CHAPITRE III. — MOUVEMENT RECTILIGNE A UNE DIMENSION
débit total par unité de largeur y est
- C^ j \ dp ih^ I := / u dz = -=- :
ce débit est proportionnel à la chute de pression par unité de longueur, au cube de l'épaisseur 2 A, et en raison inverse delà viscosité. Avec glissements égaux aux deux parois
j, du
- du
h\àp^
i\i. fjàx
dp f'ih^ ih^
da: \ 3 [x /
le glissement se traduit par la présence d'un terme en A^, inversement proportionnel au coefficient de frottement à la paroi.
44. États lentement Tariables. — -~ peut être une fonction quel-
conque de t. Lorsque la variation de -p est lente en fonction du temps, on peut adopter approximativement la même solution
du
pourvu que le terme p-rr» tiré de là, soit négligeable par rapport
^ d£ • ^^^^ P \T^ ~"f)liî ïi^gligeable devant J ou, en prenant la plus grande valeur du premier terme (2 = 0), et adoptant une approximation du millième :
dt \dx)
dp dx
<io
pifh^-^'ili-h)
Cela donne une marge d'autant plus grande que la densité du "quide est moindre, que la viscosité est plus grande et que l'épaisseur z^ii est plus petite.
45. Variation exponentielle -^ =T3e-^^ sans glissement. — L'intégrale est
avec les conditions d'adhérence
u = e-^' ( -^ H- A C0S2I /£ — h B sin-si/^
pe
qui donnent, en général,
^ -Xcoshi/^ =t Bsin/tl/^ = o,
cos
et exceptionnellement B arbitraire lorsque
avec A = ih — ;-
pe
suivant la parité de A*. Ainsi il j a des valeurs de 0, en nombre infini pour chaque épaisseur ?. A, données par
qui laissent indéterminée Tamplitude B du terme impair en 5; en d'autres termes, l'état initial, uniforme en x, impair en :?, se résout en une infinité de mouvements simples, amortis, dont les taux d'amortissement 9| sont donnés par l'équation ci-dessus. Une circulation de ce genre se produit dans le niveau à bulle d'air.
En outre, il y a une infinité de valeurs de 6, données par
TZt(k-^-Y
fi — f^
qui annulent les cosinus, et rendent A infini (signe indéterminé), lorsque rs est fini. Il j a donc une infinité de valeurs de l'amortissement qui ne sont compatibles qu'avec une circulation très intense par couches alternatives inverses superposées.
Ici, comme dans certains exemples précédents, l'existence de [x sous un cosinus peut faire croître l'amplitude des mouvements, en même temps que la viscosité. Ces phénomènes peuvent se produire
CHAPITRK III. — MOUVEMENT RECTILIGNE A UNE DIMENSION. Sq
pendant l'établissement exponentiel de l'écoulement permanent lorsque le tube n'est pas très étroit.
16. Variation exponentielle croissante^ =me^^ sans glissement. — L'intégrale est
Gh U
sans aucune ambiguïté.
47. Variation périodique -p =TiTsinô^ sans glissement. — L'intégrale est
cos8# — -h A Ch(zz) cosx>5 -i-A'Sh(TÂ;)sinxz -+- B Sh(T.3) coszz -f- B' Ch(zz)s\niz
— A Sh(zz)sïn{zz) -^ X' Ch(xz) cosxz
— B Gh(T<3) sin(T^) -h- B' Sh(T:^) coszz 1
sine^
avec
^ -i-XCh(zh)cos(zh)-i- A'Sh(zh) sin{zh) = o,
pe
et
— A Sh(zh) sm{xh) -h A'Ch{zh) cos(tA) = o,
BSh(zh)cos{xh)-^-B'Ch(zh) s\n(zh) = o, — BChizh) sin(T/i)-hB'Sh(x/i)cos(TA) = o,
B et B' sont toujours nuls ; et Fon a
TÏI
A A' pO
Ch{zh)coszh Sh{zh)s'inzh cos^zh -h Sh'^(zh)
Si tA est grand, A et \! sont beaucoup plus petits que -r; mais les produits ACh(T5), A'Sh(T5) prennent auprès des plans fixes une valeur de même ordre que -^ • Les valeurs de A et A' sont alternativement positives et négatives, suivant les valeurs croissantes de tA.
11 n'y a pas d'indéterminations ni de valeurs infinies dans ce cas.
Les exemples qui précèdent suffisent à nous donner une idée de la
6o LIVRE I. — GÉNÉRALITÉS.
variété des phénomènes possibles. Qualitativement, les résultats peuvent évidemment être appliqués à des mouvement réalisables, comme celui du liquide compris entre deux cylindres concentriques, ou même do Técoulement à travers un tube capillaire. L'influence de la loi de variation exponentielle ou périodique en fonction du temps est évidemment de même ordre, bien que la discussion complète se présente comme plus compliquée.
