a ' cos

et . outre les côtés , comprend le lieu géométrique

(10 ) a cos 77 ^ ( 4 cos’77 - 1 ^ 4 -a' cos 77 ^4 co&1 77 ^ — 1^ = 0;

suit L’ ÉLASTICITÉ. I i()

si a' = o, cc sont deux triscclriccs parallèles aux x, et une bissectrice parallèle aux y ; l’inverse a lieu pour a = o; si a’ = a , l'équation (io) devient

^COS TT ^ 4- cos jr ^4 cos ir î cos it — 1^=0,

et comprend , outre la diagonale y -4- x — X , la courbe

4 cos ÎT — cos 1t - = i ,

qui figure deux parties d’une sorte d’hyperbole équilatère, dont les asymptotes, partant du centre, seraient parallèles aux côtés , l’origine des coordonnées étant intérieure à l’une de ces pallies; si u' = — a, on obtient la même figure relativement à la diagonale y — x.

La discussion des systèmes nodaux, appartenant à d’autres sons de la membrane carrée, nous conduirait trop loin. D’ailleurs, cette recherche ne tarderait pas à devenir inabordable : s’il s’agissait, par exemple, de démêler toutes les variétés des systèmes nodaux qui peuvent accompagner

le son 17-^vteb § 54 , et qui sont représentés par une

équation de douze termes, contenant conséquemment onze coefficients, cc serait entreprendre un travail au moins comparable à celui de la discussion complète des courbes du troisième et du quatrième degré. Le très-petit nombre de systèmes nodaux de la membrane carrée que nous avons décrits, comparé au nombre, infini de tous ceux dont l’analyse indique l’existence, laisse un champ vaste, et l’occasion d’une sorte de triomphe, aux expérimentateurs qui ont pris pour sujet de leurs recherches les figures si variées que le sable dessine sur les surfaces vibrantes; il faut nous résigner à celte défaite.

Clasücmeni ücs sons tic la mcmbrano rectangulaire.

§ 56. — Revenons maintenant à la membrane rectangulaire. Si les côtés sont commensurables , et que l’on ait l = , I' — e'X , e et e' étant des entiers , le son correspon-

dant à l’un des termes de te ( 18 ), § 49, sera

si l'on prend i— cj , ï — e j' , le son devient Jï>= — \ j* y' 5 .

ou l’un quelconque des sons appartenant à la membrane carrée de côté /. Ainsi , parmi les sons de la membrane rectangulaire, se trouveront tous ceux pour lesquels cette membrane se divisera en ee! concamérations carrées et égales entre elles; et toutes ces concamérations, pouvant vibrer à l’unisson de la membrane carrée de côté X, celle-ci leur communiquera tout son cortège de séries de sons, de multiplicité de termes et de lignes nodales courbes. Mais tout n’est pas fini avec la théorie des nombres; car, comme on va le voir, la membrane carrée n'est qu’un cas paiticulier, entre une infinité d’autres pour lesquels il faut aussi recourir à cette théorie.

Lorsque les carrés des côtés, /’ et /'*, sont commensurables, le classement des sons de la membrane rectangulaire ne se fait pas non plus de la même manière que lors de l'incommensurabilité complète étudiée au § 52; et il existe aussi des sons auxquels appartiennent plusieurs termes de te ; mais , pour traiter ces cas nouveaux , il faut avoir re-

cours à d’autres propriétés des nombres. Si l’on a l'* —

A étant un nombre entier non carré, un son quelconque de la membrane sera î)ô.= ~-j V * 1 A i'~ ; alors il y aura autant de séries de sons, ou autant de bases de séries qu’il existe d’arguments m de la forme (?' s -f- Ai'*) . non carrés et

SUR l’élasticitk. t3i

lion divisibles par un carré; plus, une série singulière, ou. «à base virtuelle, comprenant toutes les solutions entières de l équation t* + At' ,1 = J*j et pour déterminer le nombre

des termes appartenant à un son désigné -X = J— y/», il faudra résoudre en nombres entiers l’équation /’ -+• A/' 1 ’ = ni P ,

lorsque J sera de même espèce que les arguments. Si l’on a , A et B étant des entiers non carrés,

la valeur générale de sera y/Ai ! -t- B/'*, et ce seront

les propriétés des nombres de la forme (Ai* -+-Bi'*) qui régleront les bases des séries, et la multiplicité des termes appartenant à chaque son. Ainsi , bon gré, mal gré, il faudrait passer en revue les propriétés de toutes les formes quadratiques des nombres entiers, si l’on voulait traiter complètement le cas de la membrane rectangulaire. Aussi laisserons-nous cette tâche à d’autres , plus patients et plus habiles.

§ ti7. — La membrane dont le contour est un triangle équilatéral mérite d’ètre étudiée; sa comparaison avec la membrane carrée conduit à des rapprochements remarquables, que l’expérience pourrait vérifier. On traite cc nouveau cas à l’aide d’un genre de coordonnées que j'ai introduit, pour exprimer l’équilibre cl le mouvement de la chaleur dans le prisme triangulaire régulier. Soient O le centre et l le rayon du cercle inscrit au triangle équilatéral ; par un point intérieur menons trois droites parallèles aux côtés, abaissons sur ces droites, et du point O, trois perpendiculaires; ces perpendiculaires, désignées par P, P', P", forment trois coordonnées, positives vers les côtés, né-

Membrane

triangulaire

équilatérale.

i 3s leçons

gatives vers les sommets, et dont la somme est toujours nulle - , ainsi l’on a

et les côtés sont représentés par les équations P= /, P' = /, P" = /. La fonction W de (P, P', P", <), qui donne le déplacement normal et variable d’un point quelconque de la membrane, doit : i° vérifier l’équation (16), § 48, transformée convenablement; a° s’évanouir séparément pour P = /, P = l' , P = quel que soit t, puisque le contour est fixe; 3° enfin reproduire l’état initial pour / = o. Nous supposons cet état initial sans vitesse et symétrique par rapport à l’axe de la coordonnée P.

Ces conditions sont satisfaites par une fonction de la forme

(il) W = JFHV cosyf,

V étant la somme suivante :

V = sin— (À P -h p P' 4- » P" 4- 3 U)

2ït

-t- sin — (f*P-f-vP'-t-).P"-f'3fi/)

1TX

i-t- si n — ( v P 4- 1 P ' -h P * -t- 3 v / )