I. — TBAVAnX ANTÉBrEUBS à CEUX DE COULOMB

1. La résistance de l'eau et de l'air avant Newton. — \vanl Gii-

filée, tous les savanls de la Renaissance qui s'occupaient de baliâtiijue

Gvaient remarqué la forme singulière de la trajectoire des projectiles,

■'abord recliligne, puis recourbée vers le bas pour devenir rapide-

uenl presque verticale; ils distinguaient ces trois parties, sans pres-

téntir les trois causes : vitesse initiale, pesanteur, ri^sistauce de l'air,

Pont elles rtWèlent l'existence.

, C'est Galilée qui comprit le premier que les lois de la chute des

Kirps deviendraient simples si l'un pouvait éviter l'influence de t'air,

rdonl l'élude ne devait venir {lu'en second lieu. \ ers la lin de son

Dialogue I (i638), l'un des interlocuteurs, Salviati (*), parlant de la résistance de Teau, ajoute : « l'air même, quoique très mobile, réduit la vitesse du corps qui tombe, même très lourd, comme nous pouvons nous en assurer par l'expérience suivante : du haut d'une tour très haute, tirons un coup d'arquebuse vers le bas; la balle pénétrera moins dans le sol que si nous déchargions l'arquebuse à 4 ou 6 brasses au-dessus du sol ; signe évident que la vitesse de la balle, lancée du haut de la tour, a constamment diminué dans sa descente à travers l'air. . . ».

L'expérience, que Galilée n'avait pas faite, a été exécutée par les Académiciens del Cimento (2), qui ont trouvé un résultat conforme aux prévisions de Galilée, en mesurant, au lieu de la pénétration de la balle dans le sol, le diamètre de l'empreinte laissée sur une plaque de tôle (3).

Dès i65o, Riccioli, étudiant la chute de sphères de substances différentes dans l'air d'une hauteur de 280 pieds, et aussi dans l'eau, avait reconnu que le ralentissement est d'autant plus marqué que le corps qui tombe a un moindre poids spécifique et que le milieu est plus dense.

Le premier énoncé d'une loi du mouvement retardé par la résistance de l'air a été donné par Mariotte à la fin de son Traité de la percussion et du choc des corps (3® édit., 1679). Après avoir établi, par des raisonnements acceptables, l'existence d'une vitesse limite proportionnelle à la racine carrée du poids du corps, en raison inverse du diamètre, pour des corps semblables tombant dans l'air (p. 99- 107), Mariotte aborde le problème beaucoup plus difficile du mouvement varié (p. 107). Bien qu'il ait reconnu que le poids soutenu par un jet d'eau est proportionnel au carré de la vitesse du jet (2® Partie, Prop. IX, 1^*^ conséq., p. 78) et employé cette loi pour la recherche de la vitesse limite, Mariotte suppose, sans donner aucune explication et presque sans s'en apercevoir, la résistance proportionnelle à la vitesse : « Suivant la doctrine de Galilée, la vitesse acquise à la fin de la deuxième seconde dans le vuide doit être double de celle qui est acquise à la fin de la première, etc. ; la résistance de l'air sera double à la fin de la deuxième seconde, mais elle ne sera que simple

(*) Œuvres de Galilée, édit. 1718, l. II, p. 637. Florence.

(^) Saggi Chap. XII, 1657-1667.

(^) A rapprocher de l'emploi des crushers de cuivre ou de plomb dans les études modernes de balistique.

p son commencemeaL el plie augiiieatera par degrés égaux h (p. lo8) I il en déduit, par un raisonnement assez peu satisfaisant, un mode } calcul des espaces parcourus jusqu'à la lin de la n'"'"' seconde, qui ut à l'emploi de la formule

hridemmffut fausse, car elle donne une vitesse juaximum, mais non pe vitesse limite, el, en outre, elle fait jouer un rôle particulier à la ■emière seconde.

Cette formule a été contrôlée par des expériences elFecluées dans ii le boïau vuide de l'escalier à vis de la cave de l'Observatoire de Paris », Hè la manière suivante (p. i i3-i i6) : L'observateur tient entre le louce el l'index la boule d'un pendule à i seconde, et entre le même ibouGe el le médius la boule qui doit tomber; toutes deux sont abunionnées simultanément en écartant les doigts; on compte les battements du pendule jusqu'à ce qu'on entende le choc contre le pavé, me la chute est de ifio pieds et demi, on retranche j de se- Onde ponr la propagation du son. Mariolle a employé des boules de Homb, de cire, de liège, de différents diamètres, el trouvé une conknlauce suffi.sanle des expériences avec la loi supposée. I Oanx toutes ces expériences la vitesse est grande, elle atteint près i So" par seconde à la fin de la chute |)our le plomb; le résultat ique doue de ne pas s'appliquer au mouvement beaucoup plus lent > pendules, qui, eus aussi, subissent une résistance qui diminue mmplitude de leurs oscillations, sans changer sensiblement la pétode, fort heureusement.

F 2. Newton. — Une quarantaine d'années plus tard, la question fut Eprise par Newton, qui y porta toute la clarté dont son merveilleux

a fourni tant d'exemples.

t La Section VI des Principes de Philosophie naturelle (') débute

F l'élude théorique du mouvement du pendule simple dans le vide,

l dans un milieu faiblement résistant, suivant des lois diverses ; dans

ifaaque cas, Newton calcule le chaugeiiienl de période et la perte

a'amplîlude (p. 373-284). Cela fait, il décrit ses expériences. Un

mdule formé d'un tîl de lu pieds et demi de longueur, auquel est

Upendue une sphère de bois d'environ 7 pouces de diamètre, oscille

(') PhitoifoplUa

>alis Princî/jia

a {lin.

pouces

Ui a

: 656 de

pouce

devant une règle divisée. Partant d'une amplitude déterminée «o? on compte le nombre d'oscillations n nécessaire pour que l'amplitude soit réduite à ^ «o* Voici l'une des séries citées (p. 286) :

n. d'où

Pour les grandes amplitudes initiales a< — «o est sensiblement proportionnel à aj, mais aux petites amplitudes la perte «i — «o est plus grande qu'il ne résulterait de là. La théorie précédemment développée permet à Newton de conclure que la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse quand la vitesse est grande, et de calculer complètement la loi de la résistance à toutes les vitesses. Voici les nombres que Newton tire de l'expérience citée plus haut :

Résistance 770,000091 6 V-h yfo, 001 0847V2 -h 0,0029558V*

Poids de la boule longueur du pendule

Plusieurs autres expériences conduisent à des résultats analogues. En particulier, la boule de bois subit une résistance dont le terme en V^ est 7^ fois celui de la boule de plomb, tandis que le rapport des carrés des diamètres est 11 -j-l; Newton, ayant été conduit par sa théorie à regarder la résistance due à l'inertie du fluide comme proportionnelle au carré des diamètres, admet que l'écart entre •- ^ et 1 1 [g provient de la résistance due au fil qui serait ainsi comparable au tiers de celle due à la boule de plomb, et il s'en assure en refaisant l'essai avec une très grosse boule de bois (19 pouces), de manière à réduire l'importance de la résistance du fil.

La théorie ayant indiqué que le terme en V- dans la résistance est proportionnel à la densité du fluide. Newton fait de nouvelles expériences, dans lesquelles la boule du pendule oscille dans une auge pleine d'eau ; il trouve (p. 289) que la résistance éprouvée dans l'eau est ^ fois celle due à l'air, et admet que, si le fil aussi avait été plongé dans l'eau, le rapport aurait été 800 ou 900, c'est-à-dire celui des densités de l'air et de l'eau, à peu de chose près; car, ajoute-t-il, « fluida tenaciora, pari densitate, procul dubio, magis résistant quam liquidiora, ut oleum, frigidum quam calidum, calidum quam aqua

ivialis, aqua quam spiiitus vini, etc. «; c'est seulement jjour les iiides qui coulent bien, qui conservent longtemps leur monvemenl, mine l'eaii, l'iiir, i'esprtl-de-vin, la térébenthine, l'huile rectîliée, rcure, les métaux fondus, que la proportionnalité de la résis-

nce à la densité est esucte ( p. 29 i-s^a ).

Ï-Dans ce passage. Newton caractérise cl

BCte de la densité, à laquelle, sans auc

ement une propriété disdoute, se rapportent les

cune considération tliéo-

vmes en V et V- dont il n'a justifié par aucui Bue l'introduction dans sa formule.

■ Dans ces expériences, peu exactes, car t'auge est trop étroite et Iule la petite boule subit une résistance proportionnelle à 'V' aux jsndes vitesses, cette résistance proportionnelle à la surface caractise ractîon d'un milieu extérieur à la boule; mais, si un milieu

Pélher du vide) pénétrait tous les corps, il exercerait une résistance fférente sur un ballon vide et sur un ballon plein. Newton fait l'ex-

Érience, ne trouve pas de différence certaine et conclut que la résiabice du vide est iié);ligeable.

iDans la Section suivante ( VII, p. 2y4 )i Newton étudie plus parli-

plièrement la chute des corps; il établit d'abord, par des raison-

^nients insuflïsanls, une formule complète de la résistance due à inertie du Uuide déplacé, et la loi de cluite du corps si cette résisince agit seule. Et il spécifie (p. 3i8) que, si la résistance observée t supérieure à la résistance calculée, l'excès est la résistance due à Jj^lasticilé du fluide, à sa lénacité, ou au frotlemenl de ses par- . Il termine par la description détaillée et le calcul numérique expériences sur la chute dans l'eau, faites au laboratoire, et sur la

pute à l'air libre, exécutées dans l'église Saint-Paul, de Londres, en

Dès 1699, .\mnntons avait montré par expérience que le frottement

( solides est indépendant de la vitesse et de la surface de contact,

I proportionnel à la pression. Daniel BernouUi, reprenant en i^Bo

■discussion numérique des expériences de Newton sur les pendules, pésile pas à admettre que la résistance supplémentaire, à ajouter à ■Je qui provient de l'inertie du lluîde, est constante « comme d'hawde (') n, c'esl-à-dire comme lui-même l'avait supposé dans La tième Partie de sa Dissertation sur le mouvement des solides dans K fluides ('■'), sans en donner des raisons satisfaisantes; la résistance

6 LIVRE I. — GENERALITES.

totale serait alors A.V^ + B. Mais comme cette formule représente mal les expériences de Newton, il paraît porté à suspecter la précision des expériences, plutôt que la légitimité de son propre aperçu hypothétique.

3. S'GraTesande (^). — Jusqu'ici la résistance due à l'inertie du fluide est prédominante; il n'en est déjà plus ainsi dans les expériences de S'Gravesande.

Pour traverser le fluide, le corps doit surmonter la cohésion, dit-il (Liber III, Pars IV : De corporibus motis in fluidis, Ch. XV : De resistentia quant paliuntur corpora per fiuida mota; t. I, p. 027). C'est quelque chose d'analogue à la production de cavités dans l'argile, et des expériences ont appris à S'Gravesande que la résistance est proportionnelle au volume refoulé (p. 233). Cette résistance doit donc être proportionnelle à la vitesse. La propriété spécifique est bien dégagée de l'influence de l'inertie, proportionnelle au carré de la vitesse, variable avec la forme de la proue à égalité de section.

Ces expériences eff'ectuées sous des vitesses relatives assez faibles, par une bonne méthode de pesées, sont bien représentées par la formule à deux termes aV^-f-èV, que S'Gravesande a tirée de ses considérations théoriques, comme on en peut juger par l'exemple suivant :

Vitesses

Résistances observées 5o i25 260 4oo

» calculées 4o 120 240 4^0

Cette loi est appliquée dans le Chapitre suivant au mouvement des pendules et contrôlée par les pertes d'amplitude dans l'air et dans l'eau (2).

(^) Première éHilion. 1719; quatrième édition, 1748.

(^) On pourra voir: Poggendorf, Histoire de la Physique, — Montucla, Histoire des Mathématiques, t. Il, p. 4^5-465; t. III, p. 667-678, 679-690, 737-742.

Les indications historiques de Coulomb (§2, Mém. 1801) sont fausses. Par suite d'une lecture trop rapide et incomplète des textes, il a confondu le terme constant de frottement, proposé par Bernoulli, avec les corrections de poussée du fluide, constantes aussi, de Newton et de S'Gravesande.

rtoo

- IXPEKIENCES DB COOLOHB.

qu'à litre eila dyna-

\. Premier Mémoire (1781J I I ' ). Mesure de l'adhérence d'un liquide 1 solide. ^ Ce Mémoire célèbre est surtout consacré à l'élude de i torsion des lits fins en vue de la ronstruction de (iyn rès délicats. La mesure de l'adhérence n'y est traitée 1 l'exeinple, pour montrer la petitesse des fore nomètres peuvent mesurer avec exactitude.

Le Mémoire est partagé en deus sections.

Dans la première, Coulomb démontre que le moment des forces de

brsÎDn est proportionnel à l'ungle de torsion quand les amplitudes

(ont très faibles. 11 applique celle théorie et les résultats de Texpé-

pence à la construction d'une « Balance pour mesurer le frottement

pes fluides contre les solides » et annonce ses futures expériences

r les attractions et répulsions électriques ou magnétiques.

Dans la seconde section, Coulomb cherche « par l'i

K>mmenl la force élastique de torsion est modiHée dans 1

^cillations d et annonce qu'il se servira des résultats obtei

r les lois de la cohérence et de l'élasticité des

B tous les corps solides »

xpérience

s grandes us « pour

l'adhérence

Comme on place dans ce Mémoire. Et. si Coulomb choisit cet exemple poi illustrer la théorie de la torsion, c'est que la quantité qu'il se proposait de mesurer est extrêmement petite et que sa mes i toute autre méthode.

Précisons ce que Coulojnb enleiid par l'adhéi Olide.

Quand un coi'ps se meut dans un lluide, trois ■ lour résister au mouvement :

' L'entraînement du fluide par le corps en mouvemen lésisle par l'efl'et de son infitic.

n occupe qu une petite

3 précise échappe Lce du liquide au ises interviennent

de

a" \Jadkérence du liquide au solide

obile.

n le frotte-

hent du liquide contre le solide ;

3' La viscosité ou frottement interne du fluide, ce que Coulomb tfkpelait la cohérence du fluide, c'est-à-dire l'adhérence des particules Inides entre elles.

L (I) Mémoires relatifs à la P/iysigue, publiés , 86. - Hiitoire de f Académie, 17SI, p. .

La premii^re et la troisième cause dépendent de la vilesse, la seconde paraît en être indépendante et se Iraduit par le tenue eonstanld de la formule de Newton dans l'espression de la résistance. Si donC-J la vilessR tend vers zéro, l'adhérence subsiste à peu près seule; niaial la constante d, qui comprend aussi les frottements solides de l'appaH reil de mesure, est si faillie, avec le dispositif de Coulomb, <jai l'adhéreuce ne devient apprériiible qu'aux très petites vitesses.

L'appareil établi par Coulomb, pour la mesure de l'adbérence, estl représeiilé dans la ligure i. 11 se compose d'un cylindre A de i

ou de plomb très lourd, suspendu par un fil de cuivre à l'intérieur I d'un vase V trois fois plus large el rempli du lluîde à étudier. An 1 cylindre qui émerge partiellement est lise un index B qui se déplai au-dessus d'un cercle divisé C placé sur le vase.

On fait osciller le cylindre autour de son axe sans le déranger de I sa position verticale et l'on suit la maiche de l'index.

Dans une expérience que Coulomb rapporte tout au long, le cylindre était en plomb, pesait i""', et avait ly lignes de diamètre sur 36 lignes de hauteur.

Le cercle C avait 44 lignes de diamctrc. Après avoir rais le cylindri en mouvement, il attendit, avant de commencer les observations, qufl les oscillations n'eussent plus qu'une amplitude d'environ 3"5f s'aidanl alors d'une loupe, Cnulomli put compter i4 osclilalions avant^

bue le cylindre eill atteint l'immoLiiliUî complèie. Supposons que dans • nscillalions aussi lentes, les termes qtii dépeDdenl de la vitesse iJeviennent négligeables et que l'efiel de l'adhérence devienne prépondérant; s'il est bien constant, l'amplitude doit, diminuer d'une quantilé fixe à chaque oscillation. Conlomb remarquant qu'il faut i4 oscillations [tour amener à zéro une amplitude primitivement égale à 3° 55' »n conclut la diminution d'amplitude pour une oscillation : -^ de i"55', c'est-ù-dire évaluant les arcs en parties du rayon

iT('"£)^

■ î ^ tio/ 180 C

wC désignant la rcinstante de torsion du ili et R le moment de l'adhéjreace cliercht'e par rapport à l'axe de rotation.

La constante de torsion C du fil était déduite d'expériences de lorion sur un fil de nature identique, mais plus court, en admettant la Jproporlionnalité deCà l'inverse de la longueur. La formule (i) donnait donc R.

is R est le moment de l'adhérence relative à la surface immergée

{du cylindre; des dimensions du cylindre on conclut facilement la

waleur de la force d'adhérence par unité de surface ; c'est la valeur d

Eçlierchée. Coulomb trouve pour la valeur de rf exprimée en livres par

Vpied carré :

'ii

^Hi,

Isoh en dynes par centimètre carré : 1,94X10'', d'après M. Potier. Comme on le voit, le terme constant (/ est très petit et deviendra négligeable dès que les vitesses pnmdront une valeur un peu notable, e dans les expériences sur la viscosité.

En. tordant le lil de a ou .1 circonférences, Coulomb crut reconnaître augmentant, le frottement devient proportionnel à v et devient BDsuite, pour les grandes vitesses, proportionnel à c-, la grandeur du Krme constant d étant alors absolument négligeable devant celle du terme en i> ou en i"". Mais, Coulomb ne considérait pas ces expériences comme définitives, et il dit lui-même : 11 Ces expériences nemandent un travail exprès et à être faites dans dillVrenls fluides. »

o. Second Hémoire ( ' ). Expériences sur la cohérence des fiuïâeB. — Ce n'est qu'en iSni que Coulomb reprit ces recherches. Le tilre de son Mémoire est : Exférifnces destinées à déterminer la cohérence des Jluides et les lois de leur résistance dans les mouvements < très lenls.

Nous savons que la résistance opposée par un Huîde i> un solide qui ' se meut se compose de trois termes : le preuuer dû à l'inertie du i fluide, le second à l'adhérence, le troisième à la cohérence (viscosité). I

Ces trois causes interviennent à la fois, avec une plus ou moins- 1| grande importance relative, suivant les conditions de l'espérîence.

Ce que Coulomh a cherché à préciser, dans ce Mémoire, c'e l'effet de la viscosité, en lâchant de se placer dans des conditions | telles que l'inertie n'eût pas d'influence. Quant à l'adhérence propre- I ment dite, il savait déjà que son effet était à peu près négligeable; il I 3s nouvelles expériences (

une manière

s'en assura d'ailleurs directe.

Pour l'iiminerrinlluence de l'inertie, il l'allail choisir une forme de corps solide telle que la forme extérieure au fluide ne lût pas Coulomb a choisi un disque horizontal oscillant lentement dans son J plan autour de son axe vertical. De la sorte, le mouvement du disque n'exerce sur le fluide que des actions tangcntielles; si le fluide était parfait (sans viscosité), le disque devrait osciller indéfiniment (en supposant le fil de suspension d'une élasticité parfaite).

D'autre part, comme Coulomb le pensait déjà et comme les expé- , riences nouvelles le lui ont confirmé, la résistance est, en général,

dans le c termes

s lents, représentée pai

e formule à deux

^bv.

Pour étudier chacun de ces deux termes et connaître ai^sî leur impor- i tance relative, Coulomb observe qu'en donnant à c des valeurs suffisamment petites, le terme en v'^ devient négligeable devant le terme en v. Il est vrai que, dans ce cas, la résistance est elle-même très faible, il | faudra donc un moyen très délicat pour la mesurer.

Puis, en produisant des oscillations plus rapides, on peut arriver jti rendre prépondérant à son tour le terme en v^ et, même, à rendre le']

(I) Coulomb, Mémoires det'lnsiUut [Savants étrangers), t. lit, iSoi (an IX) ei Mémoiret relalif.i à la Physique, publiés par la Société française de Phjsiqoe, I p. 333.

tienne en i* relallvemenl négligeable ( une vitesse de o™. 2 par seconde

[suffit).

Ainsi Coulomb avail bien vu les conditions essenliellea â remplir :

1" Trouver nn mode de mesure exact des 1res petites forces ;

a" Donner à volonté des vitesses nssez petites pour n'obtenir que

Pie terme en c ou des vitesses asse^ grandes pour n'avoir que le terme

3" Ne pas changer la forme extérieure du tluide afin de bien savoir I ce qu'on étudie.

Son appareil lui a permis de remplir ces conditions,

G. Description de l'apparail et expëriencee. ^ A un fil métallique

I fin est suspendue une iif,'e cylindrique C en cuivre ayant 10'"'" à 12'""' I de diamètre; celte tige traverse un disque A (Jîg. 2) portant sur son

Kpourtour une graduation en 480 parties, mobile en face d'un index D Tfixe, et sur lequel on peut lire les déplacements angulaires du système ; ■ 'la tige plonge de 4"" ou 5'"" dans un vase plein d'eau, V, très large I (So'-'" de diamètre) et très haut (40"'" de hauteur). C'est au-dessous Ide la lige et contre elle que l'on applique le disque B que l'on vent [faire osciller.

nain, de manière à tordre le lil sans jandonne à lui-même. Le couple de I o oscillations, on lil l'amplitude sur

On fait tourner le disque à la m[ jjdécenlrer le système, puis on l'aba torsion le fait osciller; de j u eu 1 ne disque A.

L'amortissement provient de trois causes :

" Résistance éprouvée par ie disque B ; ( Relui que l'on veut mesurer;

' Résistance exercée par l'air sur le dii

;sL le terme principal, |ue .\ et sur la partie

12 LIVRE I. — GENERALITES.

émergente de la tige C, augmentée de la résistance exercée par l'eau sur la portion immergée de la tige;

3® Frottement intérieur du fil de suspension, dont l'élasticité est imparfaite.

On calcule la correction due à ces deux dernières causes en retirant le disque B et en étudiant l'amortissement du système restant.