VJ S

Sx- — a ’

(Sx’ — VJ 1

v: (Sx 8 — VJ) (VJ — VJ)

ce qui donne enfin , pour l’équation de la surface cherchée,

Remarquons que, d’après la théorie des surfaces enveloppées, les valeurs (10) sont les coordonnées du point où l’onde plane ( 8 ), qui se propage avec la vitesse V,, touche

SUR l' élasticité. ■> j J

la surface (i 4 jî c’est-à-dire de l'extrémité du demi-diamètre auquel on donne le nom de rayon lumineux dans la théorie physique que nous développerons plus tard, et où se trouvera justifié le nom même de la surface des ondes. Or, si l’on rapproche le groupe ( 3 ) des valeurs (10) , on reconnaît que

(1 5 ) Sxi, = o,

en vertu des formules souvent citées. La vibration propagée par l’onde plane avec la vitesse \ , est donc perpendiculaire au rayon lumineux correspondant. Cette conséquence importante établit, connue on le verra, une différence essentielle entre la théorie de Frcsnel et celle que nous exposons.

L’équation (14) peut se mettre sous une autre forme. Soit Sx’ = S; on a , en chassant les dénominateurs,

x 7 [ S : — ( b 7 -t- c’ ) S -H b 7 c 7 J H- jr , [ S' — ( c 7 -t- a 7 } S -+- c* a 7 ]

= S : — («* 4 - b 7 4 -r’jS 1 -t- [b 7 c 7 4 - c' a 7 4- a 7 b 7 ) S — a' b < ’,

et, en réduisant,

t (aù 4- y'-L-z>){a 7 * 7 - 1- b 7 y • 4- c 7 z : )

C’est la forme que nous emploierons le plus souvent. Pour simplifier son écriture et d’autres calculs , nous posons

Sx’=R, S(i 4 ’ = P, S/?’(é» 4 - c 7 )'x 7 = Q,

et 1 équation (16) devient .(i8 RP — ■ Q 4 (/ = ».

Points conjugués de la surface des ondes.

Cette notation est fort commode , malgré son défaut d'homogénéité. On remarquera que R et r sont de deux dimensions, P et p de quatre, Q et q de six.

§ 98. — La recherche de l’équation de la surface des ondes peut être abordée d’une autre manière. Le problème consiste à trouver la surface enveloppée par le plan dont l’équation est

( 1 9) "‘x + ny + pz = V ,

les quatre paramètres (/», n , p, V) étant liés par les deux relations

On donne plus de simplicité et un caractère nouveau à cet énoncé, en posant

, . 'IL— fl 1—Zl P-.— -

V bc' V eu' V al 1 ’

la première donne alors

la seconde, dans laquelle on élimine V, devient

Sx'^.Sa’x' 1 — S a* (b 7 -f- c 5 ) x'- 4 - q = o , et en posant, comme au groupe ( 17 ),

se réduit à

suit LÏXASTIC1TK. • ittf

Knlin , l'équation ( 1 1» ) du plan générateur, quand on y substitue les \aleurs (ai), prend la forme

bc

va

ab

Alors le problème consiste à trouver la surface enveloppée par le plan (i 5 ), (x', j z') étant les coordonnées d'un point M' de la surface auxiliaire (24).

Or, d’après la première solution , cette surface auxiliaire (24) n’est autre que la surface cherchée elle-même. De là résulte une propriété géométrique remarquable de la surface des ondes, qui facilite singulièrement son étude. Le point M, aux coordonnées (x, y, z), est celui où le plan (u 5 ) touche la surface enveloppée. Le point auxiliaire M' est le pôle du plan (2S) relativement à l’ellipsoïde

Or, la symétrie complète des équations (l8), (24), (a 5 ) prouve que ces deux points M et M' peuvent changer de rôles. Ces deux points, appartenant à la surface des ondes, sont donc conjugués, en ce sens, que chacun d’eux esl le pôle, relativement à l’ellipsoïde (26), du plan tangent à la surface mené par 1 autre. Celle propriété conduit très-simplement aux valeurs des (r. y, s) en (.t', y', z'), et réciproquement.

Ou sait que le pôle d un plan donné par l’équation

/•* ■+■ tO -t- Aï = 1 ,

relativement à l'ellipsoïde (26), est le point dont les coor- , données z,) permettent d’écrire l’éq'ualion de ce

plan sous la forme

j-, iü'r,r

bc ca a b

d’où l'on, conclut

(27) x, = bcf, y, — cag, z { z=abh.

Cela posé, l’équalion du plan tangent en M', à la surface (24), est

x'rP' + a’R' — +

où le dénominateur 1) ? est

Or, le point M, aux coordonnées (x, y, z ), est le pôle de ce plan (28) ; les formules (27) donnent donc immédiatement

, .P'-f-a’R'— a’fè’-Hc’)

~ bcx w

j y — ca y D ,~

! z jÿ-^

et l’on démontre, par le même procédé, les formules inverses

i x' — bcx

\ r'— ca r

SUR L’ÉLASTICITÉ. a4<)

OÙ I) = RP*— 7, cl qui donnent les coordonnées du point conjugué M', lorsque l’on connaît celle du point M.

§ 99. — Les premières équations des deux groupes (3o) et (3i), multipliées l’une par l’autre, donnent i« point*

I =(RP — q) (R'P' — q')-,

développant, remplaçant (A’-f-c*) par (/' n ~) , a' (h 4 -c )

p ar ( p — A* c* ), conséquemment a*(i* +c* j* par (,y, <!*/, A>cV 4- 7), puis ordonnant, on a

AV 1 [ PP' 4- q ( R -t- U') — qr ]

-t- r/a* [RR 4- j P 4" P ) — ^/]

-= RR'. PP' — 7 (R -t- R' — r)(P + P' — /f).

Enfin , si l’on pose