CHAPITRE V. — MOUVEMENTS DE ROTATION. I
Bornons-nous au cas où l'extension du liquide autour du disque est indéfinie.
96. Intérieur du cylindre. — On prend simplement le premier terme '^oî <^|"i ^^ tenant compte des conditions limites en 3, du côté
positif,
I dào
- -7- = Wo, 5 = 0,
r or
r dr Conservant les notations employées pour la sphère
x = Ti-+-tT2 = Ç = £e^«S 6= ^ E2e21/= Bi + ^'62, tt > 2?) > ->
on a
^ = cpo-^ 7-2 e V. ' 2 ;
dont la partie réelle est
d^ =-|-9rt i-— r'^e^iit-x,z ^111(69/ — T2-3 -f- •xr,)
avec
cp = / wo </^ = Ço e^«' sin62 ^,
et
•> ^ une distance ^ quelconque
L = -2 UT: / /'^ - — (- dr.
J^ ôrùz
C = — '^0 — e^i'-'^i- sinCOj^ — To^ H- 3r)).
A la surface du disque (3 = 0),
P La phase diU'ère de celle de la vitesse
w = cpo - s^e^i' sin(B2^-f-2r^),
I08 LIVRK I. — GÉNÉRALITÉS.
et rinertie du fluide introduit l'augmentation de moment d'inertie dont nous avons déjà parlé.
97. Rôle du liquide extérieur. — Meyer, — Dans ses premiers Mémoires, M. Meyer se borne à cette approximation, en y ajoutant de très longues considérations pour tenir compte de l'épaisseur du disque, mais si peu justifiées mathématiquement qu'il vaut autant faire franchement l'hypothèse qui résume toutes les approximations partielles, à savoir que l'on doit augmenter le rayon de la moitié de l'épaisseur, pour ramener au cas du disque mince.
C'est avec cette valeur de C que M. Mej^er a calculé ses premières expériences et obtenu des nombres très irréguliers.
Grossmann, — M. Grossmann, préoccupé de l'influence du liquide extérieur, en a calculé le rôle d'une manière tout à fait arbitraire.
A l'intérieur du cylindre de rayon R le liquide a le mouvement défini par ^, et cela jusqu'à la surface r = R.
Remarquons que dans ce mouvement chaque couche plane tourne en entier comme une couche solide, il n'y a donc aucun frottement à travers les surfaces cylindriques, mais seulement à travers les surfaces planes.
M. Grossmann (*) suppose que, sans changer la distribution à l'intérieur du cylindre R, un frottement s'exerce sur sa paroi, et que ce frottement par unité de surface est, pour chaque couche, égal à celui que cette couche subit à travers ses faces planes pour /' := R, c'està-dire à
OZ
ce qui donne, pour le cylindre liquide entier, le couple
^F dz = 211 R3 jjLaj(3=o).
Il écrit ensuite que la somme des moments des quantités de mouvement du cylindre liquide (calculée avec la distribution par couches planes) est égale au moment du couple exercé par le disque augmenté du moment du couple latéral, et il en déduit le moment du
(^) Wied. Ann., t. XVI, 1882, p. 619.
■ le (lisijiTe.
c nos notalions.
ECe qu'il ajoure ainsi, c'est uue résistance prnjiortiniinelle à la viise et à [JL, tout a fait arbitraire en réalité.
I Kfinig. — Beaucoup mieux justifié est le point de vue (le . Kiinig{i) : celui-ci, ayant étudié espériinentalemenl les sphères S conslaté Finiporlance du terme d'inertie additionnelle, fil alors 'i raisonnement suivant. Le calcul de Meyer donne une première
bprosiination du mou\eiTienl com|irenant une résistance et une adtion d'inertie sur le disque; mais le disque et chaque couche plane uide doivent subir aussi un accroissement supplémentaire d'inertie revenant des réactions du liquide extérieur au cvlindre. M. Ki'inig e la valeur de cette réaction d'inertie d'un travail de M. Kleinent (") sur les cylindres indéfinis.
f "L'augmentation relaliyf est
RV/è- («-t)
tns le cas où {Re) est grand,
I Ea fait, les viscosités calculées au moven de cette formule avec des Tiodes ï très dilliTenles concordent suffisamment entre elles et |*c celles que donnent les oscillations des sphères et l'écoulement
|piUaire.
l Jl semble liien que ce soit la piirlie importante île l'action du Ii(|uide
ultérieur.
•8. Calcul de Meyer. — M. Meyer a bien défini le type approché ! mouvement du liquide auquel elle correspond : on obtient celte ne correction en découpant le liquide en tranches horizontales et sidérant dans chaque tranche le disque intérieur au cylindre B et Aneau extérieur {Jig- i6}. Pour chaque disque inlérieur, on prend [ume premit'Te approximation le mouvement d'ensemble à vitesse
1 W. A-, i. X.Wlt, ISS7, I [') Wha. Ber„ l. LXWtV
IIO
LIVKE I. — GKNEKALITES.
angulaire uniforme, sous Tinfluence du frottement des faces planes et d'un froltement latéral (on traite donc Re comme petit) avec un facteur é*"- à déterminer. Pour cliaque anneau extérieur inlini, on
v///y/y//y/AK\\\\^\\\\\\\\\^
néglige l'inlluence mutuelle des faces planes, on adopte, avec le même facteur e^^, le tjpe de solution en
'2 . / ît
sin ( - — TA
Tvzr \ 4
qui convient aux grandes valeurs de Rs, en assurant la continuité de vitesse et de froltement le long du cylindre R. Chacune de ces deux solutions ne satisfait qu'approximalivement à l'équation aux dérivée
partielles, puisque, à l'extérieur, le terme en -^ est eflacé, et, à l'in
térieur, il est égal à JJ-'|» sans que ÎJ- soit égal à t^.
On détermine une valeur de Ç^ intermédiaire entre o et t^, q répartit l'inexactitude entre les deux solutions, de la manière su vante : on écrit l'équation d'oscillation de chaque disque liqui (/• <I R) pris en entier, sous l'inlluence des disques supérieur et in rieur et de l'anneau extérieur :
dt
Or, de
on tire facilement la valeur approximative
(g)^=a>tta„g(|-xRj,
