatation linéaire; cette dilatation est la même dans toutes les directions, et en tous les points de la membrane ; elle est proportionnelle à la traction F; si F = i , elle devient
j'= l±ge.
ÎNous avons vu, § 29, que, dans un solide homogène et d’élasticité constante , sur la surface duquel s’exerce une pression égale à l’unité, la contraction linéaire., partout la même, est
2ft
Enfin, on sait que la dilatation, dans un fil tendu par une force égale à l’unité, est
fi (3X +- 2 fi)
En rapprochant ces trois coefficients spécifiques, on a la proportion multiple
Æ : 5 " : : 2 j* : jx + x : 2 p -t- ax .
Suivant Poisson, qui admet la relation fausse X = fu., on aurait
Suivant M. Wertheim, qui admet la relation douteuse A = au, ou aurait
rî : 'V : r : : t : 2 : 3 ;
c'est-à-dire que la dilatation serait en raison inverse du nombre des dimensions qui la subissent.
Sl'lt l'élasticité.
§ 18. — Il est maintenant facile de former l’équation Membrane aux différences partielles, qui exprime la loi des vibrations transversales d’une membrane plane , également tendue. On fait abstraction de toute force extérieure sollicitant la masse; la membrane plane est horizontale; sur son contour, quel qu’il soit, on applique des tractions normales au cylindre contournant, et d’intensité constante F ; puis on ébranle la membrane, de telle sorte que chacun de ses points monte ou descende, et vibre ensuite sur une verticale, ou parallèlement aux z; il s’agit de trouver la loi de ce mouvement vibratoire. À l’époque t , un point IM de la membrane, dont les coordonnées primitives étaient (a?, y, z = o), aura pour nouvelles coordonnées (x-+-u, y - t- e, z = o -f-w) ; («, e) , indépendants de t et ayantles valeurs ( 1 4 ) ■> sont les projections du déplacement produit par la traction F seule, sans mouvement subséquent; w, fonction de (x,y, t), est le déplacement variable pendant la vibration. On admet que les forces élastiques qui , naissant du mouvement , s’expriment par les dérivées de iv, disparaissent devant celles, incomparablement plus grandes, dues à la traction F; on devra donc prendre simplement N, = N* = F; en outre, puisque u — ax , v = ay, on a T, = o. Ces valeurs étant Substituées dans l’équation (6), où actuellement z n’existe que
, tl'w .
par w , et ou p = o , q = o , A 0 = — > on a de suite
. c fl 1 IV /<■/*«' (V M'\
pour l’équation cherchée.
•§ 49. — L’intégration de celte équation aux différences partielles du second ordre à trois variables, fera connaître la loi des petits mouvement* de la membrane. Pour cela, la fonction iv intégrée doit être telle, qu’elle se réduise à zéro à toute époque, pour les valeurs des coordonnées
5létlio<Iu
ü'intëitrallon.
qui appartiennent aux différents points du contour fixe et donné; il faut, de plus, qu’à l’origine du temps , la fonction iv et sa dérivée — aient les valeurs qui correspondent à l'état initial; c’est-à-dire à l'instant où les déplacements, cessant d’obéir à l’ébranlement primitif, ne sont plus régis que par les forces élastiques. Dans toutes les questions de Physique mathématique, c’est le même problème d’analyse qui se présente, avec quelques différences dans la forme ou dans l’énoncé. Les géomètres modernes ont complètement résolu ce problème dans un grand nombre de cas , et c’est là une de leurs découvertes les plus utiles. Nous saisissons l’occasion qui se présente ici d’indiquer cette solution sous un point de vue plus général que celui du § 44 .
Supposons que la membrane ait pour contour fixe un rectangle dont un sommet soit l’origine des coordonnées, les deux côtés adjacents étant / sur l’axe des a:, /' sur l'axe desjy. La fonction tv, de ( x , y, l) , devra : i° vérifier l'équation (i 6) ; a° s’annuler pour x=o, x= /, quels que soient (y, t), pour y = o, y — quels que soient (x, t); 3° reproduire l’état initial représenté par les deux fonctions données
l’Indice zéro indiquant que l’on fait < = o, dans la fonction iv et dans sa dérivée —■ Les deux premières coudilions sont satisfaites par la série double
( H cos y f -+- H' sin 7 1 ) sin ir. - sin i ' * j,\
chaque terme contenant deux nombres entiers quelconques t et i' , le paramètre •
et lieux coefficients indéterminés H, H'; la double série s’étendant à tous les nombres entiers pour i et pour i'. En effet, ou reconnaît facilement que chaque terme de \v (t8) : i° vérifie l’équation (16) quand y a la valeur (19), et 2 0 s’annule pour x = o , pour ^ = 0, V . La reproduction nécessaire de l’état initial (17) conduit à rendre séparément identiques les deux équations
H sin ir. y sin i’ir = f{x, y),
7 H' sin »ir - sin i'ir j r = F (x, y).
Or, ou sait que , dans ces équations, les premiers membres donneront les mêmes valeurs que les seconds , pour x compris entre o et /, y entre o et l\ c’est-à-dire pour tous les points de la membrane, si les coefficients 11 et H' sont les deux intégrales définies doubles
J f /(a, (JJsiniVysin/'jr^rfjli/».
H' = Ç I F ( a , (5) sin tir J sin i'n j, dfyilu. ;
les fonctions données, f et F, étant essentiellement nulles sur le contour de la membrane qui, par sa fixité, n a pu être ébranlé* Ainsi, la fonction te (18) , où les coefficients 11 et H' ont les valeurs (21), satisfait à toutes les conditions imposées, et représente la loi du mouvement d’une membrane rectangulaire.
§ 50 . — Cette solution générale mérite d’être éclairée par un exemple. Prenons
ldtv\ . ,
«'• =/(*,/) = **(./ — *) y ( 1 — r)> \-fi ) = 1 ‘ (■*>/)— °>
A ppllcadon
ce qui suppose que la membrane, déformée par l'ébranlement, ait été abandonnée sans vitesse lorsqu’elle figurait la surface légèrement courbe, représentée par l’équation
z = kxy (l— x) (/' — y),
où h est une très-petite quantité et qui satisfait à la condition de fixité du contour de la membrane. La valeur
maxima de l’ordonnée z a lieu pour x = - » y = - ; désignons cette valeur par h, ligne très-petite, on aura
Puisque F = o, on a H' = o. On évalue facilement II, lorsque f (a, ( 3 ).= A a (Z — et) . j 3 (Z — ( 3 ) , si l’on constate d’abord la valeur de l’intégrale définie
u (X — u ) sin q-,
où q est un entier, laquelle est zéro si q est pair, et égale
à si q est impair. C’est ce qui fait disparaître tous les
termes de w (18), où i et i' ne sont pas tous les deux des entiers impairs ( 2 / i , 2y'-4-i); pour les termes qui
restent, on a #
et la série W devient
sin ( 2 y + l) * ï sin (2/+i)ir^ 2 ( 2> -h i }* (s/h-i)’
cos 7 r ,
•suit L KLASTIC1TK. IH)
où le paramètre y est
La série (t8), qui exprime la loi des petits mouvements de la membrane rectangulaire, se compose en général d'une infinité de termes; mais chacun de ces termes pourrait exister seul, si l'ctat initial s'y prêtait: il suffirait, pour cela, que les fonclionsy’ct F (i j) fussent toutes les deux égales au produit des sinus en x et en y, qui caractérise en terme, multiplié par des facteurs constants, § 4t. (iliaque terme de la série w représente donc un des mouvements possibles; ce mouvement simple est périodique, puisque le temps t n’y entre que sous des signes trigouomélriques ; c’est un mouvement vibratoire, un son , dont nous étudierons la loi dans la Leçon prochaine. En résumé, le mouvement le plus général de la membrane est le résultat de la coexistence ou de la superposition d’une infinité de sons ou de mouvements vibratoires simples; et l’état initial , qui détermine les coefficients , ne fait qu'assigner à tous ces mouvements simples leurs amplitudes relatives; car, lorsque la tnèinc membrane est ébranlée d’une autre manière, les mêmes sons se produisent encore simultanément, c’est-à-dire que les mêmes mouvements vibratoires simples se superposent, seulement les rapports de leurs amplitudes ne sont plus les mêmes,
§ ül . — îNous avons dit , § 39 et § -46 , que les fils et les membranes sont des cas singuliers ou très-exceptionnels delà théorie de l'élasticité des solides; la considération des surfaces isostatiques, dont nous parlerons plus tard , § IM), le fait voir très-nettement, en donnant immédiatement toutes les conditions qui régissent ces exceptions. Mais ou peut son assurer, quoique moins complètement , par la
Caraclêri exceptionnel des fils et des inciubraueb.
discussion suivante. Désignons par (F, G, H) les trois coefficients de l’cqualion (ta), § 22, qui donne, en chaque point, les trois forces élastiques principales-, supposons que le milieu solide, soumis à des efforts extérieurs , soit en équilibre d’élasticité, et qu’une intégration convenable ait déterminé les fonctions N , T,-; alors les coefficients (F, G, H) seront aussi des fonctions connues de (x,y, z). Cela posé, l’équation H = o représentera une surface particulière, lieu géométrique de tous les points du solide où l’une des forces élastiques principales est nulle; cette surface pourra figurer une membrane élastique , mais il faudra pour cela que les deux forces élastiques principales ^ q U ; res t en t en chaque point, soient dirigées dans le plan tangent, et qu’elles soient entre elles dans un certain rapport dépendant des deux courbures de la surface. Le groupe des deux équations H = o, G=o, représentera une ligne courbe, lieu géométrique des points du solide où deux des forces élastiques principales sont nulles 5 cette courbe pourra figurer un fil élastique, mais il faudra pour cela que la force élastique qui reste soit dirigée suivant la tangente. Enfin, le groupe des trois équations H = 0, G = o, F = 0, donnera un ou plusieurs points du solide où toutes les forces élastiques sont nulles. •
sua l’élasticité.
