Q + \/Q 3 — 4-7RP

et où (X, Y", Z) sont des fonctions de ( x , y, z), puissent

'3lo LEÇONS

vérifier

les équations aux

différences par

tielles,

1 , [du dv \

dC '\lTy-dx)

/ dw du'

"■(sr-s;

) dUi

i dy

-~~dF ’

| **' \dz~dï)

[ du dv

dc ' \T r ~7û

~ ~ ~dr

\ dx dz j

. ( dv dw •

da \7z~dï ,

) d‘ iv

i dx

dt 1

Nous avons vu que cette vérification aura lieu : i 0 si (X, Y, Z) sont les dérivées partielles d’une même fonction fy 0U s > l’on a

d cp r d y

dy ' L ~ dz '

1 ° si les expressions .

- (‘il

\dy

dy)'

ÛY

- [dz

dz J

— (‘il

\dx

dÿ~

dx )

sont telles, que leurs produits respectifs par ( a £>% c 1 ) soient les dérivées partielles d’une même fonction <p, ou si l’on a

dj>

dx 1

d-jf

3° enfin, si les fonctions <jp et <p satisfont aux trois rela-

lions

suit

l.’ÉLASTlClTli.

'il- g

F — it- '

dy ~ ° F — b ‘ ’

dz ° F — r*

où G et F représentent , pour sim symétriques

dy d\ dx dx

plifier, les deux sommes

L'élimination de G et des dérivées de <jp, entre les relations (7), nous a donné l’équation

dont la seconde forme, rapprochée des mêmes relations (7), conduit à la condition

dro d\ do d\ do d'k " o) * + +

Enfin, nous avons vérifié que la fonction X (2) satisfait à f équation aux différences partielles (y), et qu’elle est telle, que les relations (7) donnent

do d d ( l ©

JVaprès cela, lcs-équations (y), (to), (11) sont trois conséquences distinctes du groupe (7), et peuvent conséquemment le remplacer.

§ 123 . — Ainsi, la fonction ep, qu’il s'agit de déterminer, doit satisfaire aux équations (10), (11), et aux conditions (6) el ( 5 ), lorsqu’on y substituera les dérivées de la fonction X (a), laquelle vérifie l’équation (9). Ou peut

Détermination i]ei projection* «lo l'amplifinl»

,l V ^ 1 dx '

z dÿ)’

dy '

v z Tx

dz)'

\ X dy

-*Tx)'

remplacer le système des deux équations (10) et (ti) pat les trois valeurs

to étant une nouvelle fonction: car, si l'on ajoute ces valeurs après les avoir respectivement multipliées par ! d\ d\ d\\ . .

I — , — > —1 ou par (x ,^, on reproduit les équations

(10) et (ii), et cela quel que soit w. Mais cette fonction ro doit être telle, que les valeurs (12) satisfassent aux conditions (6) et (7), et en outre aux conditions d’intégrabilité

de çp.

Les valeurs (12), substituées dans la première des expressions ( 5 ), la transforment ainsi :

ajoutant et retranchant, dans le second membre, le terme

‘—'j , et introduisant la notation des fonctions symé-

triques, il vient

xj= "L^ i w J’

nous avons représenté S | par H, § 120 , et démontré

que Sx --est égal à on a donc, en multipliant par a 2 ,

SU K L ELASTICITE, ajoutant et retranchant x ,

ou, puisque 1 équation (4o) du § 120 donne ,,'rfX , R(/i

ii 3

plus simplement,

Maintenant, si l’on observe que x — - ou aura suc-

1 2 dx

cessivement •

\ X dx f X r Ix *■

(lx

r/x dx

2 X 1 fLr

et, en désignant ^ par a, ce qui donne

“ R’ dx

2 X / rfX , \

= - ( R- Xi |i

R 1 \ dx j

la valeur (t3) devient la première du groupe suivant :

(i5)a’U = R<a.— è’V=Ro,. — caV= R W .-L^;

les deux autres s'obtiendraient, de la même manière, en substituant les valeurs ( 12 ) dans la seconde et dans la troisième des expressions (5). D’après le groupe ( 1 5 ) , pour satisfaire aux conditions (6), il faut et il suflit que Ro) soit

3l 4 ’ LEÇONS

une fonction f («) de a, ou de f jjV? ,)n doit donc prendre

et il ne reste plus qu’à déterminer la forme de la fonction J\ de telle sorte que çp existe. » ‘

Avant d’entreprendre cette dernière recherche , remarquons que les valeurs (12) donnent identiquement

1 (la

pi <lx

•et comme ou a, en observant que o> (16) est fonction de / et R seulement,

o) dx

d‘ y dx 1

do* du dx dx

„ d w dfù d\ d <.)

et d>“rvS + 2 rfR a '’

il s’ensuit nécessairement

d- a rfw dts d\ r d w do

“ S ^? = ^ S ^^ + 2 rfR Sj: ^ :=0 d’après Jes équations (10) et (11), ou définitivement

rf> | £^ + ^ ?== o. . ‘

dx 1 dy- dz 1

Ainsi, les équations (17) et (10) ont lieu nécessairement quand les projections (1) vérifient les équations ( 3 ) ; ce qui devait être, puisque ces équations ( 3 ) comprennent implicitement la relation

du dv dit’

dx dy dz

Digilized-by G(

suit l’élasticité.

qui exprime que les vibrations dont il s’agit ici ont lieu sans

changement de densité.

Voyons maintenant s’il existe une- forme de la fonction y, telle que les valeurs (12), dans lesquelles on substituera '■) (16), puissent être les dérivées d’une même fonction ç.

Soit posé, pour simplifier, /'(«)= f,~— f . Si l’on

égale les deux expressions que donnent les valeurs (ta)

pour 1 en déduisant ^ ~ de la seconde (1 4 ) ■» 0,1 ob- 1 aydz a z dy ■ '

lient uu résultat dont les parenthèses secondaires deviennent des trinômes symétriques, par l’addition et la soustraction de termes égaux 5 alors, en remplaçant Si j

par , S ( P ar H 1 0,1 trouve

% f ' [ R (' a £■-«•")- v ( R Tx - Ar )]

R \ dx J J \ dx dx 1 / ’

et, réduisant, divisant par x, il vient

On est conduit à la même équation (19), qui est syinétri-

-que, en égalant les deux expressions de ■> et celles do

déduites des valeurs (1 2) ; en sorte que cette équation (19) exprime à elle seule les conditions d’intégrabilitc de la fonction 0.

Mais il faut que celte unique relation'fig) ne contienne

nue la variable a. Or, si l’on calcule S^— ^ en diil’érenliani

1 ■ 1 dx- '

les équations ( 33 ) de la Leçon précédente, si l’on prend la valeur (37), § 120 , de H, et qu’on introduise a. (14), 011 arrive aux deux valeurs