REFLEXION VITREUSE
La réflexion vitreuse a donné lieu à trois théories également confirmées par l'expérience, ce sont celle de Presnel, celle de Neumann et Mac Cullagh et celle de Gauchy.
THÉORIE DE FRESNEL (1
199. Hypothèses fondamentales. — Fresnel suppose : 1° Que la vibration est perpendiculaire au plan de polarisation.
2° Que l'élasticilé c de l'élher est constante et est la même dans les deux milieux. La densité p de l'éther est au contraire
variable. Comme la vitesse de propagation V est égale à w -
nous devons admettre, si nous regardons s comme constant, que p est proportionnel au carré de l'indice de réfraction.
3° Fresnel envisage ensuite les vitesses de deux molécules infiniment voisines l'une de l'autre et de la surface de séparation, mais situées de part et d'autre de ces surfaces; il décompose chacune de ces vitesses en deux autres, l'une parallèle au plan tangent à la surface de séparation, l'autre normale à ce plan. Il admet que les composantes tangentielles des vitesses des deux molécules doivent être les mêmes en grandeur et en direction^ mais que les composantes normales peuvent être différentes.
(1) Œuvres compté trs. T. 1, p. 767.
Celle faeon irénoncer Thypollièse de la conlinuilé peut paraître arbilraire el elle a semblé lelle k bien des esprits. Nous .croyons que c'est à tort. Les vibrations de l'éther sont transversales; nous avons montré (45) qu'on peut expliquer cette transversalilé de bien des manières, mais nous avons surtout insisté sur deux de ces explications. On peut supposer que cette transversalilé est le résultat d'une sorte de liaison, telle que la résistance de l'éther à la compression est infinie. C'est, ainsi que nous l'avons dit plus haut, l'hypothèse que Fresnel paraît avoir adoptée dans sa théorie de la double réfraction. Ici il adopte Thypothèse contraire, celle où les équations du mouvement s'écrivent :
el où la résistance de l'éther à la compression est nulle. Mais s'il en est ainsi, rien n'empêche d'admettre que les composantes normales des vitesses de, nos deux molécules infiniment voisines soient différentes. Imaginons en effet que la surface de séparation des deux milieux soit un plan et considérons deux plans infiniment voisins parallèles au plan de séparation, mais situés de part et d'autre de ce plan. Envisageons les molécules cî'éther situées dans ces deux plans; si les composantes normales de leurs vitesses ne sont pas les mêmes, la' distance de ces deux plans va varier d'une façon périodique et il en résultera des compressions et dilatations alternatives de
l'éther compris entre ces deux plans. Mais la résistance de l'éther à la compression étant nulle, ces alternatives pourront se produire sans apporter dans le mouvement aucune perturbation.
4° Enfin Fresnel s'appuie sur le principe des forces vives.
200. Application des principes précédents. — Nous supposerons que la surface de séparation des deux milieux est un plan; que les ondes incidente, réfléchie et réfractée sont planes. Nous supposerons de plus que le rayon incident, et par conséquent les rayons réfléchi et réfracté sont entièrement polarisés. Les lois de la réflexion de la lumière naturelle se déduisent en effet aisément de celles de la lumière polarisée, si l'on regarde un rayon naturel comme la superposition de deux rayons d'égale intensité polarisés à angle droit.
Nous prendrons le pian de séparation des deux milieux pour plan des xy. Soient ;, -ri, X, les trois composantes du déplacement d'une molécule quelconque; ;,, T|,, Ç, les composantes du déplacement dû à la lumière incidente; ç,, tj^, Co celles du déplacement dû à la lumière réfléchie; ;3, f\.^, X,.^ celles du dé- placement dû à la lumière réfractée. On aura alors dans le premier milieu :
et dans le second milieu :
; = ?3 , "n = "Ha ' ? = ^3 >
D'après la troisième hypothèse de Fresnel, \ et yi sont des fonctions continues, mais X, peut être discontinu. On a donc pour s = o
(1) ' M -f- ^2 = ^3 ' "^11 + "^la = T|3
Les ondes étant planes, on aura
?, = A, COS (P, -j- co,),
"0, = B.cos (P, -f- (0,'), Ç, = G, COS (?, + «;'•);
ou
OU
$2 =; AoCOS (Pj 4- '"■i)j T,2 =: BoCOS (P^ 4-<"2).
P2 = y- {^,x + fijy -\--{,s~ yt)
?3 = A^cos (Pa + ioj),
Yl3 = B3COS(P3-f-CO;;), Ç3 = C^COS(P3 + coJ),
Les A, les B et les G et les m sont des constantes; V a la même valeur pour le rayon incident et pour le rayon réfléchi, car c'est la vitesse de propagation dans le premier milieu; V est la vitesse de propagation dans le second milieu et l'on a, en appelant h l'indice de réfraction
ou
Les vibrations devant être dans le plan de l'onde ; on aura
La première des équations (1) qui doivent être vérifiées pour z = o, nous donne
(3) A, cos [1= {^,x -\- li,y - \t) -{- co, )] +
-f- AjCos Y (ajo; 4- p2y — V/) + 1031=
=: A3COS I Y^Kî^-l-pgî/— V7)-|- «jj-
201. Fresnel introduit ici une hypothèse nouvelle; c'est que u>^ ^= m^ ; cette hypothèse lui est suggérée non par des vues théoriques, mais par l'expérience qui lui prouve que tant qu'il n'y a pas réflexion totale, la lumière réfléchie reste polarisée rectilignement si la lumière incidente l'est ellemême.
Dans ce cas réquation'(3) ne peut être vérifiée identiquement que si l'on a
(4) ^=^^^% êi^Êî^Ëâ, 1=1=1,
A, Aj* A3 A, Ao A3 A, Aj .A3
0), = co., = (1)3
A, + Aj = A3.
La seconde équation (1) nous donnerait de même
Les équations (4) nous donnent
X — ^, r, — îii, 0 —h:
Nous supposerons que le plan d'incidence ait été choisi comme plan des xz; on aura alors p, := o et en appelant i l'angle d'incidence :
a, = sine', Yi = cos 2.
Si p, est nul, il devra en être de même de 8., et de ,83 en vertu des équations (4). Gela veut dire que l'onde réfléchie et l'onde réfractée sont perpendiculaires au plan de xz, ou en d'autres termes que le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d'incidence.
Puisque a, = a^ on aura aussi
ttj = sin t et
Y2 = ± s/1 — ai — Pi = ± C"S '■ •
Comme Y2 ^^ P^ut être égal à Y( sans quoi le rayon incident et réfléchi se confondraient, on aura
Y2 = — T) = — cos i.
Cela montre que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.
De même si r est l'angle de réfraction, on aura
'■ aj^sinr, Ys = cosr
3ifi: THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
et puisque a, = «ag.on arrive à la loi connue de la réfraclioni
sin ? = M sin r.
La théorie de Fresnel conduit donc très simplement aux lois élémentaires de la réflexion et de la réfraction. D'autre part les équations (2) deviennent :
k^^^ cos (P| -j- iO|) 4- C, /, cos (P, -\- wj) = 0, A.ajCOS (P, -f- ox,) -f Cor, cos (P, +.w^) = 0, •Va COS (Pj 4- 0.3) -f- G3Y3COS (P3 4- 0)5) = 0.
Ces équations ne peuvept être vérifiées identiquement que si l'on a
'■ A,a, + C,Yj = A^a, 4-G2Y2 = Agag-fCgY:, = 0
M( = coj' , M.2 = 1^2 , ''^3 ^— ''^3-
Si le rayon incident est polarisé rectilignement on aura tûf = 0),' ; de sorte que les neuf quantités u seront égales ; nous pourrons supposer alors que l'origine des temps a été choisie' de telle sorte que ces neuf quantités soient nulles.
Il nous restera donc entre les quantités A, B et C les relations :
^2») — CoY) = 0. Ajag + C3Y3 = 0.
202. Application du principe des forces vives. — Pour pouvoir appliquer le principe des forces vives, il faut supposer qu'une portion seulement de l'éther est ébranlée;
car si tout l'espace était éclairé, la force vive totale serait infinie et l'application du principe deviendrait illusoire.
Nous supposerons qu'à l'origine des ti-mps l'éther ébranlé se trouve renfermé dans un parallélipipède rectangle CD EF (/î^r.se)
limité par deux plans parallèles au plan d'incidence, par deux plans parallèles au plan de l'onde incidente et par deux plans, perpendiculaires aux quatre premiers. Nous supposerons de plus que les dimensions de ce parallélipipède soient très grandes par rapport à une longueur d'onde de façon à n'avoir pas à tenir compte des phénomènes de diffraction.
Que deviendra l'ébranlement de l'éther au bout d'un temps t. L'ébranlement parti d'un point m du parallélipipède CDEF cheminera d''abord dans la direction du rayon incident jusqu'à sa rencontre en a avec le plan de séparation ; là il se divisera en deux parties, l'une ira de ;xen m en suivant le rayon réfléchi, l'autre de \j. en m" en suivant le rayon réfracté. Il marchera
d'ailleurs avec une vitesse V le long de >W|j. et de |xw«' et avec une vitesse V le long de [a»î" de sorte qu'on devra avoir :
7n\i. . y.m' >«[jL . ij.m"
V ' V ~ "v" ' V' ^ '' ou
(7) n . \pn' = \i.m .
Ainsi au temps <la lumière partie du parallélipipède CDEF occupera deux parallélipipèdes : le premier C'D'E'F', occupé par la lumière réfléchie aura deux faces parallèles au plan d'incidence et deux faces parallèles à l'onde réfléchie.
Le secohd G"D"E"F", occupé par la lumière réfractée aura deux faces parallèles au plan d'incidence et deux faces parallèles à l'onde réfractée. Sur la figure ces trois parallélipipèdes sont représentés en prenant pour plan du tableau le plan d'incidence.
Soient g»,, q^ et q.^ les masses d'éther contenues dans ces trois parallélipipèdes. La valeur moyenne de l'énergie d'une masse d'éther ébranlée,'par exemple par la lumière incidente, sera proportionnelle d'une part à cette masse, d'autre part à Af -\- B? + G? ; le théorème des forces vives s'écrira donc :
ï,(Af+Bf + GÎ) = 9,(Âi + Bi + Cl)+^3(Al + Bi-fC^)'
11 est clair que q^^^q-i', il faut chercher le rapport de q^kq^. Les volumes de nos parallélipipèdes seront entre eux comme leurs sections faites par le plan d'incidence, c'est-à-dire comme les rectangles GDEF, G'D'E'F'. Gomme d'autre part la densité dans le second milieu est «'- fois plus grande que dans le premier, on aura
23 ,., çi^ro: ■
q, ~ GE GD
On a, en vertu de l'équation (7) :
Çrfi i K"A 1
d'où
