CHAPITRE V. — MOUVEMENTS DE ROTATION. Ill

avec

lang( - — T, K - iz.R) = — — ^ '- — , ,

^ ^ cos2 / ^ T, R j Gh2T2 R -h sin2 ( 7 - -Cl H] Sh2x2 R

ce qui donne, quel que soil t^, pour les grandes valeurs de T2B., L'équation des moments devient

La valeur de k ainsi obtenue

intervient directement dans l'expression du frottement du liquide sur ie disque solide, qui lui est proportionnel :

G = Ou-^^- Ti sinlÔî^-h 2r,)-h (t2-I- H- ) cos(62<-f- *2rJ L

'-e mouvement ainsi défini est un mouvement continu dans lequel *es forces sont continues, qui satisfait exactement aux conditions ^'iTiites et approximativement aux équations de la viscosité interne. '^ *A s'agissait d'un mouvement permanent, on pourrait affirmer que *^ dissipation réelle d'énergie est moindre et que la viscosité tirée de *** est excessive (n® 28); pour un mouvement varié, le signe ne peut ^^**e défini, mais l'erreur qui reste est probablement petite pour les '^^^^Uvements lents.

tin réalité, c'est en coordonnées elliptiques qu'il faudrait traiter le P^^^l^lème; mais l'intégrale serait alors pratiquement inutilisable, faute ^ tcibles, et d'ailleurs difficile, parce que les couches de vitesse angu- '^^^^ uniforme ne sont pas les ellipsoïdes liomofocaux.

^Q. Amortissement du corps oscillant. — Dans les oscillations

***ii Orties d'un corps de révolution quelconque plongé dans un Huide,

^ ï^^action du fluide entièrement déterminée par des équations li-

^^ires lorsque le mouvement est assez lent déjiend principalement

iI2 LIVRK I. — GENERALITES.

de la vitesse actuelle du corps; toutefois l'inertie du fluide produit une difl'érence de phase qui ajoute un terme proportionnel à l'accélération.

A l'oscillation

cp = cpoe^i^sinegi (Qi<o)

du corps, correspond en général un couple (C >> o vers co >> o)

C = (Cl e^x^ sinôj^-h C^e^^^ cosOj^^cpo;

les constantes C| , Co dépendent encore de 9, et de 82? outre les dimensions géométriques du corps mobile et du vase; ce sont elles qui contiennent la viscosité et la densité du fluide. Le couple étant généralement résistant pendant la plus grande partie de l'oscillation, la constante C2 est ordinairement négative.

L'expérience consiste à déterminer 9, et O2, et la première étape de calcul à obtenir C^, Co, en fonction de 9<, 9o, du moment d'inertie du corps K et de la torsion A du fil de suspension, qui sont liés par l'équation

K -v^ = G — Acp.

Or on a

ot Çï = cpoe^>'[(f)î — ef)sine2i-h -26, 6200562^].

L'équation se décompose donc en deux :

On a

C2='2Kei62, c,=— K(0|-e5— ej),

en posant

S'il y a des viscosités accessoires qu'on doive éliminer, elles fournissent deux équations de même forme, avec des coefficients C, , C2 ; on a donc, dans une première expérience,

c; = -iKe', 0;, G', =- K(e;*- e? - 6',«),

et dans la seconde expérience avec les deux causes réunies

Gj-t- g; = -2x0162, G,H-G'i = - K(e|-6j-eî),

ui donne. pardillVrence, les terme* cjiie l'on chcrrtie

G, = aK( 0, II,— II', ly, ). C| =— K(0| — f)'/ - 0» -+■ ')',= ).

I Remarquons que, si le ci)ii[ile est fourni par lu ihêorie sous lu forme

^n terme propiirtiiiunel ù la vitesse — D, --^. eL d'un [n-oporlionnel

c, = - ri|ii,-T- \i,iiq — i}i].

l (l( et 9ï sont les valeurs réalisées dans l'expérient-e (C, ei C', dé-

idraieiil de D',, D!, eL de ^\, 6!, correspondaats).

I Ce que l'oljservation donne directemenl, c'est la durée d'une

filiation (coniplèle) T, et le rapport des élongalions s.iccessives

Edroiie et à gauche, à ime demi-période d'intervalle, o ■< i . et l'on a

II.H). Calcul d'une expérience. — On tire ainsi de l'expérience deux fiinclions de [t et de a ; on connaît généralement a par les mesures de pression et de densité; il y a donc une i^qualion de contrôle. La résolution par rapport à |j: peut être plus ou moins exacte, plus ou moins pénible, suivant l'exactitude de la théorie que l'on a faite du raouvemeui du Huide, et la complexicité des formules qui en résnlleal; mais, comme l'on est en présence d'une équation numérique, il n'y a pas de difliculté réelle; quelques tâtonnements donnent deux valeurs approchées de [i par défaut et jiar excès, entre lesquelles on peut facilement dresser deu\ tables : l'une de T, l'autre de a pour un petit nombre de valeurs de |j. intermédiaires permettant l'intcrpolalion à vue d'après les nombres observés. La prévision de la forme de 9, et lie H-. en fonction de ;j. est, au contraire, presque toujours inabordable algébriquement.

IUll. Périodicité de l'amortissement, — Résolvant eu Ô(, 9i, on iiiii,.„i

'"^(K-)-D,i' = K-,-D, " 4(hT-Di)»*

Deux cas extrêmes peuvent se produire suivant que le diamètre du

rwps.iscillanl f>t grand uu petit.

Il4 LIVRE I : GÉNÉRALITÉS. — CHAP. V : MOIVKMENTS DE ROTATION.

Dans ce dernier cas, D2 est très petit et indépendant de la viscosité (sphère n" 84).

Mais dans le premier, D2, quoique petit, varie avec la viscosité

exactement comme D| ; 0| croît d'abord proportionnellement à ^/ik^ puis de plus en plus lentement; nous savons que les expressions exactes contiennent [i. sous les signes sin et cos; 9^ atteint donc d'abord un maximum pour une valeur finie de [Ji, puis décroît, passe pai un minimum {voir n"^ 39 et 89).

M. Konig a reconnu l'existence du premier maximum sur des valeurs approchées contenant un plus grand nombre de termes que les nôtres et a vérifié expérimentalement son 'existence. 11 ne s'est pas occupé des minimums et des maximums suivants, que son développement approché ne lui avait pas annoncés.