I. - PLANS ET CTUNDRES MOBILES

48. Problèmes étudiés. — C'est au même point de vue des applications qualitatives, et même quantitatives, comme corrections, que flous allons traiter quelques autres problèmes, où interviennent les l>orcis des plans mobiles.

Supposons encore la vitesse u indépendante de x^ mais fonction de j^ et ^, et les vitesses (^ et «^ nulles, p est alors indépendant de y et de z et linéaire en x] nous nous occuperons seulement des pro-

Wèrmes où -^ est nul. On a alors

ày

d^u\ du di

^^^s conditions sont applicables aux mouvements de cylindres quel- ^^iXques suivant leurs génératrices, parallèles à Oa?.

-^%^ouvemenls permanents, — La vitesse u satisfait à l'équation du P^t.^ntiel cylindrique

^"^^c la condition m = U, constante, sur tout le contour de la section ^^oiie de chaque cylindre; ce sont les conditions auxquelles est sou- '^^is le potentiel électrique autour de cylindres conducteurs quelconques; toutes les solutions de ce genre obtenues en électricité sont

applicables ici. La densité électrique -r— t-- a pour correspondante

^^1 la force tangentielle \i---f En sorte que la résistance tangentielle totale par unité de longueur est égale à — 4^1^M, en appelant M la

charge totale du cylindre; elle est reliée à toutes les vitesses de tous les cylindres, comme M aux potentiels, par une relation linéaire dont les coefficients sont égaux aux capacités C multipliées par — 4'^^^*- Quelques exemples utiles pour la suite seront seuls traités ici.

49. Méthode analytique. — On sait que l'intégrale générale de

cette équation est

u = partie réelle àe f{y -\- zi)j

f étant une fonction entièrement arbitraire qui peut contenir des constantes complexes a -h hi en nombre quelconque. Les courbes définies par

p = coeff. de i dans f{y-\- zi)

sont orthogonales aux courbes a, et l'on établit facilement que le long d'un élément d'arc s^ s -\- ds d'une courbe u = const., on a

--- ds = dv,

n étant la normale du côté des u croissants, et s l'arc croissant avec i^. Il arrive quelquefois que l'on ait intérêt, pour la simplicité des formules, à conserver une variable auxiliaire en évidence

M -h Pt = cp(a -h ^t), y -h zi = ^(oL-h ^i)^

et l'on a toujours

—' ds = dv, on

Le frottement dF par unité de longueur de la bande dont la largeur est ds est donc exprimé très simplement par

dF = ij.dv et, le long de la bande comprise entre Si et .v2î par

50. Cylindre circulaire de rayon a se mouvant suivant sa long^ueur

M = U -h A loff -•

— Même difficulté que pour le plan indéfini lorsque le liquide s'étend indéfiniment; le seul mouvement permanent qui laisse la vitesse finie