G"E" = - CE' = - GK

D'autre part,

G"D" = AB cosr, GD = AB cos i,

d'où

£3 cosr __ sin i cos r «i ^3

(/f cosi sinr cosï y, aj

Le principe des forces vives peut doni; s'écrire

ïi (A? ^ B? + G? - Ai - Bi - Ci) = ^ (A2 + Bl + Cl) a, ag

Nous pouvons décomposer le ra}'on incident en deux autres, l'un polarisé dans le plan d'incidence, l'autre perpendiculairement à ce plan.

Pour le premier A,, C,, Aj, G,, A3, C3 sont nuls.

Pour le second B,, Bo et Bg s'ont nuls.

Le principe des forces vives doit être vrai pour chacun de ces rayons séparément de sorte que l'équation des forces vives se décompose en deux :

(8) ïi(Bf Bij=ïâBl,

(9) Il(A?-Ai + CÎ-Gi)=zï;*(Ai + Gl)

Les équations (5), (6), (8) et (9) suffisent pour déterminer A.,, Bo, Cj et A3, B3, C3 quand on connaît .\,,B, et G,.

330 THÉORIE MATHÉMATIQUE IiE LA LUMIÉftE

203. Premières conséquences. — Si nous divisons l'équation (8) par la seconde des équations (o) il vient :

Si dans l'équation (9) nous remplaçons C, , C3 et C3 par leurs valeurs tirées de (6) il vient :

ou en divisant par la première équation (S), ou

*iTi agYa

Les deux équations (8) et (9) peuvent donc être remplacées

par les équations (10) et (11) quiontl'avantage d'élre linéaires.

L'équation (10) peut s'écrire (si l'on se rappelle que

(12) ^*^' -f ^-'ïa

B:iY3 " ^3

De même l'équation (il) peut s'écrire

ou en tenant compte des équations (6) +

Afïi — ^^i«i 1^ A^y.^ — C^oc, A3Y3 — CaO's

Cette équation et l'équation (12) s'écriront plus symétriquement (en se rappelant que les p sont nuls)

B.r< - O.P. ^ B,Y, - c.fJo B,r, - c,h

/) Âj /j

C)a, — A|Y, . C.,ao — \.,y.-, Ca^a — A^y^

Al A., A^

auxquelles on peut ajouter la suivante :

A,p, — B,a| A/i,, — B^ao Aafjg — 6,^3

A. Ai) Ao

que l'on déduit de la seconde équation (a) en observant que

les p sont nuls et que -H = r^ = r-^

A| Aj ^z

Sous cette forme symétrique il est aisé de voir quelle est la

signification des équations (13). Nous avons, en elTet, en nous

rappelant que les quantités que nous avions appelées co sont

supposées nulles,

$, =A,cosP,, !;|=C,cosP, ;

d'où

^__2hia sinP ^- rllir <mP

dz- \ A.smF, , ax-~ \ ^^'"f^..

de sorte que :

^-^=27TsinP '"'"■ "-^'Ti dz dx ' \,

Ainsi, la seconde équation (13) peut s'écrire :

dz dx ' dz dx dz dx

Elle signifie que -p — -^ est une fonction continue. De même les deux autres équations (13) signifient que -j^ — -^

ClJb et \j

dl d-n , r- ■

et ^ — -r' sont des fonctions continues. Ces conditions

di/ dz

peuvent remplacer le principe des forces vives.

Je dis que -t;^ est aussi une fonction continue. En effet ? cIt]

sont continues et il est aisé de voir qu'il en est de même

de -7^ et —r- Mais à cause de la transversalité-des vibrations, dx dy '

on doit avoir dans les deux milieux

dx dy ' dz

Donc -r est aussi continu.

Ainsi dans les hypothèses de Fresnel non seulement \ et tj,

rf? rfÇ dr^ d\ dK f^Y, dl

mais encore -;- — -ri, — ^-'^ ,et-r- sont des

dz dx dx dy dy dz dz

fonctions continues.

204. Théorème de Mac-Cullag; — Multiplions la seconde équation (5) par — et ajoutons la à (10) de façon à éliminer B^, il viendra

Éliminons de même A^ entre la première équation (5) et l'équation (H), il viendra :

2A,(ïi+?^)-A3(^+^ + ^ + ^U0,

ou,

La comparaison des équations (14) et (15) donne :

0, ou plus symétriquement

ïl

Celte équation prouve que le rayon incident, la vibration incidente et la vibration réfractée sont dans un même plan.

En d'autres termes la vibration incidente est, en direction seulement, la projection delà vibration réfractéesur l'onde incidente.

On démontrerait de même que la vibration réfléchie est, en direction, la projection de la vibration réfractée sur l'onde réfléchie.

205. Loi de Brewster. — Supposons que le rayon réfléchi soit perpendiculaire au rayon réfracté, c'est-à-dire que l'onde réfléchie soit perpendiculaire à l'onde réfractée.

Toute droite située sur le plan de l'onde réfractée se projettera sur le plan de l'onde réfléchie suivant la droite d'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire suivant l'axe des y.

Quelle que soit donc la direction de la vibration réfractée et par conséquent aussi la direction de la vibration incidente, la vibration réfléchie sera parallèle à l'axe des y.

En d'autres termes, quel que soitle plan de polarisation du rayon incident, le rayon réfléchi sera entièrement polarisé

33i THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

dans le plan d'incidence. Il en sera donc encore de même quand la lumière incidente sera naturelle.

206. Réflexion totale. — Si le second milieu est moins réfringent que le premier, ;i est plus petit que 1; il peutarriver alors que ag soit plus grand que i et par conséquent que 73 soit imaginaire.

L'angle de réfraction est alors imaginaire, la lumière ne pouvant se transmettre dans le second milieu se réfléchit toute entière et Ton dit alors qu'il y a réflexion totale. Dans

ce cas les formules de Fresnel deviennent illusoires, car le rap-

port — ^ par exemple est imaginaire. Nous avons vu que dans •A|

le cas ordinaire Fresnel avait introduit l'hypothèse que les deux rayons incident et réfléchi avaient même phase et que

Dans le cas de la réflexion totale ses formules lui donnent pour -T-^ une valeur imaginaire de la forme

coscp -\~ ?'sin(p.

Fresnel admet, par une sorte d'intuition heureuse que le module de cette expression imaginaire, c'est-à-dire 1 représente la véritable valeur du rapport—^ et que l'argument de

cette même expression c'est-à-dire cp représente la différence de phase w., — to, qu'il avait jusque là supposée nulle.

Il a été évidemment conduit à cette hypothèse hardie par deux expériences antérieures qui lui avaient prouvé que si le rayon incident est polarisé rectilignement, le rayon réfléchi, quia d'ailleurs même intensité, est polarisé elliptiquement.

Quoi qu'il en soit, sa hardiesse a été pleinement justifiée par .l'expérience.

207. Objections contre la théorie de Fresnel. — L'analyse qui précède a été entre les mains de Fresnel un admirable instrument de découverte; c'est à ce point de vue qu'il faut la considérer sans y chercher une rigueur qui ne saurait s'y trouver. Les théoriciens y ont fait un certain nombre d'objections plus ou moins sérieuses que nous devons réfuter si nous voulons établir la parfaite concordance de la théorie des ondes avec l'expérience.

1° La restriction apportée au principe de la continuité en ce qui concerne les composantes normales paraît assez arbitraire ;

2° L'hypothèse de co, = m., que nous avons introduite plus liaut ne parait justifiée au premier abord par aucune raison théorique ;

3° La formule de la réflexion totale, confirmée par l'expérience, paraît due plutôt à un lieureux hasard qu'à un raisonnement rigoureux ;

i" Si l'élasticité de l'cther est constante, sa densité devra être' proportionnelle au carré de l'indice de réfraction, mais comme cet indice dépend de la longueur d'onde, cette formule conduit pour la densité de l'éther à des valeurs différentes suivant la couleur de la lumière que l'on considère ;

5° Enfin la théorie précédente ne parait pas, pour une raison analogue, susceptible d'être étendue aux milieux cristallisés puisque l'indice de réfraction n'est pas une constante. Si donc la densité est regardée comme une constante, elle ne saurait être proportionnelle au carré de cet indice.

208. Réfutation de ces objections, — Nous allons chercher à faire une autre exposition de la théorie de Fresnel, sans nous écarter de la pensée de son auteur, mais en nous mettant à l'abri de ces objections.

Nous écrirons les équations du mouvement sous la forme

Nous regarderons e comme conslant et p comme variable; nous pourrons alors choisir les unités de façon que e = 1. Nous imaginerons ensuite que l'espace est partagé en trois régions; l'une occupée par le premier milieu, et où p pourra être regardé comme constant; l'autre occupée par le second milieu et où p aura une valeur constante différente de la première ; enfin enlre ces deux régions s'étendra une troisième région intermédiaire que nous appellerons couche de passage et où p variera très rapidement depuis sa première valeur constante jusqu'à la seconde. L'épaisseur de cette couche de passage sera finie, mais très petite par rapport à une longueur d'onde.

Si la surface de séparation est le plan des xi/, la couche de passage sera limitée par deux plans extrêmement voisins 'z := 0, z ^ h, parallèles au plan de séparation.

Alors la densité p est une fonction de ^seulement, qui reste constante de^ = — x à^ = o, varie très rapidement de ^=:oà5':=^et prend do nouveau une valeur constante différente de la première (ie:=:hks=z-\-cc.

L'existence d'une pareille couclie de passage semblera plus naturelle que l'hypothèse d'un cliangement brusque dans la nature du milieu, elle nous débarrasse d'ailleurs de toutes les difficultés relatives au principe de continuité.

Ceci posé, cherchons à satisfaire aux équations du mouvement en faisant :

X, Y et Z étant des fonctions imaginaires de s seulement. Alors ;, t), î seront aussi des fonctions imaginaires dont les parties réelles représenteront les véritables déplacements des molécules d'éther, conformément à la convention faite plus haut.

Les équations du mouvement deviennent alors

— fb^X = X" — iaZ',

— pé3Y = — fl2Y-{- Y",

— ç,/y^Z = — a^Z — iaX',

en représentant par des lettres accentuées les dérivées de X, Y, Z, par rapport à 2.

Dans chacun des deux milieux la densité p est constante et on trouve pour l'intégrale de ces équations

X = Ae'=V^P*'-«' + x'e-i-~V?b^-a-

Z = Ce''=V''pA--3» j Q'g-tzVpb^--a-

Appelons e la valeur de Vf^' — a'^ dans le premier milieu et c' la valeur de ce même radical dans le second milieu.

Alors nous aurons en comparant nos notations à celles que nous avons employées plus haut :

Sua., 2t:X3

27IY, ^3

— 2rV'

L'expression de X que nous venons de trouver se compose de deux termes; dans le premier milieu, le terme en «'"correspond au rayon incident et le terme en e~"''correspond au rayon réfléchi ; dans le second milieu le terme e"'correspondra au rayon réfracté; le terme en e""'-ne correspondra à rien et son coefficient devra être nul. Dans le premier milieu on aura donc

X = Ae'^^ -f- A'e-'", Y — Be"' -f- B'e-''=,

Z = Ce'" ^ Ce-'",

et dans le second milieu

Si nous comparons nos notations actuelles à celles que nous avons employées plus haut, nous trouverons :

P, — ax -)- cz -f- ^'^ p. = ax — c^ + bt,

P3 = ax -\- cz -Jr bt.

A' = Aoe'"» B' = Boe'"»' C = Oj'^^'

A" = Aje'"^ B" = Bje'""' C" = Cje'"»'

Si nous posons

dy dz ' dz dx ' dx dy '

les équations du mouvement deviennent

d^\ ^df^

~ dz ~

dw dy

du " dl'

d^iÇ, du dv

° dt'^ dy dx

ou :

du . , .^ dv ,„

Ces équations montrent que les dérivées -r-et -7- sont finies ;

dz dz

et comme la couche de passage est extrêmement mince, les valeurs de u et v des deux côtés de cette couche seront extrêmement peu différentes. Donc m et r sont des fonctions continues et par conséquent finies.

On a

dl dr[

Ainsi les dérivées de ; et de y| sont finies et par conséquent ? et 7) sont continues. Gomme on a d'autre part

ta = ia-r\,

on voit que «c est aussi continue.

Si l'on ajoute les trois équations du mouvement après les

avoir différentiées respectivement par rapport à a-, ^ et ^ ; il vient :

d[fl) cU?-r,) dior,) ^ dx ' dy ~^ dz '

ce qui nous donne ici ,

iaf\.

Cela prouve d'abord que pÇ est une fonction continue et comme p est discontinu, Ç ne pourra être continu à moins d'être nul.

De plus \ étant continu il en re'sulte que

p dz

est continu. Mais dans les deux milieux p est constant

df = 0, de sorte que cette expression se réduit à — •

Ainsi, par le calcul rignureux qui précède nous retrouvons les mêmes résultats auxquels une intuition heureuse avait

conduit Fresnel : les fonctions ;, yj, m, v, lo et — sont continues, tandis que Ç est discontinu.

En écrivant ces conditions, il vient

Ac — Ca +■ A'c — C'a = A"c' — C'a. Bc - B'c = B"c',

auxquelles il faut joindre les conditions de transversalité : Art -f Ce =: A'« — Ce = k"a — G"c' = 0.

Les conditions (13) sulFisent pour la solution complète du problème. Nous n'avons donc pas fait intervenir le principe des forces vives ; ce principe est cependant certainement applicable dans le cas qui nous occupe; en effet les équations du mouvement dont nous nous sommes servis sont celles que nous avons obtenues dans le chapitre premier en supposant l'existence d'une fonction des forces; ce qui implique le principe des forces vives.