SEIZIÈME LEÇON

Équilibre d'élasticité d’une enveloppe sphérique. — Équilibre d'élasticité d’une croûte planétaire. — Application au globe terrestre. — Surfaces isostatiques.

§ 87. — Lorsque l’on se propose d'étudier les lois inlé- équilibre gralcs de l’équilibre d’élasticité, dans un milieu solide li- q.^éni^pp® mité par des surfaces de forme déterminée, la sphère et les 5p,ltrl ' in ' : enveloppes sphériques conduisent aux résultats les plus complets. C’est, en quelque sorte, le dernier des quatre: chapitres d’un Traité, dont lestrois premiers considéreraient respectivement l’équilibre intérieur d'un milieu solide limité par un seul plan , celui de l’espace compris entre deux plans parallèles , et enfin celui d’une enveloppe cylindrique indéfinie. Si, en outre, on possédait la solution du problème général (pie nous avons énoncé au *§ (H), sur l’équilibre intérieur du prisme rectangle, on aurait une véritable Statique rationnelle dès milieux solides élastiques, certainement plus difficile que leur dynamique. Cette science nouvelle, dont l’utilité serait incontestable, est incomplète aujourd'hui; nous en avons indiqué les diverses parties et nous allons compléter cette esquisse par deux derniers exemples.

11 s’agit d’étudier l’équilibre d’élasticité d’une enveloppe solide sphérique, dont la paroi intérieure de rayon r„ est soumise à une pression constante — P 0 , et dont la paroi extérieure de rayon /•, éprouve une autre pression — P, . iNous suppposons P 0 plus grand que P, , et tellement que (r] P„ — rJP,) soit positif. INous faisons abstraction des forces (R 0 , <I> 0 , T,, ), Dans ces circonstances, \ = o, AV = o ; .

L existe seul , et ne dépend que de la seule variable r. Les

a i a LEÇONS

formules (7), § 84 , donnent

rfU

e = — 4-2-» R, = xe 4- 2u — > <j>., = ij = \o 4- 2u -

tir r n r * r

Des trois équations générales ( 5 ) , § 8d, les deux dernières sont identiques ; la première se réduit à

dr r

et devient, par les valeurs (1),

dO b

— = o, d ou (2! U = fr- 4 — 7; dr /■’

c et b étant deux constantes. Par celle valeur (2), la dilatation et les forces élastiques principales (t) s’expriment ainsi :

6 = 3 c, R, = (3X4 - 2 ft) r — 4p — , *5 = = ( 3 X 4- 2 p ) c -t- 2 u ~

Mais la force élastique normale R, doit devenir — P<, pour/ - = /"o , et — P, pour r = r, 5 ce qui donne, entre cet b, fes deux relations

(3X4-2ft)c — 4(*4 — — p »> (3*4-2p)c — 4 (*-5 = — P,,

d’où l’on conclut

/ A r * r ?(Po — Pi )

ri p, - /■; P.

(3).4-2p)(r; — rj)’ r’ P 0 - r’ P,

L lil ( P» -P») r; - r; (/•?-/■:)'

Ainsi , l'enveloppe s’est dilatée , cl cela uniformément; en tout point M intérieur, les trois forces élastiques principales sont dirigées suivant les normales aux surfaces coordonnées; celle qui s’exerce sur la sphère de rayon rest toujours une pression; les deux autres sont des tractions égales entre elles , et dont la plus grande valeur, qui a lieu vers la paroi intérieure, est

( ' ’ a(r;-ri)

Si l’on donne. à A la valeur-limite que la traction maxima ne saurait dépasser sans faire craindre une altération permanente, la relation (5) conduit à

pour la moindre valeur que I on puisse donner au rapport — • Cette valeur indique que, si la pression intérieure r «.

égale ou surpasse le double de la limite, A , augmenté du triplede la pression extérieure, l’enveloppe s’altérera inévitablement. Posons

er 0 donnera l’épaisscur-limite de l’enveloppe sphérique; dans la pratique, ( P„ — P,) est la pression effective, et son rapport e à (A-+-P 0 ) est ordinairement une très-petite fraction; alors l’équation (6) se réduit à

c’est-à-dire à la moitié de l’épaisseur-liinilc trouvée, § 80, pour l’enveloppe cylindrique.

Équilibre d'élasticité d'une croûte planétaire.

§ 88. — Nous allons considérer maintenant l’équilibre d’élasticité d’une croûte planétaire, en la supposant sphérique, partout’dejmèine épaisseur, et homogène' dans toute son étendue. Analytiquement, ce nouvel exemple ne se distingue du précédent que par la présence du terme plî 0 dans la première des équations générales (y), §84; — P 0 est la pression du noyau liquide sur la paroi intérieure de rayon r 0 ; — P, est la pression exercée par l’atmosphère gazeuse sur la surface extérieure dont le rayon est r, ; on a

<!>„ = o , ¥„ = o, et R 0 == — g > g étant l’intensité de la

pesanteur à la surface, supposée constante; R 0 variant intérieurement à l’enveloppe solide, comme la distance r au centre. Dans ces nouvelles circonstances, o\i a encore V = o, W = o ; U existe toujours seul; les formules ( 1 ) subsistent aussi; la seconde et la troisième des équations générales sont encore identiques, mais la première se réduit à ’

().-+- 2 u) = — r, d’où (o) 0 = ar* + 3cj

tir r,

1 : étant une constante arbitraire, et a désignant, pour abréger,

û s - ET

( 10 ) n = -—ri — : — = — rr ; — ?

v ‘ 2 (X-t -2p)r, a(>-(-2ft)r, t

où a est le poids de l'unité de volume de la matière solide. Si, dans l’équation (y), on substitue à S sa valeur ( 1 ) en U, il vient

= tir' -+- 3 cr-, d’où, (l 1 ) U = ^ r* + cr -4- — ; tir 5 r"

b étant une autre constante qui se détermine, ainsi quec, par la double condition que 11, ( 1 ) devienne — P 0 pour

SU II L KLASTICITK.

r=/ 0 , et — Pi pour r = r, ; on obtient ainsi

fia)

4f lb — -(* ■+• t f* )«-’—! — — >

La force élastique normale R, a définitivement pour

valeur

où FI représente, pour Simplifier, l’expression

(.4)- H = r' [r] — r]) — r 1 (r{ — rj) +>J r} (rj — rj),

laquelle jouit d’une sorte de symétrie en /•<>, r, r, ; car elle peut prendre aussi les deux formes

a = r\ ( r\ — r 5 ) — r’ (r| — r‘) -+- rj r* (rj — r 7 )

= r l ( rJ — r ',) ~ r l (f* ~ r\) -h r] r> (r’ — r]) ,

qui indiquent sa divisibilité par (>' — r 0 ), par (r — r,), et conséquemment par le produit de ces deux facteurs. Ou peut donc poser

(l5) Il = (r— r,) (r — r,) Q = [r ! — ( r 0 r,) r -+- r,r,)Q,

d’où l’on conclut immédiatement, par une simple comparaison avec n (14),

(16) Q = {r\ — r\) [r : ’-H {r.+r, ) r 1 ] -hr]r\ (r] — r J) [(r,-+-r,) r+r.r,].

Qest donc essentiellement positif ; par suite, Il (i5) est négatif, puisque r est compris entre /' 0 et r, . De là résulte que la force élastique R, (i3), qui s’exerce sur la surface

aib' LEÇONS ■

sphérique de rayon /', est une pression dans toute l’étendue de l’enveloppe solide.

Si l’on désigne par F la valeur variable , commune aux deux autres forces élastiques principales <I>j , Ÿj , et par F a , F, les valeurs numériques que prend F pour /• = r 0 , r = r , , on trouve facilement

»-irî(P.

r '~'° i (3>44»p)rX( r î— r î)+ a ft+ 2 p)n ~|

L 5ft rJ — r y a^(rî-ri) J

•rj P 0 — rj P i rî(P. — P,)

+ 2 (rî-rJ)

F - ^ P o-^ P . , ^(Po-P.)

L r\—fî V F ' 2 (rJ — r>)J’

F est la force élastique exercée sur un plan vertical, ou passant par le rayon r; F, est l’intensité de cette force près de la surface extérieure; F 0 son intensité près de la paroi intérieure. La soustraction des valeurs (17 ) donne

Soit désignée par s l’épaisseur (/•, — ;* 0 ) de l’enveloppe

solide. Si le rapport - est une petite fraction, on pourra,

par approximation, négliger 1 devant r , , remplacer par /•,, et généralement (/•', — /■*,). 'par on trouve

qu'alors F, (17) se réduit à

('9> F '= “( p . — Pi— •»')»

quand on remplace a par la valeur (10) ; et l’équation (18) donne, par une transformation facile ,

1 + lu

en négligeant - devant l'unité.

La substitution des valeurs (12), dans (11), donne — ; U U

on eu déduit — > — > et l’on trouve exactement , par soustraction,

121) — # 1 Po P 1 ” Cî £ J 1

puis, le même genre d’approximation qui nous a conduit aux valeuis (19) et (20) donne

c - (P. — P, — Ot), OÙ C = y — > £ 4p (3X 4- 2 p)

(P,— P, — ot).

Rappelons que li est le déplacement suivant le rayon'/': ce déplacement vertical est U, à la surface extérieure, U„ à la paroi intérieure. Enfin , avant de discuter et d’appliquer ces diverses valeurs, préparons une dernière formule : dans la première équation (22), remplaçons U, par U, /'i par R, cr par pg, elle deviendra

a 18 LEÇONS

où U représente l'exhaussement du sol, en un point de la surface de la planète, distant du centre de R.

Application § 89 . — Nous supposerons qu’il s’agisse du globe ter- Biobo torrostro. rostre, en faisant abstraction de l’hétérogénéité de la croûte solide, des inégalités de son épaisseur et de son aplatissement vers les pôles. L’épaisseur s à laquelle les géologues assignent, au maximum, [\ myriamèlres, est, au plus, la cent-cinquantième partie du rayon de la terre, ou la trois-

centième partie de son diamètre; le rapport — est le même

que celui qui existerait dans une sphère creuse, de 3 mètres de diamètre, dont l’enveloppe aurait i centimètre d’épaisseur seulement ; ce rapport est donc une petite fraction, et nos formules approximatives lui sont applicables. La force élastique F, (19) est celle qui s’exerce au-dessous du sol, sur un plan vertical quelconque; suivant que la pression effective P 0 — Pi est supérieure, égale ou inférieure à us , cette force élastique représente une traction , est nulle ou représente une pression ; cts est le poids d’une colonne composée de la matière solide , et qui , ayant une base de 1 mètre carré, aurait une hauteur égale à l’épaisseur i. Le coefficient - 0 - est environ y 5 ; de la résulte que

la différence de (P 0 — Pi) à cts est actuellement nulle ou peu considérable; car, si petite qu’elle fût, multipliée par ^ 5 , elle donnerait à la force F, une intensité telle, qu’il devrait en résulter des phénomènes de dislocation. La force élastique F 0 ( 20) est celle qui s’exerce sur un plan vertical près de la paroi intérieure; si F, est nulle, cette force élastique F 0 est une pression — ^ ^ ^ cts ; si F, est négatif ou

représente une pression, F 0 est une pression plus forte encore. Mais, si F, est positif ou représente une traction,

srii

2 HJ

F 0 peut encore être une pression ; c’est ce qui arrive lors des violentes commotions où le sol s’ouvre-et se fendille.

Supposouj que F, soit une traction. En un point de l’enveloppe solide, situé près de la surface extérieure, l’ellipsoïde d’élasticité aura pour équation

l’axe des x étant vertical; il existe alors un cône de forces langentielles , § 23 , dont l’équation est

PÏ ’

sur tout plan, tangent à ce cône, et conséquemment incliné à l’horizon d’un angle /, , tel que

langi.rry^-)

la force élastique est tangentiellc ou tend à faire glisser l’une sur l’autre les deux parties séparées par ce plan. L’intensité de cette force tangenticlle, ou de glissement, est représentée par le demi-diamètre -f, de l’ellipsoïde de révolution (24) situé sur le cône<droit (20), et l’on trouve pour sa valeur

c’est-à-dire une moyenne proportionnelle entre la traction F, et la pression P, .

Les mêmes relations existeront en un point M de l’enveloppe solide, situé à une plus grande profondeur audessous du sol : la force élastique F (17) étant une traction, si l’on désigne par — P la pression exercée sur la surface sphérique dont M fait partie, par •? la force élastique tangciitiello ,■ et par i l’angle à l’horizon des platrs sur lesquels.

elle s’exerce, on aura

Les failles et les glissements qu’on observe dans les terrains géologiques sont sans doute dus à l'action de la force tangeutielle dont il s’agit. L’observation fait connaître l’angle i\ l’expérience pourrait donner approximativement l'intensité de la force nécessaire pour faire glisser l’une sur l’autre deux parties d’une même roche; alors, les deux équations précédentes, qui donnent

(aol P = tang / , F = - — — . j .

v w ' 0 tangi

feraient connaître la pression verticale et la traction horizontale qui ont dît présider à la formation d'une faille observée.

Les formules (22) montrent que si la différence de (P 0 -P,) à us est nulle, comme il y a lieu de le supposer, non-seulement F, (19) est nul, mais aussi U, et U 0 ; c’est-à-dire que les deux parois ont repris leurs positions primitives, ou celles qu’elles auraient sans les pressions et sans l’action de la pesanteur. Ce qui veut dire que la dilatation totale résultant des pressions inégales — P c et — P,, se trouvé compensée parla compression , totale aussi, due à l’action de la pesanteur. Résultat remarquable et qu’il était difficile de prévoir. Passons à l'application de la formule (23). La terre n’étant pas sphérique, nous admettons que, sur chaque verticale, les choses se passent comme dans l'enveloppe sphérique osculalriee, de même épaisseur s , et dont la paroi extérieure aurait' pour rayon la distance R au centre de la terre , du lien où la verticale considérée vient rencontrer sa surface. Par exemple, (U 7 , R 7 , g') étant les valeurs des (U, R, g) qui correspondent à la Bretagne, et

SUR 1,’ÉLASTtClTÈ.

(I ", R", g') celles qui correspondent à la Suède , nous poserons

U' =: C ^ ?Î-Zllj R' 1 — p. g' R ,J j ,

en admettant que l’épaisseur £ et les pressions — P 0 , — P ; sont les mêmes sur les deux verticales.

Or, si l’on fait abstraction de la faible variation que la force centrifuge fait subir à la pesanteur, on pourra regarder les deux produits g'R” et g^R"* comme sensiblement égaux, et les équations (do) donneront, par soustraction ,

D'après cette relation, puisque (R ,s — R"’) est positif,

U' — U" est de même signe que P 0 — P, ou positif, et varie dans le même sens. C’est-à-dire que si XJ't — U" a diminué, il faudra en conclure que P„ a aussi diminué. On sait que le sol de la Bretagne s’est affaissé, puisque I on y a constaté la présence de forêts sous-marines; au contraire, le sol de la Suède a dù se relever, puisqu’on observe des coquillages sur les côtes que la Baltique ne peut . plus atteindre. Par cette double raison, U' — II" a diminué ; ainsi la pression intérieure a été ou va en diminuant.

Ce résultat parait s’accorder avec l idée de M. F.lie de Beaumont, sur la formation des chaînes de montagnes, à la suite d’un affaissement général , dû au refroidissement : car il semble résulter de cette idée que la pression intérieure doit aller en diminuant, d'un cataclysme au suivant, du dernier à celui vers lequel nous avançons.

Cette application de la théorie de l’élasticité à l'équilibre • intérieur de l’écorce terrestre pourra paraître trop hasar-

déc ; mais s'il eu est ainsi , les applications de la théorie analytique de la chaleur au refroidissement du globe, faites par Laplace, Fourier, Poisson , doivent inspirer les mêmes scrupules. Et nous ne nous défendrons pas d’avoir imité ces illustres géomètres , lors même qu’ils se seraient trompés, en appliquant aux sublimes questions de la Mécanique céleste de simples formules de Physique mathématique. Au reste, la question que nous avons abordée peut se traiter d’une manière plus complète ou plus voisine de la réalité : nous avons constaté, par des recherches analytiques , qu’en considérant la terre comme un sphéroïdç peu différent de la sphère, qu’en prenant pour les deux parois de l’enveloppe solide des ellipsoïdes homofocaux, ce qui donne une épaisseur variable; enfin, qu’en ayant égard aux variations de la pesanteur ducs à la force centrifuge, on arrivait, dans tous les cas , aux mêmes conclusions.

Surfaces

isoslQliqucs.

§ 90. — Avec cette Leçon se terminent les exemples où le milieu solide est à la fois homogène et d’élasticité constante. Nous aurions voulu les présenter sous une forme plus générale, mais les bornes de ce Cours ne le permettaient pas. Dans un Mémoire sur les surfaces isostaliques , inséré au Journal <le Mathématiques de M. Liouville, j’ai transformé les équations de l’élasticité en coordonnées curvilignes quelconques. Ces équations sont de deux sortes ; celles qui expriment l’équilibre d’un élément de volume, à l’aide des forces élastiques exercées sur les surfaces conjuguées, sont générales et pourraient s’établir directement, comme nous l’avons fait pour le système cylindrique et pour le système sphérique; celles qui donnent les composantes des forces élastiques , à l’aide des projections du déplacement sur les tangentes aux axes curvilignes, ne concernent que les solides homogènes d’élasticité constante et doivent être modifiées, puisqu’il est indispensable d’admettre deux coefficients iué->

Sllit l’élasticité.

gaux, X et fx, au lieu d’un seul. Les développements préliminaires, qu'exige remploi des coordonnées curvilignes et de leurs formules de transformation , ne nous ont pas permis de reproduire ici cet ancien travail. Mais il est utile d’en énoncer la principale conclusion; elle est écrite dans les équations

—, — H P F ils

its,

*4--+- pF,

flS |

Aj A ,

qui expriment la loi des variations des forces élastiques principales dans un système isostatique; c’est-à-dire dans un système orthogonal tel, que les surfaces conjuguées ne sont sollicitées que par des forces élastiques normales. Ces forces ( A , A, , A,) sont dirigées suivant les tangentes aux axes curvilignes des (s, J,, s,); (F, F,, F,) sont les composantes des forces extérieures suivant les mêmes tangentes ;

e est la densité du milieu solide; — » - sont les deux cour- 1 7i r >

bures de la surface des .v, 5,; —, -, celles de la surface des

«, s< - , - » celles de la surface des ss , .

Nous placerons ici , sans les développer, deux conséquences remarquables des équations (3a). On déduit de ces équations les conditions d’équilibre d’n, ne surface élastique , ou plutôt d’une membrane courbe et d’épaisseur uniforme; les deux faces de la membrane sont deux surfaces extrêmement voisines , appartenant à l’un des trois systèmes coordonnés; leur normale commune est un élément linéaitc. et

sans courbures, de l’axe des s ; on a

ds c 7

et les équations ( 3 a) se réduisent aux suivantes :

d A, ds,

d A, ds ,

Les conditions d’équilibre d’un fil élastique, de section constante , sont pareillement comprises dans les équations (32) : le fil est dirigé suivant l’axe courbe des la section est un élément-plan, et sans courbures, de- la surface des t, s s ; on a

, ds 1

ds j 7 ,

;t les équations ( 32 ) deviennent

-h p F = o , h pF, = o, — h p F,= o.

JVous 11e nous arrêterons pas à la discussion des groupes d’équations ( 33 ) et ( 34 ) > laquelle reproduirait des théo- .rèmes démontrés dans le. Cours de Mécanique rationnelle. Nous 11c voulions que montrer comment les anciens problèmes de l’équilibre d’un fil et d’une surface élastique se rattachent à la théorie mathématique de l’élasticité, dans les milieux solides.

sur l’krasticitk.

DIX- SEPTIÈME IÆCON.

Application de la théorie de l’élasticité à la double réfraction. — Conditions de la biréfringence. — Équation aux vitesses des ondes planes.

§ 91 . — Jusqu’ici nous avons traité la théoriede l’élasticité comme une science rationnelle, donnant l’explication complète et les lois exactes de faits qui ne peuvent pas évidemment avoir une autre origine. Notis allons maintenant la présenter comme un instrument de recherches, ou comme un moyen de reconnaître si telle idée préconçue, sur la cause d’une certaine classe de phénomènes, est vraie ou fausse. C’est sous ee dernier point de vue que Fresncl l’avait considérée, lors de ses belles découvertes sur la double réfraction , et ses commentateurs auraient dû suivre plus scrupuleusement son exemple. La théorie physique des ondes lumineuses porte certainement en elle l’explication future de tous les phénomènes de l’optique; mais cette explication complète ne peut être atteinte par le seul secours de l’analyse mathématique, il faudra revenir, et souvent, aux phénomènes, à l’expérience. Ce serait une grave erreur que de vouloir créer, dès aujourd’hui, une théorie mathématique de la lumière; cette tentative, inévitablement infructueuse, jetant des doutes sur le pouvoir de l’analyse, retarderait les vrais progrès de la science.

11 nous parait donc utile de bien préciser le rôle que doit remplir l’analyse mathématique dans les questions de physique, et, pour cela, nous ne saurions choisir un meilleur exemple que celui du travail de Fresnel ; mais

Application de la

théorie de l'élasticité à la double réfraction.

nous présenterons ce travail comme il aurait été fait, si la théorie de l'élasticité des milieux solides avait été aussi bien établie qu’elle l’est aujourd'hui. Nous supposerons connus le fait de la non-interférence des rayons polarisés à angle droit, et celui de la double réfraction du verre comprimé dans un seul sens. Le premier démontre que les vibrations lumineuses sont transversales, ou qu’elles ont lieu sans altérer la densité du milieu vibrant. Le second fait voir que la biréfringence d’un corps diaphane dépend de la différence d’élasticité qu’il présente, dans des directions diverses autour d’un de ses points. Cette dépendance semble indiquer que les molécules mêmes des corps diaphanes reçoivent, exécutent et communiquent les vibrations lumineuses, puisqu’une simple inégalité dans les intervalles de leurs molécules modifie la lumière transmise, au point de doubler sa route.

Telle est l’idée préconçue dont il s’agit de reconnaitre la

vérité ou la fausseté. Si elle est vraie, les états vibratoires

que la lumière établit dans un corps cristallisé, diaphane et biréfringent, doivent être représentés par les équations les plus générales des petits mouvements intérieurs des milieux solides homogènes •, c’est-à-dire par les équations (4) du § 8, où les N,, T, ont les valeurs (6), § 13, contenant trente-âix coefficients. Ces coefficients sont-ils constants, ou bien sont-ils des fonctions à courtes périodes, comme il est dit au § 14? C’est ce qu'il est impossible de dire à priori. La comparaison des résultats donnés par l’analyse, avec ceux fournis par l’expérience, peut seule décider cette question. Admettons la constance des coefficients. 11 faut d’abord que. le fait général de la double réfraction puisse se produire dans le milieu cristallisé; c’està-dire qu’une onde plane de vibrations transversales ou de lumière polarisée puisse se propager avec deux vitesses' différentes, appartenant chacune à une direction partiru- . *■

sun l’élasticité. 227

lière de la vibration. Cherchons les relations qui doivent exister entre les coefficients, pour qu’il en soit ainsi.

Reproduisons les équations générales citées, et dont la vérification est nécessaire. Dans l’ordre de phénomènes que nous étudions, les forces extérieures (X 0 , Y 0 , Z 0 ,) n’entrent pour rien, elles équations aux différences partielles (4), § 8 , se réduisent à

rfN,

; ‘ij,

dx d T,

dz ^ dt ’ ’

dû.

d T, rf’ .

~dz~ F dt 1 ’

rf’.t-

dy +

f/î ^ rff 1

Les N,-, T,-, avec leurs coeflicients supposés constants,

i manière suivante :

, . , « , . » 1 d [ ttf c, (t'J 1 .

s expriment , a 1 aide des — G de la i

du dv „ div / di> dw\

A * Tx + B > + C ‘Tz + D ' [dz + dy )

i dw du\ /du dv\

Ei [; u + ih ) + Fi \ dp^dir

dit dv da' / dv dtv\

T i — — — H ll!>i -3 — h T,- — — (- A, I — — I- — )

f/.r dy dz \dz dy )

I dw du\ . I du dv\

§ 92. — Posons actuellement

m=Ç Q, i> = tiQ , (v=ïQ,

Q cos 2 « ( ^ j j <"/ == wj 2 -H wy •+■ ,

du dv dw

m ç + »,+^ï=o, ^dZ + dZ^Tz

dx dy

est l'amplitude de la vibration propagée, T sa durée , l la

Conditions de la biréfringence.

longueur d’ondulation , en sorte que - représente la vitesse

de propagation ; q est la perpendiculaire qui mesure la distance, à l’origine des coordonnées , de l’onde plane passant parle point M que l’on considère; (m, /»,/?) sont les cosinus des angles que cette perpendiculaire fait avec les axes; (£, >?, £) ceux des angles que fait avec les mêmes axes la direction de la vibration ; les vibrations lumineuses étant transversales, leur direction est parallèle à l’onde plane; de là résulte la dernière des trois relations entre (m , n, p) et (£,«,£), insérées dans le groupe (3 ) ; elle donne aux valeurs des (« , e, w) la propriété de vérifier l’équation 0 = o.

Les valeurs (3) des (u, iv) étant substituées dans les N, , T, (a), les transforment ainsi :

où S, , G,- sont les expressions

S = w sin 2 jr ( — ) ,

(5) | «F, 4-pE,) Ç G,=(»i Jt-, 4- n§ t + pCt)%

■+■ (m F, H- «B,- -4- />D,-)u -4- [m §j -4- n vi},, p A,) n

-4- ( ff| E( -4- «D, -4-/>C, )Ç-, -4- (mCi -4- n a,- pVt) Ç ;

et la vérification nécessaire des équations (i) conduit aux relations

ol 1

/fl jXÇj | ■+■ /? 5 3 ~f- p 5 2 ~ ‘ — — £ j

v , W -f- Jï -f- p 5 1 ~ y ) ,

mG. -4- «G, -4- = ^- Ç;

suit l'élasticité. aat)

si on les ajoute après les avoir respectivement multipliées par(m, n,p ), on obtient une équation dont le second membre est nul , puisque

(7) me, n n 4 -yjÇ = o,

et dont le premier membre est une fonction linéaire des (Ç , y:, £), comme les JL, , t, (!>) ; celte équation peut donc se mettre sous la forme

(8) MJ-t-N«j-t-PC=o.

Si les deux équations (7) et, (8) 11e sont pas ideutiques entre elles, l’onde plane, dont la normale est déterminée par les cosinus (ni , n , />), 11e pourra propager qu’une seule vibration. En etlèt , si l’on prend

? = cos y cos J», n = cos y sin \j>, Ç = sin y , les équations (7) et (8) deviennent

( m cos -if n sin ••]/) cos <j 4 - /> sin ^ = o ,

( M cos -+- N sin 4 /) cos <? -t- P sin y = o ;

d’où l’on conclut

ni cos 4 - « sin il M cos -t- N sin ^

lal M5? = ~ -= p

tang -i.

p M — m P — nP — plS l

l’angle <fi, et par suite <p, étant ainsi donnés par leurs tangentes trigonométriques, la direction (ç, sera unique et déterminée. De là résulte cjue l’onde plane donnée 11e pourra propager, dans le milieu cristallisé, que des vibra-

Équations qui régissent les vibrations lumineuses.

a3o ' ' LEÇONS

tions d’une seule direction; c’est ce qui a lieu, comme on le sait, pour certaines tourmalines. Mais, hormis ce cas particulier, pour tout cristal biréfringent, à une onde plaue 'donnée doivent correspondre deux directions dinërentes de la vibration qu’elle peut propager.

11 faut donc que la valeur (9) de tangiji soit indéterminée, ou que l’on ail

et cela identiquement, c’est-à-dire quels que soient (/», n , />). L identification de ce groupe (10) conduit aux relations cherchées : pour y parvenir, on peut représenter la valeur commune des rapports (10) par

.(il) <#t = /«’a -+- n’(J -+- /)’•/ -+- nj >8 ■+■ ptm mnif,

a, / 3 , ..., <f étant six constantes indéterminées, ce qui donne t

puis, par la substitution des X,-, G, ( 5 ) dans les relations (6), et par le mode de combinaison qui conduit à l’équation (8), ou détermine facilement les polynômes (M, N, P), lesquels sont du troisième degré en (m, n , //) ; ces polynômes étant respectivement identifiés avec les produits (ml fl, l, p/R), on obtient des relations entre

les coefficients dés N, , T, , et ceux de «R (11) ; éliminant ces derniers, on a les valeurs des trente-six coefficients, à l’aide de douze d’entre eux, lesquels restent indéter- > minés. ,

§ 93 . — Enfin, substituant les valeurs trouvées dans les IV,*, T, (2), ces composantes des forces élastiques de-

SI H I. 'ELASTICITE.

aSi

viennent

dw \

\dz

-, du

f dw

du \

(tz

v dx

dz j

.. du

(du

dv\

, , du

/dv

dw'

dx I

dz +

dy j

/ dw du ■,

/ du

\ dx dz I

• ( Iv

l)!i 0 -t- 2 E — dy

/ dw du ,

\ dy dx

dv dw\

dz + l du

dy)

^{dï+Tz i

\dP+dï

dv dw \

dz + dÇ)

i dw du\ j ( du

dv \ dx

et ne contiennent plus que douze constantes. Comme il ne s’agit ici que de vibrations transversales, lesquelles ont lieu sans que la densité soit altérée, nous supprimerons les termes en 0, puisque cette fonction sera toujours nulle; il ne restera plus que les six constantes (D, E,- F, A,M)- Par ces valeurs ( 1 3) , les équations (i) deviennent, quand 0=o,

dy ~

dVf

(5 -rz ?

1 dt >

rfU

dx ~~

dÿ ~

p ~dr'

où (U* V, W) sont, pour simplifier, les fonctions

Ces équations (i4) doivent représenter les mouvements vibratoires du milieu solide cristallisé, d'où naîtraient toutes scs propriétés optiques, suivant l’idée préconçue que nous voulons juger.

11 est évident que tout autre système d’axes coordontiés, rectilignes et rectangulaires, conduirait à des équations de même forme pour représenter les mouvements intérieurs dont il s’agit; c’est-à-dire qu’on aurait

du!

dw'

djf

dz '

<iw'

ei’u'

liÿ ~

fte 7 "

d'vd

dy ’

~ p dr ’

où (U', V', W') seraient, pour simplifier, les fonctions

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SUlt L’ ÉLASTICITÉ. • u33

Mais, s’il s’agit du même milieu cristallisé, les groupes (i(j) et (17 ) doivent se déduire des groupes (i4) et (i5) par la simple transformation des coordonnées. Si l’on adopte, pour cette transformation , le tableau ( 1 ) et les formules (a) , (3) ,

(4) , (5) et ( 7 ) du § 18 de la quatrième Leçon', on trouve que les six nouveaux coefficients (D 7 , E 7 , F 7 ; A 7 , £', $') des fonctions (U 7 , V 7 , W’) ( 17 ) doivent s’exprimera l’aide des anciens coefficients (O, E, F 5 A, C, 3) des fonctions ( U, V, W) ( 1 5 ) , et à l’aide des cosinus (ni , , n, , p, ) , de la manière suivante :

3' z=m] A + wJC-t-y», J-+-2« 3 ^ J D-f-a/>s»»jE4-aOT i « 5 F > ,

1 D' = m,Bi 5 4 + flili,£ 4- p,pj 4- [n^p, -h n,pi) D ( 18 ) ^ -t- B +{»«>/?] + «ijA>) F,

( E' sa m 3 m, A 4- /»,«,<£ 4- H- «./■'j) D

\ 4- (/», w, 4- K 4- (w,n, 4- ni t n ,)F.

Ces relations sont les mêmes que celles (ti)> § 18, qui lient les Nî , T' aux j\,-, T, ; et, dans ce rapprochement, les ( A , £, 3) ainsi que les (A', £' , $') remplacent les N, et les N'., tandis que les (L), E, F) ainsi que les (D 7 , E 7 , F 7 ) remplacent les T, et les T' . Or, on sait qu’il existe un système d’axes des (x 7 , y', z 1 ) tel, que les composantes tangentiellesT' sont égales à zéro; il existera donc, pareillement, un système d’axes des (x 7 , y ', z' ) tel, que les- (D 7 , E 7 , F 7 ) seront nuis. Rapportons les équations ( 14 ) à ce système particulier; en posant

(iq) Or-.o, K — o, F sto, A = pfl 3 , £=zpb 7 , 3 —y c 1 ,

l‘M\ ' • • I.KÇOKS

elles deviennent

Telle est la forme la plus simple que doivent avoir les équations qui représentent, dans l’hypothèse posée, les vibrations lumineuses du milieu cristallisé et biréfringent. On

remarquera qu en supposant

ces équa-

tions ( 20 ) se réduisent à celles que nous avons obtenues, dans notre onzième Leçon, pour représenter les vibrations, sans changement de densité, des milieux solides homogènes et d’ élasticité constante.

Équations aux vitesse* des ondes planes.

§ 94. — Mais il est nécessaire de vérifier que les équations ( 20 ) comprennent ou reproduisent le fait général delà double réfraction, énoncé au §91. Poùr cela, substituons directement, dans ces équations, les valeurs (3) des (u , f, te) ; V représentant actuellement la vitesse de propagation - de l’pnde plane, nous obtenons les trois relations

/ (c 1 ri‘ b 1 jj 2 — V') E — c 1 mn.n — b' pm . Ç = o ,

21) ? — c , »w.Ç + (fl , /<' + r 1 »i 1 — V’).r> — rt 5 n/>.Ç = o,

[ — btjjm .% — à 1 np.n - 4 -(b-/ir+ a' ri* — V’).£ = 0;

Süli L ELASTICITE. 5

éliminant les rapports on a pour équation finale.

I (c 7 n 7 4- A ’/» 1 — V ; ) -f- c- ni 7 — V ! ) (b 7 m 7 4 - a 7 n 7 — \')

I — a ' /Pp 1 (c 1 n 7 -f- i 5 /»’ — V’)

| — b' p 1 mi 1 (a 1 p* 4- c* /n 3 — V 1 )

i — c 7 ni’ «' ( b 7 rn 7 -+- n 7 n 7 — V’) — 2« ! b 7 c 7 m 7 n 7 p 7 — o . Posons

on trouve successivement

{c 7 »'• 4- b 7 p ’) ( a‘ p 1 4- c’ m 7 ) ( è 1 /«’ 4 - fl’ n 7 )

= P ( a’ «’p’ 4- b 7 p 7 m 7 4 - c 7 m 7 n 7 ) — à 7 b 7 c 7 m 7 n 7 p T = 2 a 7 b 7 c 7 m 7 ri 7 p 7 4 - a 7 n 7 p 7 [c 7 n 7 4- b 7 p 7 )

cl l’égalité du premier membre et du quatrième (24) démontre que le terme indépendant de V’, dans l’équation (22), est nul ; on a , en outre ,

I (rt J p 3 4 - c 7 m 7 ) ( b 7 m 7 4 - a 7 n 7 ) — a'n 7 p 7 = m 7 P,

(b 7 ni 7 4- a 7 n 7 ) (c 1 n 7 4- b 7 p 7 ) — b'p 7 m 7 — n 7 P,

et le coefficient de — \*, somme des trois premiers membres (^ 5 ), se réduit à P.

D’apr ès cela, l’équation (22) développée, réduite et divisée par — V 1 , est simplement

4- ( b 7 c 7 m 7 4- c 7 a 7 n 7 4- a 7 b 7 p 7 ) = o ; ou bien, donnant (wt* 4- 1 //’ 4 r/P) , ou PunUc, pour coclli-

Formule»

cl notations.

a36 LEÇONS

cient à V*, mettant les ( m *, p *) en facteurs communs ,

ou encore , divisant par le produit des trois facteurs en V*,

L’équation (26) donnera deux valeurs de Y*; à chacune d’elles correspondra, parles relations (21), un seul système de valeurs de (£, n, £). Ainsi l’onde plane, dont la normale fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont (m , n , p ) , peut propager, avec des vi tesses dillërentes , des vibrations de deux directions déterminées, dans un milieu cristallisé, dont les étals vibratoires, sans changement de densité, sont représentés parles équations (20). Le fait principal de la double réfraction étant ainsi vérifié, nous déduirons, dans la prochaine Leçon , d’autres conséquences des mêmes formules , afin de reconnaître si elles s’accordent avec les laits, si elles sont autant de propriétés optiques des milieux biréfringents.

§ 9 o. — Mais il importe d’établir d’abord des formules, une notation et un genre de calcul qui faciliteront les recherches dont il s’agit. Supposons a^> b c. Désignons parV’, V; (V , V,), les deux racines de l’équation (26);

on pourra poser les trois relations

/ ni 1 -+- n 1 -+- p 7 = 1 ,

\ b 7 c , m > -+- c‘a 7 n t -+• a 7 b'p*— VJ VJ ;

d’où l’on conclut, par une élimination facile,

(VJ — C ’),(VÎ — c ! )

SUK L'ÉLASTICITÉ. >.^7

valeurs qui donnent les cosinus (m, n , />) en fonction de deux paramètres V, , V,, dont les limites, assignées par la condition de la réalité, sont telles que

c’est-à-dire que V, ne peut surpasser a ni être inférieur à b, que V, ne peut surpasser b ni être inférieur à c. 11 sera plus commode de mettre les valeurs (3o) sous la forme symétrique

(vi — ^)(v; — ^)

Une grande simplicité résultera, pour les calculs que nous devons faire, de la considération du tableau

où toutes les quantités qui entrent dans nos formules se trouvent rangées , de telle sorte que chaque colonne verticale contient des symétriques , et chaque ligne horizontale des cosyméiriques. Pour indiquer la somme de trois termes symétriques, nous emploierons le signe S devant un seul de ces termes; ainsi , on a

(34) S (b 7 — r 3 ) = o, Sa’ (à’ — c 3 ) = o, S [b' — c*) =o;

et si l’on désigne par A le produit . .

(35) (f> 3 — e 3 ) (c 3 — a 3 ) ( a 3 — à 3 ) = A, on vérifie aisément que

(36) Sè 3 r 3 (A 3 — r 3 ) = Sa* (A 3 — r 3 ) = — A, Sa 3 (A‘ — r*) — A.

a38 leçons

Puisque VJ et VJ sont les racines de l’équation (26) ou (28), on a les trois relations

VJ — a 3 S;

VJ — a 3

(vj — <?•)( vj — a'y

la dernière résultant de la soustraction des deux autres. Si l’on po.sé « '

(38 ) (V? -u 5 ) (V* - 6 J )(V; - c») = II. ,

on a aussi les formules

m 3 VJ —VJ