DIX-HUITIÈME LEÇON
Dim’lioiw fibrations. — Équation cio la surface dos ondes. — Points conjugues. — Relations symétriques.
§ 9(>. — Dans celte Leçon et celles qui la suivent, nous Direction, laissons de côté la théorie de l'élasticité, pour reeher- d ” ,lbr< "" , "‘' cher toutes les conséquences qui résultent de la double vitesse de propagation des ondes planes, telle que l’analyse nous l’adonnée; pour définir les propriétés optiques que ces conséquences assignent aux milieux biréfringents ; enfin, pour exposer les règles capables de déterminer à priori la marche de la lumière dans. ces corps diaphanes.
Quand cette théorie analytique sera aussi complète que possible, nous la rapprocherons de la théorie physique des . faits connus, et scrutant avec soin leurs concordances, leurs désaccords, nous essayerons d’en déduire des réponses aux diverses questions posées, savoir : si ce sont les molécules pondérables d’un cristal qui exécutent et continu-, niquent les vibrations lumineuses; si les coefficients des N,, T, sont constants ou variables; et, en outre, si l’approximation qui limite l'influence des déplacements à leurs premières dérivées est réellement suffisante.
Cherchons d’abord quelle direction de la vibration correspond à chacune des deux vitesses de propagation d une même onde plane. Désignons par (£, , y,,-, £,) les valeurs de (£, >î, £) pour V = Y,. La première des relations ( 21 ),
§ 94, donne
(c’/i* H- b' /r — = miç-'nr, -t- b'pX.)-,
multipliant par ajoutant, de part et d’autre, le terme b'c'mÇ, il vient
(1) (Sè’c’/n’ — a’VJ)!, = m .Sfi’c’mE, ;
et, si l'on observe que S b^c'ni 1 — VjVj, si l’on pose, en outre,
(2). Sè’c’mE,- = y,-,
on aura la première des équations du groupe suivant :
£ = lL
-* in
V’ VJ— a-
fl
VJ V! — b'
VJ VJ — a»
vj vj— b 1
VJ vj — c ! ’
les autres s’obtenant par le même procédé. Ces équations, rapprochées des trois relations (3y), § 95, donnent
Sm%, — o, Sm-, = o, S?,?a = o;
ce qui constate que les deux vibrations sont parallèles à J’onde plane, et démontre, en outre, qu’elles sont perpendiculaires entre elles.
La somme des carrés des cosinus des angles qu’une même droite fait avec les axes, étant égale à l’unité, on déduit des deux parties du groupe (3),
et, d’après les formules ’(3{)) , § 95,
ce qui transforme le groupe (3) en celui-ci :
il\ I
VJ— n’ V’ — V’
v;~vl
vî-« *
Vî — c’.V? — a’
a 1 — b'.b' — c' Xi — a'.Yl— b 3
b' — c'.c'—ct 1
«' — A 1 . è’ Vî — a’.VÎ
è’ — c 1 .c 1 — fl’
A chaque groupe de valeurs des paramètres V, et V, correspondent des valeurs particulières (3o), § 9a, de (m, n , p ), et par suite une onde plane; les formules (6) donnent alors immédiatement les directions des vibrations propagées par cette onde.
On a, par exemple, le triple tableau suivant:
uï*
Çj = 0
qui donne ires-nettement la définition dcsjconstantes (a, b,c), lesquelles ne sont autres que les vitesses de propagation particulières aux ondes planes parallèles aux plans coordonnés, ou perpendiculaires aux axes que nous appellerons axes d’élasticitc. L’inspection des tableaux ( 7 ) conduit au résumé suivant : la vitesse [a , b, ou c) cosymétrique de {x ,y, ou z ) appartient à l'onde plane perpendiculaire, aux (y, z , ou x) quand la vibration est parallèle aux ( z , x , ou y), aux (z,x, ouj) qnSnd la vibration est parallèle aux [ÿ, z, oux). Ou autrement , la vitesse cosyniélrique d’un premier axe appartient à l’onde plane perpendiculaire à un deuxième axe, quand les vibrations sont parallèles au troisième axe.
§97. — Supposons qu’une suite d’ébranlements périodiques ait lieu en un point du milieu biréfringent pris pour origine, et que t soit la durée de la période 5 le mouvement vibratoire se propagera dans tontes les directions. Au bout de l’unité de temps, le premier ébranlement sera parvenu sur une certaine surface qu’on appelle surface des ondes, et qui n’est autre que la surface enveloppée par toutes les ondes planes , concordantes et possibles , une unité de temps après leur passage simultané par l'origine. Soient (m, n.p ) les cosinus des angles de direction de la normale à l’une des ondes planes-, lorsqu’elle touchera la surface cherchée, cette onde sera représentée par l’équation
( 8 ) inx ny -t- pz = V, ,
SUl» L’ÉLASTICITÉ.* .^^3
on l’on peut regarder (ni, n, />) comme des fonctions (3a), §'95, des paramètres V, et Y,. D’après une règle connue, on obtiendra l’équation de la surface enveloppée en éliminant ces deux paramètres entre l’équation ( 8 ) et les deux dérivées
dm dn dp
dm
dn
x dv, +jr d\.
dV,
ou, par les différentielles logarithmiques des fonctions (ni , n , />), entre les trois équations
(9 ) Smx = V, , S — - = que I on peut remplacer par celles-ci :
+ /ïV,
(io)
pourvu que l’on prenne ip, tel que
^" S (v; — a'y~ v,’ doù ^ = v,(v; — v;)
d’après l’une des formules ( 39 ), § 95. Car (x,y, z) ayant les valeurs ( 10 ) , on aura , d’après les formules du § 95 ,
Smx = 4-, S — ■ ; -4- V, Sm’ = V, ,
C mX —tC m ' „ o
S Vl - a 1 S ( v; - a’) (v; — a') + Vl s X] — a’ ~ °’
— a-~ Y ‘ S (V; — a , ) 1+ V,s v; —fl 1- V,’
c’est-à-dire les équations ( 9 ).
if».
a44 ' LEÇONS
[.es nouvelles équations (10), entre lesquelles doit être faite l'élimination de V, et V* , donnent d’abord
(Vî-fl 1 )’ ’ V,
d’où l’on conclut
(. 2 ) +, = V,(S**-VÏ).
Ou a donc, en t-galant les deux valeurs trouvées pour , (u) et (12),
(, 3 ) n, =vï(s*«-v;)(vï-vî).
Cela posé, la première valeur (to) peut s’écrire ainsi :
" iV l /'!' I , V ! ,\ " ,V 1 ,
élevant au carré, on a
d’où l’on conclut, en prenant la somme symétrique, ayant égard aux relations du § 95 , et à la valeur (i 3 ),
