X -^ udt, y -\-v dl^ z -t- w dt'j
CHAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LENT d'UN FLUIDK VISQUEUX. TJ
Pour M' :
!x -\-^x -\- u dt -\- {ii'x Sa? + u'y hy -h u'^ oz) dt^ y -\-^y -\- V dt -\-{v'jc oa? -h p^ ^y -^^'z o>3 ) dt^ z -\-^z-^ wdt-\-{ w'x ^x -\- w'yhy -\- tv 3 ^z ) dt,
(8.ç)2 devient (85')î^:
( 8*')2 = \(i-^u'jc dt) ^x -h u'y ^y dt -h m; ^z dt]^ + [p;. ox û?< H-(i -h i>y dt) ^y -h v'z ^z dty -r-[w'j;^xdt-h w'y^ydt-^{i-^ w'z dt)^zy,
ou, en développant les carrés et en négligeant (dty :
(7) (os'y-= S(8:r)»(n- 2 ai dt)~\- i 2 §x ly dt{ u'y-\- p^.),
d'où
(8) {ls')'^ — {^s)^='ilsj(ls)dt ^idt['Zu'j,{lx)^-r-I.(u'y-^v'^)lxùy],
L'accroissement --rA^s) dt de 5^ est fonction linéaire et homogène des six quantités
".'fï ^y» ^i» vitesses de dilatation;
u'y-^v^y v'z-^ ^'yi wp^-Hw!, vitesses de glissement.
Si ces six quantités sont nulles, hs reste invariable.
Il est facile de reconnaître que, dans un petit parallélépipède parallèle aux axes de coordonnées, u^^ (^'^, tv'^ représentent les vitesses d'allongement des côtés; w'y-\- r^, w^4- «ï''^., ^^4- u'y sont les vitesses de changement des angles des arêtes.
Ces six quantités définissent donc la vitesse de déformation d'un élément de volume.
22. Directions principales. — Une petite sphère, tracée autour d'un point M au temps t^ devient, au bout d'un temps dt^ un ellipsoïde.
Dans l'équation (-j), changeons le signe de dt] 3^, O)*, oz se rapportent alors à l'état final, Ss' à l'état initial; pour une petite sphère décrite autour du point x^ y^ -z, 85' est constant, et ré(|uation (^), entre ô^, 5^, 02, est celle d'un ellipsoïde dont le centre est au point
Il y a donc un Irièdre trirectangle ayanl. pour sotniuel le point I qui reste trirectangle pendant la déformation et donne les trois axesJ de l'ellipsoïde. Dans la déformation rapportée à ces trois axes, leg^ glissementi correspondants sont nnis. La déformation est déBnie paf J la direction de ces axes, et la grandeur des dilatations linéaires cor-«
respt
□dantes,
quo
appi
;ile dilatatic
s principales.
On appelle ces axes directions principales. Elles changent d'nitl point à l'autre du lluide et, en un même point, varient avec le temps.
2:j. Relations entre les forces et les vitesses rapportées au trièdre ' principal. — Nous veuijns de trouver deux groupes de trois plans.i principaux rectangulaires, l'un par rapport auquel les vitesses de-fl déformation se groupent symétriquement, l'autre par rapport auqueU les forces élastiques se groupent symétriquement.
D'autre part, pour un liquide dont l'équilibre est rigoureusemeol défini par les lois de l'hydrostatique, rien n'indique que les forces dê^ viscosité dépendent d'autre chose que des vitesses de déformation.!
Dans ces conditions les éléments de symétrie des forces élastique et des vitesses de déformation ne peuvent pas différer. Les Ueu, trièdres de plans principaux coïncident.
Prenons-les pour trièdres de références. Le Tahleau îles forces et] celui des vilesses de déformation se réduisent à
en appelaul x, y, z les axes et u. v, w les compos par rapport à ces axes.
11 résulte des expériences de Coulomi) que. poi lents, les relations sont linéaires.
mouvements I
en appelant p la pression isotrope indépendante des vitesses i déformation, mais fonction de la densité.
Les neuf coefficients spécifiques a,, . . ., yj, qui ne dépendent pl«»"^ des vitesses de déformation, ne peuvent pas être tous différents.
