X.r = Ni = — /> -+- , f Xjr = Ts
et
24» = (IVi-h/?)M;p-h...-HT3(a'^.-hPi).
On a aussi identiquement, en désignant par U, V, W d'autres vitesses, et par W la fonction correspondante analogue à <ï>,
La fonction <ï> peut être également exprimée au moyen des pressions obliques, car on a
en posant 3N = N< -h Nj H- N.,.
Il vient alors
On peut donner à la fonction de dissipation une forme qui fait apparaître les conditions à la paroi
* = (X -i- •2(ji)e«-i- 4(10)*— 4fjL(p'^tv; — p^w^-i-. . .),
en posant
20)1= Wy — Vzi •••» u)*= (of-i- a)|-|- a>|.
Un groupement convenable des termes transforme cette expression en
4>=(X-+-2[jl)6«-h 4Htaj2
, fd /u^-^ç^-hw^ \ à / \ à / \1
lAP, II. — ÉQtATIONS DU MOUVEMENT LEST D'uN LIQUIDE VISQUEUX. 35
En intégranl pour loul le liquide, on obtient fi j •^dxdyd*= f f C {'t.^'i\i.)^-'dxdydz
jfcn désignant par w[l^ ni,n) la direction de La normale à l'élément tf S,
yers l'intérieur du fluide.
Les intégrales superficielles sont nulles sur toutes les parois où la ntesse est nulle. La seconde des intégrales superficielles est nulle sur «utes les parois où la rotation est nulle, et plus généralement où la
ipormale à la surface est dans le plan de la vitesse et de la rotation.
27. ÉqaatioDS générales du m ouTement interne. — Nous pouvons ViaÎDlenant écrire les équations générales du mouvement des fluides pu portant les expressions des N, T (n° ^), dans les équations (I) au n' 17 :
de dfl /ou du
dp ,. dS ,, / àf du
dp ,. df> , ., /dw àw
' ôy
dv \ *" dz j'
Pour les mouvements isothermes des gaz :
/(p.T) = Ap;
pour les mouvements adiabatiques des gaz :
/(p,T) = Bp"..
En général, il reste à définir les variations de température, en tenant compte des échanges par conductibilité, obéissant aux lois de Kourier, et des productions de chaleur par le frottement lui-même. Mais, dans les conditions auxquelles s'appliquent nos équations, c'està dire quand les déformations sont lentes, la quantité de chaleur créée
par viscosité, fonction du deuxième degré des vitesses de déformation, est très petite, comme la chaleur échangée par conductibilité si les coefficients de conductibilité et de viscosité sont du même ordre de grandeur; il est alors légitime de la négliger dans l'équation calorimétrique. Cette relation d'ordre de grandeur est celle à laquelle on est conduit quand on attribue aux deux phénomènes la même origine, la diffusion du fluide en lui-même; elle est d'accord avec l'expérience pour les gaz; mais il n'en est pas de même pour les liquides, à en juger par le Tableau suivant, qui contient presque toutes les déterminations de conductibilité thermique de liquides, au voisinage de lo", et les valeurs correspondantes de la viscosité, le tout en unités C. G. S. Degré centigrade :
Conductibilité. Viscosité.
Acide acétique 0,000472 o,oi5o
Alcool mélhylique ... . 49^ 0,0078
»' élhylique 4^3 o,oi5o
» amylique 3^8 o,o65i
Sulfure de carbone .. . 343 o,oo36
Chloroforme 288 0,0064
Ether 3o3 0,0026
Glycérine 687 21
Huile d'olive 0,000 3g5 o,3
Aucune corrélation n'apparaît entre les deux propriétés.
Dans ce Volume la température du fluide sera ordinairement supposée uniforme et invariable, soit que les variations soient naturellement négligeables, soit qu'on les rende telles par une disposition convenable de l'expérience.
28. Le mouvement permanent lent est déterminé. — Considérons les mouvements lents, tels que tous les produits ww^, ..., uw'^^ ... soient négligeables.
Soient w, r, w les composantes de la vitesse qui satisfont aux équations et aux conditions à la surface limite. Soient U, V, Wdes vitesses^ supplémentaires arbitraires, nulles à la surface limite.
La fonction de dissipation pour le mouvement total est
>(0 4 e)î-K(jL[2(a-+-U)i2-+-...-t-(4-+-Pi;-t-u;-+-v';^)2H-...],
ou, d'après les notations et les remarques du n° 26,
CHAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LENT d'UN LIQUIDE VISQUEUX. 87
Cette dernière parenthèse est égale à
D'après les équations du mouvement lent, la seconde ligne est égale à
Supposons que les forces extérieures dérivent d'un potentiel uniforme 9? par unité de masse, comme la pesanteur,
cette seconde ligne peut s'écrire
Gela étant, formons la fonction de dissipation pour tout le volume occ lapé par le liquide, en nous rappelant que U, V, W sont supposés ûuls à la surface limite; il reste seulement
\ âx oy àz I
C>ans les mouvements lents, les variations de densité sont faibles et lécjuation de continuité se réduit à
le mouvement additionnel est soumis à la même restriction, et les
ternies ( U -p +. . . ) sont négligeables en facteur de ^.
Considérons un mouvement permanent et un mouvement additionnel qui conserve la permanence
^u ^ dv __ dw __
Ji '' ft ^ Ut ^ ^^ ~~ ^*
La fonction de dissipation se réduil à
F-hSF ^ 1 I f{f^-'V)dxdj'ds.
Or V est essenliellement positif. Donc, dans le mouvement modifié, | avec mêmes vitesses à la surface ei même distribution de densité, la i dissipation d'énergie est plus grande que dans le mouvement perma— I nent réel.
Cette proposition a été énoncée par HeJmhoItz (Abh., t. I, p. 2a3) pour les liquides.
Sous vitesses données à la surface, le mouvement permanent est { unique, puisqu' il correspond à laplus petite dissipation d'énergie.
Application. — 11 est quelquefois très difficile d'intégrei
léralement
les
En 11
idée g
:utie
I mouvement permanent; mais on peut pém
e de la dïstributioi
1 particulier on peut imaginer des distributions de vitesses continues, mais avec discontinuités des dérivées des vitesses, telles que la fonction 4' soit partout finie, qui représentent l'allure générale du mouvement, et satisfassent exactement à la distribution des vitesses le long de la paroi, et sur toute la surface limite du liquide.
La fonction de dissipation calculée au moyen de cette distribution imaginée des vitesses est toujours trop grande; elle donne une valeur approchée par excès du travail, et par conséquent des forces appli-
quées
X parties
nobilesde
irface lin
. Lorsque la distribution
a été imaginée judicieusement, l'excès peut n'être pas très grand; en verrons des exemples.
On peut utiliser pour le calcul l'expression transformée (26) mais en conservant les intégrales de surface le long de toutes les surfaces où les dérivées des vitesses imaginées sont discontinues.
â9. stabilité du mouTement permanent lent. — On a
(** d* àu'x '1^ ê , ,
et par la même transformation que plus haut
CH*P. II. — KOU*ir(lNS l>U MOUVEMENT LKNT DUN LlQUiDK VISOliBUS. Sg
Or, dans le mouvemeni lenl, on a
'^P+Z-Jt
^[('!ùp^p)it\ + (<S!^b)pt
Considérons seulement les mouvements variés dans lescjuels la vitesse de la surface limite du lluide reste la même que dans l'état ■permanent. On a alors
Supposons d'abord que le mouvement s'effectue sans variation de densité.
dx dy ds ;
le second membre est essentiellement négatif; l'énergie dissipée par seconde diminue constamment; elle tend donc sans alternatives vers sa valeur miniina. Le mouvement permanent lent est stable.
Cette propriété a été établie par Korteweg pour les liquides f /'A//. Mag., i883).
Dans le cas des gaz, si l'état variable est accompagné de perturbations de la densité, celle-ci est déterminée séparément par
o'i — i/i-t- ( 1 -+- 2 [i ) aO — p af = p — .
A Ap -H -
-r c,ir ^ r, ^i£ ^ .
qui comporte des oscillations amorties; le retour à l'état permanent ne se fait pas nécessairement sans alternatives; mais l'état permanent n'en est pas moins stable.
En effet, le potentiel des forces extérieures <£ contient une constante arbitraire, qu'on peut toujours prendre négative, assez grande
pour que 9 -{- b soit négatif clans tout le volume occupé par le fluide. L'équation (i) montre alors que
jJ^— f f f p^dxdydz— Ç f fp9Bdxdydz\
est constamment négatif. Les deux premiers termes représentent la chaleur dégagée dans tout le fluide, le troisième est l'accroissement d'énergie potentielle. La somme diminue constamment, et tend sans alternatives vers la valeur minima, correspondant au mouvement permanent; celui-ci est donc stable.
30. Propagation du son par ondes sphériques. — Appliquons immédiatement les équations générales à la propagation du son par ondes sphériques isotropes de faible amplitude. Soient P, po, T© la pression, la densité et la température d'équilibre; on a
et, par suite
et
en négligeant les termes du second ordre, avec
P ~ po ^ To
comme conséquence de la loi de Mariotte.
Enfin l'équation calorimétrique est exactement
dx* dy^ dz^
A— pe^-xe-2-+-jx[-2M:^2-h...4-(iv;.-ht'i)2-h...]^cpo^,
en appelant R la conductibilité, et c la chaleur spécifique sous volume constant.
Pour des ondes sphériques isotropes émanant de l'origine, la vitesse, purement radiale, ne dépend que de la distance r à l'origine, et de ^, ce qui permet de poser
do dcp 0*9 r / s-i
dx^ ày^ àz^ dr^ r dr
CHAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVKMENT LENT D'UN LIQUIDE VISQUEUX. 4l
et donne aux équations la forme
— â{p—P) ,. d d dcp
dp
KAT-PA^ + X(A<p)«+^[.(3y + ...-^4(^)V...] = opo§.
Si, dans cette dernière équation, nous négligeons la conductibilité et la viscosité, la compression est adiabatique
