V LOS
1 dx
dz
! du
dv
\\ cos 2 r. >
de
en posant, pour simplifier,
dy d). dy fil.
dp dz ~dz d) ~ dy d\ dy di
de dx dx dz
dy d\ dy d'k
de dy dy de
Ensuite, pour que les secondes différentiations en (.r, y. z), lesquelles sont définitives, ne doublent pas non plus les termes, il suffit que (rt s U, A*V, c*\V) soient les dérivées premières d’une même fonction ou que l’on ait
Ces conditions étant remplies, les substitutions laites, et les factcnrs communs supprimés . les équations (9) seront
LEGOM.S
3 oo
vérifiées, si Fort a
dr
dx '
d\ do dx d\ ’
dî.
dx
d\ d<f d} = dz'
Équation £ H 9 . — En résumé, il faut que. les fonctions À cl œ
a» paramètre? ^ 1 '
tics ondes, vérifient : i° les deux équations (16) 5 2 0 les équations (19) ;
3 ° les trois (20) : en tout huit. Parmi ces équations, la première (16) 11e concerne que <f\ pour en obtenir une qui > n’appartienne qu’à X seul , il faut effectuer une élimina-
tion ; on y parvient de la manière snivante. La première ( 20) devient, par la substitution des VV, V (18),
el t i.
ta]
ds j J
dx — \
Trü; + b Tz
dz J
di'
ou ,
multipliant
par a’,
ajoutant
aux deux
membres
dtf
' di' '
ut posant
plus
simpl
emcnt
ou aura donc, par cette relation, et par celles qu’on ob-. tiendrait en transformant de la même manière la seconde cl la troisième (20), le groupe suivant :
dy dx
d JL^
df
G Vz
dx F — à 1 ’
<ty
~dz
SUR l/ÙLASTICITK. ' 3oi
On éliminé G et les dérivées de <p entre ces équations (2?.), en opérant sur les premiers membres comme pour former
S ^ ou G, ce qui donne, en divisant par G,
équation que l'on parvient à réduire à la forme plus simple
qui s’obtient d’ailleurs directement par les relations (22), d’après la seconde (16).
L’une ou l'autre des deux équations (23) et (24) suflit donc pour caractériser la nature de la fonction 1 . O11 établit l’identité de ces deux équations de la manière suivante : La seconde, ou (24), d’après F (21), peut se mettre sous la forme
rs (s)'-'
ou en divisant par F qui 11e saurait être nul, sous celle-ci ,
la première, ou (23), devient, en chassant les dénominateurs ,
Sè’c 1 fêy (F — b-) (F — c 1 ) — ( F — a-) (F — />’) (F — r’),
et, en développant, ayant égard à la valeur F' (21), et adoptant la notation des (/•,/>, <7), § 97,
F 1 — FS b J c 7 ( è ; + c- ) ^ -t- S b' c' | — j — F — /F'-f-pF —
,nv
c,) ^j = rF -’ s (;£
Vérification .
3 oa leçons
mais on a, identiquement,
i o c rc- y u~ -f- c )
on a donc, en substituant,
fî - + 'i fs (S ) 1 +p * - * 5 (*■ + cj j (S ) 3
= F 3 — rF’-t-yiF — «7 ; - .
et, si l’on réduit, si l’on divise par q , on retombe sur l’équation (a 5 ). L’équation ( ?- 4 ) peut donc être regardée comme une simplification de ( 23 ). Alors la seconde (16), qui résulte des valeurs (22), lorsqu’on a établi la relation (24), n’çsl elle-même qu’une conséquente de ces valeurs (22), ou des équations (20).
§ 120 . — Il faut que la fonction X (12) vérifie l’équation (24)5 ou (23), ou ( 25 ), sinon le mouvement général que nous avons défini comme provenant d’un seul centre d’ébranlement ne serait pas possible. Avant de faire le calcul de cette vérification, rappelons la notation des (R , P V Q) • et des (/:, p , </), en y joignant les deux identités
(27) S 6’ c’a: 5 = p R — Q, Sfl‘x’ = rP — Q;
rappelons aussi le tableau de symétrie du § 9 o et le genre de sommation qui s’ensuit, à l’aide du signe S. La fonction X vérifie le groupe
qV — QV ■+■ RP
iqV = Q -h \/ Q 1 — 4 7RP’ RP
et, si l’on désigne le radical par I), on aura ( 29 ) \ L>’ — 47 «P = "• 7*'
\ Q’ — 4 q RP = l>;
