CHAPITRE III. — MOUVEMENT RECTILIGNE A UNE DIMENSION. 5l

S'il y a un pian fixe à profondeur h avec adhérence, on a

A cos hi/^ — hBsin/il/^ =o, d'où

B = — Acolai

B peut donc prendre toutes les valeurs comprises entre dz oo.

B est nul lorsque l'épaisseur h comprend un nombre impair de quarts de longueurs d'onde

Le frottement est alors nul sur le plan mobile; mais, sur le plan fixe, il est égal à

e -^' v/fJLpO A sin ( A: -h - 1 TU,

entraînant ce plan dans le sens du mouvement du plan mobile, ou en sens opposé, suivant que k est pair ou impair.

B est infini lorsque l'épaisseur h comprend un nombre entier de <lemi-longueurs d'onde

Le frottement est alors infini sur le plan mobile et sur le pian fixe, in^is son signe est indéterminé.

Pour les épaisseurs intermédiaires, B est fini différent de zéro.

Sur le pian mobile, le frottement Be"^^y^[jLp9 est accélérateur si B est positif, retardateur dans le cas contraire. Sur le pian fixe,

ie frottement -h Ae~^^y/[xp9 isinAi/^ n'est jamais nui; il a une

valeur absolue minimum Ae~^^v/[Jip9; mais il est accélérateur lorsque le sinus est positif,

OU retardateur dans le cas contraire,

Les frottements accélérateurs sur le plan mobile, retardateurs sur le plan fixe, pour des épaisseurs d'ailleurs différentes, mais en nombre infini, sont tout l'opposé de ce qu'on appelle d'ordinaire des frottements.

L'origine de ces résultats d'apparence paradoxale est facile à trouver, dans ce fait que le mouvement exponentiel a eu une amplitude infinie à une époque infiniment reculée dans le passé, et que le taux d'amortissement spontané du mouvement initial peut différer, en plus ou en moins, du taux d'amortissement imposé par le mouvement du plan mobile, et cela inégalement aux diverses profondeurs : d'où toutes sortes de variétés de cheminement de l'énergie et des échanges avec les parois.

Pour chaque épaisseur A, en modifiant le liquide de manière à changer [jl, on passera périodiquement par les mêmes alternatives,

puisque tout dépend de Ai / — ; en particulier, un accroissement de

la viscosité peut donner naissance à un frottement accélérateur croissant; ou, inversement, une diminution de la viscosité peut produire un accroissement considérable de la résistance.

Ces phénomènes, aussi singuliers que certains, n'ont fait l'objet d'aucune étude expérimentale; mais il me paraît possible que certaines instabilités observées, et peut-être aussi la production du régime hydraulique doivent y être rattachées ; il faut remarquer en particulier l'indétermination du signe du frottement (accélérateur ou résistant) quand il devient infini, tel que la variation de viscosité due à la chaleur même que produit le frottement suffise à provoquer le changement de signe.

40. Mouvement exponentiel croissant U = Ae^^ — La solution est d'un caractère tout différent

w = e^M A Ch z Ta = e^t /h^ ( a Sh 2 i/^ -H B Gh ^ i/?^ \ , en désignant par Ch, Sh les cosinus et sinus hyperboliques.

cBAPiTRB m.

- H0UV£1IK>*T RBCTILIGNB A ITKE

Il j a une solution déLerminée B =: — A pour le pas où le liquide I en repus à dislance infinie du plan mobile du côté positif; le frolbetiient sur le plan mobile est toujours retardateur — - Ae^' v'i^?^' S'il y a un plan fixe à distance h avec adhérence, on a

B=— A Cl

'ha-

J est toujours de signe contraire à A, et d'autant plus grand que jrépaisseur h pst plus petite; le frottement sur le pian mobile, toujours retardateur Be^'v/pipS, est d'autant plus grand que l'épaisseur Lest moindre. Le frottement sur le plan fise toujours accélérateur

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b vane dans li