R °~ HP

i f/F 0 r dy

* « dF 0

* u TT"

d’une même fonction F 0 , vérifiant l’équation A s F 0 = o. On obtient ainsi l’équation

P ~dF~ P

i df

c do

c 1 d iji 1

qui doit se réduire à

il’. AO,

SL" U L'ÉLASTICITÉ, puisque cette équation fondamentale, qui régit la fonction 0, ou la dilatation, est nécessairement indépendante du système des coordonnées.

§ 85 . — Telles sont les équations et les formules de l'élasticité , transformées en coordonnées polaires , et directement applicables aux sphères solides et aux enveloppes sphériques. INous considérerons d’abord les vibrations. D’après la théorie donnée dans notre onzième Leçon, ces vibrations sont régies par les équations (8), où, faisant abstraction des (R 0 , ‘Po, To), on remplace (J.-f-2p) par pfl s , p parpto*; elles se partagent en deux classes distinctes. Pour les vibrations delà première classe, que nous étudierons seules, les termes en o) ! disparaissent , les fonctions (*l>, tlî), T) (9) sont milles , et l’on a

rfitïï r/U r/U drV tir tl ■]/ tl tf tir

t/rX

tire W

d’où l’on conclut, F étant une nouvelle fonction ,

U= 4 F , Vas i" w=i"

dr r d y rc a y

. ,rfF dr xr

i dr r 3 dr

. dF rie —

1 il f

dÿ ~ A ' F ;

car les formules diiTéren tiellcs ( 3 ) mon trent sans peine que le paramètre difTérentiel du second ordre A’, ou

/ri\ dL d’.\

\ t ix* tl) ’ ^ th 1 ) ’

transformé en coordonnées polaires, prend la forme

Enveloppe

sphérique

vibrante.

tion différentielle

il 'A dr‘

r dr

tfl — o j

n est un entier quelconque, q un paramètre arbitraire. O11 s’assure aisément que le produit (19), substitué à F, rend l’équation (18) identique quand on élimine les dérivées à l aide des équations (20), (21), (22). L'intégrale générale de l’équation diilérentielle (20) est

( 23 ) -f = H ms (7 u t ) -f- H' sin (7 LM ) ,

H, H' étant deux constantes arbitraires.

La fonction 3 k 11e doit devenir infinie pour aucune valeur de <f et de ij/; elle doit conserver la même valeur quand l’arc <p augmente d’une ou de plusieurs circonférences; de

plus, la variable doit en disparaître quand (f = ± ou

quand a = ± 1 . Ces propriétés sont essentielles pour que 3 k ouïe produit (19) puisse représenter la loi d’un phénomène dans un système sphérique complet; elles exigent que n soit un nombre entier, et réduisent l’intégrale générale de l’équation (21) à la formule suivante :

3 k« = P^ : («nCos/îJ* -f- b„ sin rri/)

+ P^' } [n „- , cos (« — 1 } i|/ è„, sin { n — 1 ) 1}/]

-f- P^ 1 [r/„,cos(«— 2)1}; +£>„, sin (//— 2)-}] I + P n ‘ [n„jCos(« — 3)iJ/ 3)^]

-f- V " (a, cos 2i|< -f- b, sin 2-^)

~l j,(« -1) cos | p, £ s j n ^ pé'>

SUR l’élasticité. 2o5

dans laquelle les P;, 0 représentent, pour simplifier, les fonc-

tions de a que voici :

et où les ( 2 « -l-i) coeiïicients (a,, />,) sont des constantes arbitraires.

L'équation différentielle ( 22 ) est vériüée par la valeur

)ù v„ — ( cos (qr sin x) cos M+l xdx.

L’intégrale définie to„ s’obtient sans difficulté par les procédés ordinaires du calcul infinitésimal; on trouve

sin t/r

i w, = — — (sin qr — qr cos qr),

. .. , , 2/1 (2/1 — 1) 2/1 (in — 2)

sin qr — qr cos qr I ,

2o6 leçons

ÏNous désignerons, pour abréger, par m', in" Jes deux premières dérivées de la fonction m (aa), qui , vérifiant l'équation (22) , donne

{27 ) r % m" -+- 2 rm' -f- [«y’/-’ — 11 [n — 1 ) ] m =r o.

On sait que, m étant une intégrale particulière de l’équation (22), l’intégrale générale est + B J m, où

C et B sont deux constantes arbitraires; nous prendrons

eu faisant C = i, ce qui ne diminuera en rien la généralité du produit (19), à cause des constantes arbitraires qui entrent déjà dans les autres facteurs 3 et Oô.

Pour que le produit (19) satisfasse à la double condition ( 1 5 ) , il faut et il suffit que l’on ait

, , fidl &

( 29) — — = — pour r = r„, et pour r = r, ;

fit ’ r

cette équation (29) , quand r y reste indéterminé et que & a la valeur ( 28 ) , prend la forme

B = (i-t- BS) rm [m — rm'),

d’où l'on déduit

[m ■ — rm')

et si , pour désiguer la valeur que prend une fonction de r\ quand r=r„, ou quand /• = /',, 011 place, au bas de la lettre qui exprime cette fonction, l’indice o ou l’indice 1, •on devra avoir

dr 1

La première de ces relations est une équation transcendante, dont le paramètre q doit être une des racines; la seconde détermine la constante II, lorsque q est connu.

Ainsi les produits tels que F ( ly ) qui , satisfaisant à toutes les conditions imposées, représentent des états vibratoires possibles de l’enveloppe sphérique, forment une sorte de table à double entrée : car l’entier n peut avoir toutes les valeurs , depuis zéro jusqu’à l'infini ; et , pour chaque valeur de 11, il existe une équation transcendante ( 3 o) dont les racines, en nombre infini, sont autant de valeurs correspondantes du paramètre q. 11 y a autant de produits (ly) différents que de couples de valeurs de n et q : chacun de ces produits contient ( 4 « -+- a) constantes arbitraires, savoir : (2// -ht) pour la fonction : )ô„ (24) qui sert de coefficient à cos (q£lt), et (2/1 -f-i) pour le coefficient de sin (qClt) dans S ( 23 ). Tous ces produits étant réunis par voie d’addition, en conservant tous leurs coefficients distincts les uns des autres, formeront une intégrale générale de l’équation (18), satisfaisant à la double condition ( 1 5 ) .

Cette intégrale représentera le mouvement intérieur de l’enveloppe sphérique, quand l étal initial ou les déplacements primitifs seront tels, qu'il y ait dilatation ou contraction en chaque point du solide. S’il résulte de cet

"... , ri F

état initial que F et sa dérivée —7 étaient alors des fonc- 1 rit

lions connues de (/•, <p, t|»), toutes les constantes arbitraires de l’intégrale générale pourront être complètement déterminées, en appliquant la méthode d élimination par intégrations définies , dont ou fait un si fréquent usage dans toutes les théories physico- mathématiques, et qu’il est inutile de reproduire ici. Comme dans les autres corps sonores, le mouvement intérieur de l’enveloppe sphérique résulte de la superposition on de la coexistence

ao8 LEÇONS

de tous !es étals vibratoires possibles auxquels les valeurs trouvées des coefficients assignent leurs amplitudes relatives. Chacun de ces états vibratoires correspond à un couple de valeurs de n et q ; il pourrait exister seul si l’état initial s’y prêtait; on peut donc l’étudier isolément.

La seconde équation (3o) se simplifie singulièrement quand l’épaisseur de l’enveloppe est extrêmement petite, comparativement au rayon r 0 de la paroi intérieure. Elle se réduit alors à

nn [ni — rm ' ) ~dr

— — = o, pour /■ = /•„, r in

équation qui devient successivement drm (m — rm')

-H (m — rm’Y

r 1 m 7 [m — rm' Y

2 m — [r^rn" -t- a rm') r 7 ni [m — rm ') 1

et, par la relation ( 27 ),

7 V — (n — l)(*-ka)

r 7 [m — rm ') 7 ’ . ' ,

ce <jui donne enfin la seule valeur

( 3 .) 9 ^£Eî3l IEEE).

Lors de ce cas extrême , l’enveloppe sphérique devient une sorte de surface élastique vibrante, analogue aux membranes, mais qui n’exige pas de tension préalable. D’après l’unique valeur (3i), les sons que peut produire l’enveloppe

SUR L ÉLASTICITÉ, sphérique mince sont exprimés par

le plus grave de ces sons correspond à n = a; il a pour mesure

N = — • ir r.

§8G. — Parmi tous les états vibratoires de l’enveloppe sphérique, il en existe uue infinité pour lesquels la section équatoriale n’éprouve que des forces élastiques normales-, e’.est-à-dire qu’ils sont tels que , pour <p = o, les composantes tangentielles R 8 et Ÿ, (y) sont nulles. Ces états vibratoires particuliers peuvent s’établir et persister dans le timbre hémisphérique, qui résulterait de l’enveloppe coupée suivant son équateur. Les plus simples correspondent à n = a. Si l’on prend

3 t>, = cos’ a sin 2 1}/,

•fl = j i + r a m, (m„ — '■«'”'•) jf -^r~ \ |

I I — I Sin qr — cos qr

il en résulte, $ ayant la valeur (a3),

Cl rft

U = — — § cos’ ® sin 2 il , dr

§ cos q sin ? sin 2 il ,

W = ,7 cos q cos 2 y ,

Rj = y I — ) -7 cos y sin y sin 2 iji ,

4 Ji

V* = — $ sin ÿ cos 2 ,

Vibrations des timbres hémisphériques.

et l’on voit que sur l'équateur, ou pour <p — o, les forces tangentielles R, et Ÿ, sont milles. D’après leurs valeurs (34),

sur les méridiens orthogonaux, tp — o, <p == -, U et V sont

constamment nuis; W est, au contraire, à son maximum d’amplitude; c’est-à-dire que les molécules de ces méridiens vibrent sur les petits cercles parallèles à l’équateur. En tout autre lieu, U existe; il atteint sa plus grande amplitude

sur les méridiens bissecteurs, <p— ’p = 3 C’est ce qui

explique les rides, les deux lignes de repos, et les projections de gouttelettes, que l’on remarque à la surface du mercure, dans un verre hémisphérique mis en vibration. Si le verre est très-mince, on peut admettre que le paramètre 1 q n’a pas d’autre valeur que celle qui résulte de la formule (3i), quand n = 2 ; ce qui donne N (3a) pour la hauteur du son produit. Sinon, plusieurs états vibratoires différents peuvent coexister dans le verre ou le timbre, correspondant tous à n = a, au même système nodal, mais à des valeurs différentes du paramètre q ; d’où peuvent résulter plusieurs sons simultanés, incommensurables entre eux, mais assez voisins pour expliquer le phénomène connu sous le nom de > battement des cloches. <.

On remarquera que ,les vibrations des timbres appartiennent à la première classe., tandis que celles des cordes, des lames, des tiges, dans les instruments, sont de la seconde classe. Si l’on considère que la densité du corps sonore varie périodiquement lors des premières vibrations , et reste constante lors des secondes, cette différence peut expliquer pourquoi les sons rendus par les timbres sont comparative- ■ ment si éclatants.

SUN l'élasticité.