S 7 SS O
b> c ni— p
autre forme de l’équation qui particularise la fonction }.. Enfin, complétons par H le groupe de simplification
Toutes ces formules étant présentes, difi’éren lions par rapport à x la seconde ( 28) , il vient successivement
r/Q r/RP , r/Q r/RP
VQ'. — 4 '/ RP
rf.X* dQ r/RP
D ~dx~ l r77 - l/T’
et, efiec tuant les dérivations indiquées, on a la première équation du groupe
, DX ^r- = x [n 1 (b 2 4- c 1 ) X’ — P — a 2 R],
D X = *s [ c 2 ( a 4 - h 2 ) V — P — c’Rj;
3o4 LEÇONS > ' .
les deux autres s'obtiennent de la même manière , en dilférentiant la seconde (28) par rapport à y, puis par rapport à z.' On déduit de ce groupe ( 33 ),
DXSx-^ =VQ — 2 RP = ri V — RP = V D ,
flX * , •
d'après la première (28) et la seconde (29), ou définitivement .
ce qui devait être: car la fonction X (12) est une fonction homogène de (a? , y, z) , dont le degré est un quand 011 l’évalue comme on doit le faire , c’est-à-dire en tenant Compte des irrationnalités.
La première ( 33 ) prend les deux formes
Dà ~ = x [à’ (rV — R) — «‘V — P],
D*— = x[ (pV— P)— b'c'V— dx
Si l’on multiplie la première ( 35 ) par c’ x, la seconde par n 5 , et que l’on opère sur chacune la sommation S, on trouve, par les formules (27) et la troisième (28),
D A . S è 1 — R^(rX’ — R).- P (/> — £)]’
ce qui donne les deux valeurs
[sA’c 1 * — = R [?>■(->•- B|-P(,»--P)] , dx \ 3 D
, [V(/>V-P)-R(rV-R)]
VD
■ Digitizecfby Qoogl
SUH L ÉLASTICITÉ.
Si l'on multiplie la première (35) par b* c' j, la seconde par leur sommation S donnera, par l’équa-
tion (34) et les valeurs (32) ,
D '* F = 7 X ( r V — R ) - ( q VSa'*^+ PSb’c’x — ),
\ dx dx J
D).H= ; (pV — P) (v&b‘e*x^+ RS x — W
\ d x dx I
or, les formules (36) donnent aisément, d'après la seconde ( 29 ) ,
, JC I , ncl, , V(PV — P)
q 1 1 S a 2 x — f- PS 6’ c* X — = — - ,
dx dx X
- , c , d\ rfX R(rV — R)
dx dx X
substituant et résolvant, on a les valeurs
qV (ci 5 — R) — P (pV — P)
et les équations (36) peuvent s’écrire ainsi :
(38) X.S 6 ’c’x — = RF, X.Szi’x — = PH.
dx
dx
On déduit des valeurs ( 37 ), en éliminant successivement l’une des deux parenthèses qui figurent dans les numérateurs, et ayant égard à la seconde des formules ( 29 ),
(3 9 ) X'* F -+- PH = (rX’ — R), RF -t- 7 X ! H = (pV — P);
par ces valeurs, les deux formes (35) donnent, sans difïi-
3o6 culte ,
DX ! ^ = Xxfa’X 1 (F — H — i)],
dx •
DX>^ = Xx[R{F — «’)+• fc’cU^a’H — i)J,
et l'élimination sucoesivcdes deux parenthèses (a* 11 — i), (F — a*) conduit à
( b 7 c 7 ).’ — P) — = X x (F — a 7 ), ( a 1 X 1 — R)^=Xx(fl , H — i),
d’après la seconde (29); ces équations, jointes à leurs symétriques , donnent le groupe suivant :
dx Xx
dx
çC
djr \y
Xj
dz X z
dz
lequel conduit très-simplement à la vérification cherchée. On a d'abord, par la multiplication des deux fractions
qui ont pour numérateur et d’après la première (3o),
/<ny
\rfx) X’x 1
(F — a 1 ) (a 5 H — 1) (èVX 1 — P) (a’X 1 — R)
(c 7 — a 1 ) (fl 1 — b 7 ) ’
suit l’élasticité. 307
ce qui donne la première valeur du nouveau groupe, -
\(lx ) (c 5 — a 7 ) (<7 = — b 7 )
] /rfXy(F — b')(b'-R — i)
\dz ) (è’ — c ’) (c’ — a’ÿ
les deux autres s’obtiennent de la même manière, en multipliant les deux fractions ( 4 1 ) qui ont pour numérateur 1
puis celles qui ont pour numérateur ) • On conclut , enfin , des valeurs (4a), et par les formules du § 95,
' Mt)' '
)^ = Is(i’- C ’)K’H-,) = o.
Donc la fonction i (ia) vérifie les équations (a3) et ( 24 ).
§ 121. — Le groupe (4i) conduit à une autre consc- Perpen-
ularllü dt vibration.
r . • . » 1 1 .• • dlcularltô de
quence, fort importante dans la question qui nous occupe;
il donne
S = XS
d’après l’équation (3i);oron a, par les relations ( 22 ),
dx
s*£=os p ,
dx F — a-
3o8 LEÇONS
donc la fonction tf, que nous cherclicrons clans la prochaine Leçon, doit vérifier l’ccpiation
laquelle démontre que la vibration de chaque point M s exécute perpendiculairement au rayon , ou à la droite qui joint ce point au centre d’ébranlement.
SUR l’élasticité.
