X-+-'2[Jl .^, „ Py
^Ai(Ç'— m2) H ^-i^m = o;
po po *
d'où, en première approximation f — petit],
— i /«s = /i» ou — = 4 / — i ,
po /n V Po
et
'iPy^ X-I-2UL ^ X-|-2ULm' L r ^ i ^^ jj^j Ç »
po Po '-ipo ^
42 LIVRE T. — GENERALITES.
L'inlensité du son varie comme le carré de l'amplitude, c'est-à-d comme — ^; aux distances supérieures à t;. l'extinction par vîscosîfl e"^'^ devient plus importante que l'affaiblissement par rajonaeS ment (— )■
Mettons des nombres; on a pour l'air à o", en C.G.S,,
en appelant L la longueur d'onde du son.
D'où
lit, pour un son moyen (L^ loo""),
Avec la relation de Stokes J, + 2 [i devient égal à -' 2 [*, et 5 deviez 1,5 fois plus grand.
Il ne semble pas que l'observation vulgaire, ou même les remarque! faites au cours d'observations scientifiques, permettent de dirf l'affaiblissement par viscosité joue un rAle important dans la propagation sphérique, et si le coefficient ), -^au est beaucoup plus grand ou beaucoup plus petit que ajj., puisque le domaine du rayonnement presque pur (loi — 1 est de plusieurs dizaines de kilomètres, pour lej sons moyens, moindre pour les sons très aigus.
En tous cas, ce n'est pas sur la combinaison de Stokes (3). -f- 3[*jl qu'on serait renseigné, mais sur la combinaison )>-]-2a qui seulq intervient dans la propagation libre du son.
Des expériences précises paraissent indispensables.
coroiTiDHB A u moi.
31. Conditions exprimant que la paroi est étanclie. — Si est étanche, ce que nous supposerons, la vitesse relative du li*
MOL'VEMK\T LENT d'L'S LIQUIDE VISQI'BIIX. 4^
He la paroi ne peut élre que tangentielle; la vitesse normale relative t nulle.
Soit (ionc en un point rie la paroi ; U, V, W les composantes de la Iritesse de celle-ci ; u, c, iv les coiTiposantes de la vitesse du liquide ; , fi, Y les cosinus directeurs de la normale. On a
I) iH. -i-Jîv-i-Y«' =«U + ^V-F-fW.
12. ConditionB relatives au frottement à la paroi. — Deux cas ivenl se présenter :
pREMiFR CAS. — Il y a adhérencf complète. C'esl évidemment le ias des liquides qui mouillent. Alors la vitesse du fluide est égale à [elle de la paroi et l'on a
Deuxième cas. — Il y a glissement partiel du liquide sur la
troi. — Alors, pour un liquide et une paroi donnés, nous admet- Klrons qu'il existe un frottement proportionnel â leur vitesse relative T«l ayant même direction.
Appelons t) cette vitesse relative en un point de la paroi. Prenons mte point pour origine des coordonnées, pour axe des x la direction fde la vitesse t), et des s la normale vers l'intérieur du liquide.
la force de frottement exercée en ce point par le solide sur le li- ■<|ui(le est dirigée en sens inverse de la vitesse relative tf) du liquide.
Sa valeur par unité de surface peut donc s'eiprimer par
a désignant par k une constante spécifique. Le travail de frottement, liperriciel, perdu comme travail et converti en chaleur, est, par unité
' surface et par seconde, ^o*.
r Considérons alors une lame très mince de liquide conlîguë à la paroi J d'étendue dS.
l-l-a force de frottement exercée sur la face externe de celle lame
-tVdS.
»— a force exercée sur la face interne de cette lame par le reste du '"Imaide est
T.rfS.
Toiiles les autres forces étant proporlionnelle)
44 LIVRE I. — GENERALITES.
avoir séparément
ou
La vitesse relative normale ^ est nulle tout le long de la surface; on a donc
Cherchons à quelle distance de la paroi la vitesse relative tangentielle serait nulle; en supposant la variation de vitesse linéaire dans le voisinage de la paroi, on a
et l'équation (i) donne
d'où
dV)
-h Z-— , âz
dXD
= kV
La vitesse u deviendrait donc nulle à la profondeur — ^> située
dans la paroi si k est positif, c'est-à-dire si le frottement à la paroi est résistant, et dissipe réellement du travail sous forme de chaleur;
Donc : la vitesse le long de la paroi est la même que s'il y avait adhérence sur une paroi parallèle à la paroi donnée, et située à une
distance £ = t hors du liquide.
L'expérience permet-elle de mettre en évidence cette valeur ^ de la distance du plan d'adhérence à la paroi? Si l'on arrive à des valeurs de j plus petites que l'erreur qu'on peut commettre sur le repérage
précis de la position de la paroi, il est bien clair que cette valeur de Ç
est illusoire ; on n'aura pas à en tenir compte. C'est le cas de l'expérience des disques (Coulomb). Ce n'est guère que dans le cas de l'écoulement à travers des tubes capillaires qu'on peut obtenir une
valeur de j certainement supérieure aux erreurs d'expériences.
Les formules de transformation de coordonnées permettraient d'écrire l'équation de frottement superficiel pour une orientation quelconque de la paroi mobile; mais l'extrême petitesse de l'épaisseur
^^^■HP. II. — ÉOl'tTIONS DU MOI"
arldilionnelle s dai erreur appréciable (l'une paroi fictive
KST d'in LioriDE viaouEiix. 45
lous les cas connus permet de se borner sans cas plus simple de l'immolnliti' relative le long rallèle ii la paroi vraie à une profondeur - ^.
3;i. Limites d'adhéBion, — Telles sunl les seules suppositions précises faites jusqu'à présent au sujet des relations de contact entre le lit^uidr el le solide- Il y a pourtant une autre question importante qui se pose d'elle-m^me dans l'emploi des liuiles comme lubrëliants, oelle des conditions qui limitent l'adhésion du liquide au solide. En Korlogerie la réponse est simple, et ressort exclusivement de la capillarité {'); mais, dans la grosse mécanique, il en est tout autrement, el. l'on parle de lubréiiants qui ont du corps et des pressions /imites qui citassent le luhréfiant pour caractériser une propriété essentielle qui semble être distincte de la viscosité comme la ténacité ^st distincte de l'élasticité. Toutefois les indications des ingénieurs à <;« sujet restent si confuses que la propriété spécifique est encore t nrnnuue.
Il est certain t|uc le liquide peut cesser d'i^tre en contact avec la paroi, el s'en séparer en la laissant sèche, Lne goutte de mercure par eieinple peut rouler sur du verre: la séparation s'effectue alors nor- ■ iiitlenient. H n'est pas sûr qu'elle puisse glisser; pourtant il est peu nlilahle que le froltemenl sans glissement puisse croître sans Qîtes,
. défaut d'observations, quelles hjpolhèses provisoires peut-on e sujet?
I " 1.^ frottement avec adhérence est remplacé par le frottement Esc glissement au delà d'une certaine valeur fixe :
:tésiRnanl fa vitesse relative, tangente à la [la ■ Même loi, mais la limite /n est proportion fmaie de la pression :
assignant la vitesse relati
'i la composante
L'épaisseur additionnelle e (n" 32) n'est plus une constante; profondeur t à laquelle on peut imaginer une paroi fictive sans gli ment est alors égale à . ^"° ■> eslrémement grande au débul du glissement (»o petit) si /« n'est pas nul. Le glissement se produirait d'abord aux points où la variation -r- est la plus grande, c'est-à-dire aux courbures d'entrée et de sortie, et aux angles vifs de la paroi . Les
changements de régime seraient alors sous la dépendance étroite di orifices (L. II, Ch. IV).
Dans tous les cas, la pression normale est celle que donne 1' gration des équations du mouvement interne.
31. Surface libre. — Lorsqu'il y a une surface libre, on adi d'ordinaire avec Stokes que le frotLemenl est nul à la surface (i négligeant l'entraînement du gaz par adhérence) et que tes équations de viscosité sont valables jusqu'à la surface. Toutefois on oublie généralement de les écrire et d'en discuter l'inQuence.
Si l'axe des a: est normal à la surface, ces équations sont
— D-)-ie-(-2fi— =— D„,,
/du àv\
3o. Viscosité superflcielle. — A la suite d'observations d'ailleui discutables, sur les bulles de savon, Plateau a élé conduit à suppoi l'existence possible d'une viscosité beaucoup plus grande de la coud superficielle que de l'intérieur du liquide. Cette propriété peut êl une conséquence naturelle de l'existence des coucbes de passage qi révèle la tension superticielle.
Traduisons-la en formules, en supposant que les actions sont des fonctions linéaires de la vitesse de déformation de l'élément de surface ; si l'élément de surface dy dz fait partie de la surface libre, le*forces qui s'exercent sur les éléments dx dr, dx ds contiennent de& termes proportionnels aux longueurs des côtés dy, dz, auxquels le^ conditions d'isotropie autour de la normale ox imposent la fc
dx dx :
\ày
'ày'
' ày}'
, dv dw \
;AP, II. — ÉIJUATIONS Dl! HOIJVEIIENT LENT d'iîN LIQUIDE VIHQUEDX. 4?
Les composantes normales à la surface sont nulles, car leur couple ■lutour de oy et autour de os doit être nul séparément.
A ces forces correspond une conversion de travail mécanique en ctaleur proportionnelle à l'aire, définie par la fonction de dissipation siiperlicielle
Comme il n'y a prati(|ucment pas de terme d'inertie proportionnel
I lu surface, la variation de densité étant au-dessous de tout ce qu'on
po mesurer, l'effet de ces forces superficielles doit équilibrer les
I actions qui proviennent de la profondeur sur l'élément de surface
pfe dy :
dar ày da /
la surface est courbe,
îjuuiera le terme du i
^\dy^ àx)'^^ ''^^'^^ ày\à^'^ àz ) "^ ^' ^ ày-^ '^ âz' ) — "' /du dw\ . à / àv^ dw\ / d'à- à^\
tablei
nt plus compliquées qui
i précé-
Ces équations s P'emes (n" 34).
S'il y a une couche de passage ayant sa viscosité propre à Is sur- *Ce libre, a fortiori doit-il j en avoir une au contact d'un solide; "nais elle ne peut entrer en jeu que s'il j a glissement relatif; les équations à la surface d'un solide isotrope seraient alors
t désignant par o, f , vu, la vitesse relative du liquide par rapport à ^ paroi et prenant l'axe Oy suivant la vitesse c, positive, au centre ' l'élément de surface dx, dy, où l'on suppose w nui. La condition d'absence de glissement serait alors
de ,,, ,, à làv d<.v\ ,/dU- d'^\^,
^T.^O.,^^^^d^(d^^d^)'^^'(djr>^^)'-f'-
36. Rigidité du liquide. — Quant au corps du lubréfiant, il semble
i^HMi
que cette propriété doit se rattacher à la rigidité étudiée par Schwedoff (*), et ne pas appartenir aux vrais liquides.
La pression limite qui chasse le lubréfiant ne s'exerce jamais sur une couche épaisse; mais, dans le cas où les parois ont acquis le poli spéculaire, et où les surfaces sont bien parallèles, la couche peut devenir très mince, et c'est alors la question de la stabilité des couches très minces, immobiles ou en mouvement, qu'on doit se poser.
Mettons hors de cause la capillarité qui ne peut jouer aucun rôle quand il s'agit de la grosse mécanique, et de tourillons qui portent des centaines de kilogrammes. Le lubréfiant est soumis à deux actions rectangulaires : la pression qui tend à le chasser parallèlement à Taxe de rotation, à travers l'espace annulaire, et le couple de rotation qui le fait circuler autour du tourillon. Dans ce dernier mouvement, la déformation considérable et constamment croissante ne met en jeu d'une manière appréciable que la viscosité; mais, si le lubréfiant est une de ces huiles analogues aux solutions de gélatine, telles que l'huile d'olive, l'huile de ricin, il est capable de supporter des efforts sans se rompre, pourvu que la déformation correspondante reste petite; c'est ce qui arrive dans la direction de l'axe. Le même lubréfiant peut se comporter au même moment comme fluide dans le sens des grandes déformations, et comme rigide dans un sens perpendiculaire, si l'on a soin de limiter les efforts et les déformations dans ce sens.
Je reviendrai sur ce point dans le dernier Chapitre de ce Volume*
(*) Congrès de Physique, t. I, 1900, p. 478.
