CHAP. 11. — EQUATIONS DU MOUVEMENT LENT D UN FLUIDE VISQUEUX
D'abord, il n'y a, dans un liquide, aucune différence spécifique entre les trois directions principales; on a donc, par permutation circulaire,
«1=^2=73, Pi=T2=as, Ïi=a2=p3;
de même, il n'y a aucune différence spécifique entre les deux directions tangentielles sur une même face principale; donc
pi = Yi-
En conséquence il ne reste que deux coefficients spécifiques distincts; mettant en évidence la vitesse de dilatation cubique
nous écrirons
Ni = Xe-h •ifJLui — /?,
N2= X6 -h 2[JLVy — /?, N3= Xe-+- 9.\XW'^ — p.
24. Relations générales. — Le théorème du tétraèdre permet de passer aux forces qui agissent sur une face quelconque x(tmn)
Xa: = / Ni , Ya: = m Ni, Z^; = /i N3 ;
d'où, pour la composante normale,
N = /Xx-h/nYx-H/iZ;r= /2Ni-i-/n2N2-hAi»N8,
et pour la projection sur une autre direction /'m'/i', qui peut être tangente à la face si l'on a //'+ mm' -{- nn'= o,
T= rX^-h /n'Y.^-h/i'Z.^.= //'N,-+- /n/n' N2 -h Ai/i'Ns.
D'où
Ni = Xe -h 2(jL(/»ui-+- /n^Vy-t- /i^Wz) —p,
Ts = 9, fx ( //' ui -h mm' Vy -h nn' w^) ,
T,= 2 {!(//'' ui-+- mm'Yy-h nnTw'^),
Or, les formules de passage d'un trièdre trirectangle xyz à un autre xyz caractérisé par les cosinus Z/n/i, V m' n! ^ l" m" n\ donnent
u =/ u-i-mv-+-/iw,
V = Z' u -h m' V -H Al' w,
(V = Tu -+- m" Y -t- /i" w ;
3o LIVRE I. — GÉNÉRALITÉS.
et
dx du dj oz
A ^i'±^rn' - -h Al'-, dy àx^ 8y 8z
(^2 drjL àj dz
d'où les formules types
du j. , ^ , /
dy oz ^
De là résultent les expressions générales des forces pour un trièdre d'orientation arbitraire
i^T ^ ^ àu / dw dv \
N, = Xe + 2(.--/,, T.= ^(- + -j,
IV) ^N.= X6 + .,x--^, T.= ix(-+^j.
Tvr ^ A àw , / dv du \
25. Influence de la compressibilité. — Il semble au premier abord que, pour les liquides incompressibles, on doive poser
= 0, et effacer les termes en 9.
Mais si ce raisonnement était légitime on pourrait aussi bien dire que, dans un liquide incompressible, p ne variant pas, la pression en chaque point doit rester constante. Ce serait une erreur physique et mathématique.
Au point de vue physique, les liquides sont compressibles, mais ils le sont très peu, c'est-à-dire qu'une variation très faible de la densité produit une variation énorme de la pression. Ainsi, si l'on pose
/'{p) est énorme.
Là où p intervient directement, c'est-à-dire comme coefficient de l'accélération dans les équations de translation, les variations relatives de p sont tout à fait négligeables.
Dans l'équation de conservation de la matière, qui définirait les variations de p en fonction des vitesses si les vitesses étaient connues
igoureuseineul, on néglige également ces variatioas parce que, dans pippljcation aux liquides usuels, on ne (ii:ut connaîlre la distribution ntesses avec une précision suffisante (de l'ordre du millionième) tour en déduire la variation relative de p, même à loopour loo près.
Mais, dans l'évaluation de la pression, on ne peut oublier que "(p) est énorme, et que les variations minimes de p entraînent des rariations finies de p. Ne pouvant rattacher les variations àe p k wHes de p, trop petites, on doit donc regaiderp comme une fonction de 37, Y, 5, (, indépendante des vitesses, et tirer p de l'intégration des équations à quatre fonctions o, v, iv, p de x, y, s, t.
Si l'on a besoin de connaitrc les variations de p, on les obtiendra en ilivisunl par/'(p)les variations Ae p.
f^lte marche dans les approximations successives peut même être I3 seule applicables certains mouvements tumultueux des gaz, quelque
iiipressibles qu'ils soient.
Oe
s le cas de la viscosité, du fait que la vitesse de dil;
'fflion cubique est extrêmement petite dans les liquides, nous n'avons aucune raison de conclure que la pression normale isotrope corres- /">iidanie soit aussi très petite (et à la limite, nulle). Nous devons "ïulement en conclure que la dilatation cubique est mal déterminée pi* f les vitesses, puisque 6 est incomparablement plus petit que chacun "Ks trois termes donl il est la somme; que par conséquent un a avec "le très grande approximation
**- Cju'il faut regaider le terme (),&) comme une fonction de j:, y, :, t 4* «^détermineront les équations dynamiques. Mais, sous cette forme, "^ Ite fonction ne se distingue plus en rien de la pression générale p, 'i^ns laquelle elle se fond.
Si l'on veut francbir la dernière élapR, et p-emonter de la pression
la dilatation culi
nque, 1 equ:
> équation complète qui donne la près
laquelle i n moyenne
J et nous ne savons actuellement rien sur l'ordre de grandeur relatif ^^Hks deux, termes; rien ne nous autorise encore à effacer le second. ^^^U)a point de vue mathématique on admet la rigueur de la relation
3'2 LIVRK I. — GÉNÉRALITÉS.
qui constitue alors une liaison^ dont on doit tenir compte en formant les équations du mouvement; la force qui correspond à cette liaison est précisément la pression isotrope traitée comme fonction de x^ y, z, t.
La rigueur logique du raisonnement ne doit pas faire illusion au physicien, qui ne peut pas oublier que les liquides, ainsi traités comme incompressibles par les mathématiciens, sont pourtant dix fois plus compressibles que les solides, dont personne ne songe à négliger la compressibilité ! C'est que l'absence totale de rigidité des liquides permet des mouvements d'étendue finie sans changement de densité dont le rôle naturel est très important; les mouvements sonores dans lesquels la compressibilité du liquide intervient forment une classe séparée. En comprenant dans quel ordre les approximations doivent être obtenues, nous allons plus avant que par la méthode strictement mathématique.
Pour les gaz, Stokes a cru pouvoir admettre que la viscosité de compression est négligeable par rapporta la viscosité de déformation pure, ou que 3X -f- 2[jl est beaucoup plus petit que 2[jl; il a donc posé^ même pour les gaz,
3X -4- a(jL = o;
c'est à cela que correspond l'idée vulgaire qu'on se fait du frottement,, celle qu'on traduit inexactement en supposant qu*il se réduit à des forces tangentielles, mais dont l'expression correcte est la suivante : le frottement correspond aux glissements; aucun frottement ne prend naissance dans une dilatation isotrope, déformation qui n'est accompagnée d'aucun glissement.
26. Travail de la viscosité. — Fonction de dissipation. — Un parallélépipède élémentaire se déplace, tourne, et se déforme par suite du mouvement. Les centres des faces opposées, primitivement normales à j:, subissent des déplacements
u dt^ i> dt^ w dl et
u-^—dx\dt^ \v-\- — dx\dt^ lw^^dx]dt.
Le travail des forces
— Xa: dy dz, — ^xdy dz, — Z.^ dy dz
(\^ ^ i!^ rfj- j dj' d:. ( Y, -h ^ rfr\ dy dz. (z,, -4- — dT\ dy dz isL égal à
- VrT
- w\dxdy dzdt.
-\- des termes aégligeables d'ordre supérieur.
He même pour les autres faces.
l.e Iravail lulal ainsi oblenu ne se retrouve pas entièrement en travail contre les forces extérieures, ou en énergie cinétique ; ce qui reste,
après qu'on a évalué ce travail n c'est
au moyen des équations (I),
\ dx dy dz dt =^ Q dx dy dz dt ,
Zi-
G'eal, d'après le principe de TéqHivalence, la quantité de chaleur liée dans l'élément de volume. Remplaçons les Xj-, ..,, Zj, par leurs ^pressions (IV), il vient
|)reinier terme — pH est dil à la compression ( — 6)); le second et troisième représentent le travail de la viscosité, qui est perdu Ômme énergie proprement mécanique; leur ensemble a reçu de Ord RayleigK le nom de /onction de dissipation.
Celte expression nous permet de préciser le sens de l'opinion vul- !*>»■€, que le frottement est résistant. Il consomme toujours du travail ; * quantité de chaleur qu'il produit
t toujours positive ou nulle, jamais négative. Pour qu'il en soil ^Qsi, il faut évidemment que ij. soit positif, lorsque les glisse-
enta ne sont pas nuls; il faut aussi que 3)> + 2[i. soit positif ou nul, "»"sque la dilatation est isotrope. Ces conditions suffisent, car on y^ut alors mettre la fonction sous forme d'une somme de 6 carrés
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indépendants
On aperçoit ainsi, sous un autre point de vue, le caractère limite de l'hypothèse de Stokes; 3X 4- 2[J^ peut.à la rigueur être nul, jamais négatif.
La fonction <ï> est homogène et du deuxième degré ; on a
