Les coefficients des différents termes des polynomesF
G, H ne sont pas indépendants; nous allons montrer que si
â?-t\ le polynôme F contient a ' ? le polynôme G contient
dx^dy D'après le mode de formation du polynôme P le terme
a , „ ', de ce polynôme doit provenir du terme a -7-* - — rdx^dy '^ dx dxdy
ou a-fii l'iy de la fonction W^. En effet si nous appliquons ce
mode de formation nous devrons d'abord prendre la dérivée
de ce terme par rapport à \'^y, ce qui donne af;^, puis prendre
la dérivée seconde de ce résultat par rapport à .c et à y, ce
qui donne ot , „ , • dx'dy
Si maintenant nous cherchons les termes de G qui sont donnés par le terme a tj^ l^,^ delà fonction W^, l'un de ces termes s'obtiendra en dérivant d'abord par rapport à -rii, puis en dérivant le résultat par rapport à ie et changeant le signe. En efl'ectuant ces opérations on trouve comme nous l'avons an-
nonce.
dx^dy
192. Propagation d'une onde plane. — Étudions, en prenant pour point de départ les travaux de Neumann et de Mac-Gullagli, la propagation d'une onde plane dans un milieu hémièdre.
Les axes auxquels sont rapportées les équations du mouvement étant quelconques nous pouvons considérer l'onde plane comme parallèle au plan des xt/. Alors ;, v), ^ ne dépendent plus que de^ et de t,el les dérivées des déplacements par rapport à x et y disparaissent des équations du mouvement. Si les polynômes F, G, H étaient nuls, les vibrations
seraient transversales ; la condition 0=0 donnerait -;- = 0
de
et les dérivées de Ç par rapport à j disparaîtraient aussi des
équations du mouvement. En général, quand F, G et H sont
différents de zéro, il n'est plus ainsi, mais les vibrations étant
encore presque transversales on peut négliger ces dérivées.
Dans ces conditions les équations du mouvement dans le
plan de l'onde sont
dn dH. jd\ d^l d\
dt^ d:^^ dz^ ' dz^ ' ' clz^'
équations dans lesquelles les coefficients satisfont aux relations imposées par le mode de formation des seconds membres.
Elles se simplifient quand on prend pour axes des a; et des y les directions rectangulaires des deux vibrations de Neumann. Elles doivent alors être satisfaites pour les valeurs de 5 et vi correspondant à ces vibrations quand on }• néglige les déri-
vées du troisième ordre. Or si on fait 5 =: Ae '■ , 71 = 0,
coordonnées de Textrémité de la vibration parallèle à l'axe des X, la seconde donne fj= o. Par conséquent, par ce choix d'axes de coordonnées les équations précédentes se réduisent à
dt^ ~ "■ dz^ "^ * dz^ "^ ^ dz^
dt^~ dz^ ^dz^^^dz^
193. En faisant des hypothèses particulières sur les coefficients des termes de Wj qui contiennent des dérivées secondes et qui, par conséquent, donnent les termes F, G, H des équations du mouvement, Mac Cullagh est arrivé à des équations dans lesquelles a ^= y = o. Nous allons montrer que sans faire aucune hypothèse sur la fonction W, on a toujours
D'après le mode de formation des seconds membres des
équations du mouvement le terme de Wo qui pourrait
d^' dl d-\
donner a -—^ dans F devrait être de la forme a -r^ -pr, ou dz^ dz dz-
aï-'^j . Cherchons les deux termes qu'il donnera dans F. Nous
aurons ;
~ dz d\i "•"rfs-a d\l "^'
, rf3ç , d'I .
Par conséquent le seul terme de W, pouvant donner un
d'^\ terme en -j-^ dans la première équation en donne deux qui
d\ se détruisent. On verrait de la même manière que -~
ds^
ne doit pas entrer dans la seconde équation. On a donc pour
ces équations
dfi ~ dz^^^ dz^
dt'^ ~ dz-^ ^ dz''
194. Vitesses de propagation. — Clierchons à satisfaire à ces équations en posant
Nous obtiendrons en substituant et divisant par ^r— >
AV2 =aA4-Ç^pB,
BV = cB — ^ SA ;
su THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
et en remplaçant ^ S par p',
AV2 = rtA -f iVB, (2)
BV2 ^ eB — tS'A.
Nous tirons de ces e'qualions
{V2 — rt) A = iH'B,
et en multipliant ces deux dernières nous obtenons
(3) (V2 — rt) {V2 — c)= S'2.
Cette équation nous donne deux valeurs pour la vitesse de propagation de l'onde, et ces valeurs sont réelles, car 3 étant très petit, 8 Test aussi ; nous aurons donc deux ravons lumi-
neux. Ces vitesses deviennent égales h Y = \^a± p' quand on a a =: c. Dans le cas général, l'une d'elles est très voisine de \a, l'autre de \fc.
195. Polarisation elliptique des rayons. — La seconde des équations (^i nous donne
A~V^ — c' elle nous montre que le rapport -r- est une quantité purement
imaginaire. Si donc nous supposons .\ réel, B est de la forme B = iB, et les parties réelles de ^ et ■») qui satisfont aux équa-
tions du mouvement sont
?= Acos=f [s — yt],
71 = -B, sin|^(.--V<).
La trajectoire de la molécule vibrante est donnée par l'équation
qui est celle d'une ellipse rapportée à ses axes. Par conséquent, dans les cristaux hémièdres, les rayons sont polarisés elliptiquement et les axes de l'ellipse de polarisation sont les directions de vibrations des rayons polarisés rectilignement dans le cristal holoèdre.
Le rapport des axes de l'ellipse est égal à
En élevant au carré et remplaçant p'- par sa valeur (3), nous obtenons pour le rapport des carrés des axes.
Pour l'onde dont la vitesse de propagation est voisine de \/a, le numérateur de R est voisin de « ^ c, et le dénominateur voisin deO;la valeur de H est donc très grande, et l'ellipse est très allongée. — Pour l'onde dont la vitesse de propagation est voisine de Vc, R est voisin de zéro, et l'ellipse est encore très allongée. Par conséquent, en général, la
polarisation des deux rayons réfractés sera presque recliligne. Pour que la polarisation elliptique soit appréciable, il faut, que la dilTérence a — c soit très petite ; dans ce cas, en effet, les deux termes du rapport R étant très petits, ce rapport aura une valeur finie.
Considérons le cas où c =r a. Si on néglige les termes contenant p' en facteur, les deux équations (2) deviennent
AV2 = ka BV2 = Ba
et le rapport— est indéterminé; la polarisation est rectiligne,
mais le plan de polarisation est indéterminé. La direction de propagation [est donc un axe optique du cristal. D'après ce qui précède, la polarisation elliptique ne sera sensible dans un cristal hémièdre que lorsque la direction de propagation sera voisine de l'axe optique, puisque dans ces conditions seulement a — e sera très petit.
Si l'on considère une onde plane dont la direction de jpropagation dans un cristal hémièdre est celle de l'axe optique, elle donnera naissance à deux ondes planes, puisque les vitesses de propagation Va -|- P ^^ V*^ — P de ces ondes sont différentes. En outre, ces deux ondes seront polarisées circu-
lairement, car le rapport R des carrés des axes de l'ellipse de-
V2 — ffl
vient alors r-T = 1. On aura dune le phénomène de la
polarisation rotatoire.
196. Reprenons le cas où les deux ondes se propagent avec des vitesses différentes que nous désignerons par V et V", et où les rayons sont polarisés elliptiquement. Montrons que les ellipses décrites par la molécule vibrante dans les deux ondes planes sont égales.
Si nous supposons que V soit la vitesse la plus voisine de V «, le rapport R des carrés des axes de l'ellipse qui correspond à cette vitesse sera plus grand que 1 et représentera le carré du rapport du grand axe au petit axe ; la valeur de R est alors
Pour l'autre vitesse V", R est au contraire plus petit que l'unité, elle carré du rapport du grand axe au plus petit axe de l'ellipse correspondant à cette vitesse est
Si les deux ellipses sont égales, nous devons avoir
V'2 ,. Y'^- — a V'2 — a ~ Y"3 — c ou
Or, si nous développons l'équation (3) qui donne les vitesses, nous obtenons
V^ — (a -f c) V2 -j- ac — p'^ = 0,
et nous avons bien pour la somme des racines V^ et V^ de cette équation
Ces deux ellipses égales ont leurs grands axes perpendiculaires l'un à l'autre, puisque le rapport R du carré de l'axe dirigé suivant U.» au carré de l'axe dirigé suivant 0^, passe
d'une valeur plus petite que 1 à une valeur plus grande que 1, ou réciproquement quand on y fait successivement V* égal à Y'2 et à V"2.
Enfin ces ellipses seront décrites en sens contraire, comme l'indiquent les flèches de la figure. Pour le faire voir, il suffit de
montrer que le rapport — ' des mo-
dules de yj et de ; change de signe avec le rayon considéré. Or, ce rap-
^ port a pour valeur
-) et il
V2 — c changera de signe si c est compris entre les valeurs V- et V"^ des car- ^"'S- 25- rés des vitesses. La substitution de
c à V^ dans le premier membre de l'équation des vitesses
(V-' — a) (V2 — c) — fl'2 = 0.
donne un résultat négatif, tandis que si l'on fait V^ = oo et V^ = 0, on obtient une quantité positive. L'une des racines est donc plus grande que c, l'autre plus petite.
197. Il est possible en parlant des hypothèses de M. Sarrau d'expliquer les phénomènes de double réfraction dans les milieux hémièdres. Nous n'insisterons pas sur cette théorie, et nous renverrons au mémoire que M. Potier a publié sur ce sujet dans le BuUelin de l' Association frat^çaise pour l'avancemetit des sciences (t. I, p. '■264).
