I. — TRAVAUX DE HAftEN

168. Expériences de Hagen. — Hagen, physicien et ingénieur — allemand, ne semble pas avoir connu les travaux de Poiseuille. Il fit^ des recherches sur les lois de l'écoulement de l'eau ordinaire dan^ des tubes de diamètres assez notables et opéra dans d'assez large ;= limites de température (jusqu'à 80° C. ). Le Mémoire où Hagen ra porte ses recherches a été publié en i854 dans les Abhandlung^ de Berlin ; il contient beaucoup de bonnes observations mêlées à u théorie inexacte.

Hagen a étudié la variation du débit avec la température sous u

i IV. — LE HÉCIME DB POlBEl'Il.r.E RT LE FIÉi

lUte lie iiression cunslaute dans trois titbes doi

iri>FiAiTLiijUE. 197 ci les éléments :

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Premier tube 4:'

Deuxième lube roc)

Troisième lube loj

lais ont été représentés par des ures pour abscisses el les déb espond ù un tube el à une chu le lie Hagen est reproduite ex

courbes ts pour

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tracées en prenant Drdonnées: cliaque

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Its en ubscissei. Viitsses m pouces du I i chaque courbe (en puucea d'eau ) aont

courbes en trait continu, relative;

irlies correspundent à une failli

igS LIVRE II. — LES LIQUIDES.

courbes sont ascendantes, mais tournent leur concavité vers le bas et annoncent un maximum qui n'est, d'ailleurs, pas atteint dans les limites des observations. Les courbes qui correspondent à une pression plus forte (iS*^™ d'eau) présentent un maximum et annoncent un minimum.

Enfin les trois courbes supérieures correspondent à des pressions plus fortes encore (20*''"' à 25*'™'d'eau). Le maximum est très accusé et le minimum est très net, puis la montée de la courbe continue d'une façon à peu près rectiligne, mais moins rapide que la montée du début.

Gomme on le voit, à mesure que la pression augmente, le maximum et le minimum reculent vers les basses températures et se rapprochent l'un de l'autre en même temps que leur différence s'accuse davantage. Leur position dépend d'ailleurs du diamètre du tube.

Cela nous montre en passant que, si l'on veut étudier l'influence de la température sur la viscosité, il faut opérer sous des pressions très faibles ou très élevées, de 'manière à se placer dans une région bien définie de la courbe, en dehors de la région troublée du maximum et du minimum.

169. Cause du maximum et du minimum. — A quoi tiennent ce maximum et ce minimum? La description des phénomènes faite par Hagen lui-même, puis par Osborne Reynolds (i883), et enfin par Couette (1890), en fournit l'explication.

Avant le maximum, le débit est régulier, sans soubresauts ; l'observation de la veine la montre lisse et régulière ; Hagen la compare à une baguette de verre lisse.

Au voisinage du maximum et entre le maximum et le minimum, le jet devient trouble et jaillit par soubresauts violents et irréguliers. Hagen crut d'abord que ce phénomène tenait à un défaut dans le montage de l'expérience ; mais, en comparant un très grand nombre d'expériences, il vit qu'il s'agissait là d'un phénomène normal.

Après le maximum et le minimum, la veine est régulière, sans soubresauts, mais elle n'est plus lisse comme auparavant; la surface du jet est craquelée, comme couverte de toutes petites rides.

Les soubresauts qui se produisent entre le maximum et le minimum proviennent du passage très rapide et alternatif d'un régime à l'autre.

Il est alors facile de se rendre compte de l'allure des courbes quL représentent la variation du débit en fonction de la température.

Quand la pression est assez faible, le régime à la température^ ordinaire est celui de Poiseuille ; la vitesse est dirigée partout sui-^

CHAPITRE IV. — T.E HÉOIME HE POfSRDll.l.E BT LK BÉOIME IlïnBAliLIQUE. IQi)

vant l'aïe du tube. C^uand la température croît, le coefficient de frottement diminuant, la force vive des mouvements de la veine cmîi; au déliui cet accroissemeni ne se traduit que par une augmenliition du débit : le mouvement devient plus rapide maïs reste rcctiligne: c'est encore le régime de Poiseuille. La température continuant dfl croître et l.i viscosité de diminuer, les mouvements irréguliers ne sont pas assez rapidement amortis pour que le mouvement reste sensiblement recliligne; des mouvements ondulatoires se Produisent dans le liquide, exagèrent les inégalités de vitesse el dis- Hpent proportionnellement plus d'énergie que le régime de Poiseuille, même débit; de là résulte l'existence d'un maximum dans la ÎQurbe des débits en fonction de la température.

La température continuant de croître, les ondulations prennent une nporiance croissante, d'abord, puis stalionnaire ; le régime se régue et le débit augmente de nouveau.

Ce qui se passe ainsi à pression (constante, quand on augmente ■ogressivement la température, est l'image de ce qui se passe à température constante quand on accruit progressivement la pression.

L'absence de mouvements ondulatoires dans le régime de Poiseuille, leur apparition dans la région troublée et leur permanence «dans le deuxième régime, peuvent être mis en évidence en mêlant au Liquide de petites poussières qui v restent en suspension. Elles se meugvent paraLlèlemeol à l'axe du tube avant le maximum, et suivent un rajel sinueux dans le deuxième régime.

170. Théorie de Hagen sur le changement de régime. — Hagen wst parti d'une idée inexacte mais intéressante. On sait que la distribution des vitesses à l'intérieur d'un tube, dans le régime de Poiseuille, ïsl donnée par la formule

[dans laquelle h désigne la hauteur équivalente à la pression motrice l^^valuée en colonne du liquide), sous laquelle se fait le mouvement, i la vitesse à la distance /' de l'axe, et R le rayon du tube. Hagen ^oyait que la vitesse en chaque point est proportionnelle à la distance I la paroi ; rectifions cette erreur et adoptons cependant le mode de niiomiement de Hagen tout en nous servant des résultats de Poipeuille.

Si l'on augmente A, u croît sans limite, D'autre part, si l'on pro-

duisait récoiilement sous la même pression motrice y non à travers un tube mais à travers un orifice percé en mince paroi, la vitesse u^ à la sortie serait

ux = yj%gh.

Comme le tube introduit des résistances, on doit certainement avoir

En particulier, si l'on appelle Wo la vitesse sur l'axe, on doit avoir Cela posé, d'après la loi de Poiseuille, on a

Pour une valeur donnée de /, u^ croissant proportionnellement à A,

et Uk proportionnellement à y/A seulement, w„, d'abord plus petit que i/|, lui devient égal pour une certaine valeur de A, et supérieur au delà; ce qui est absurde.

Nous savons maintenant comment on échappe à cette difficulté; nous avons vu en efTel que le jet se forme à la sortie du tube, aussi bien qu'à travers un trou en mince paroi, et que la formule exacte pour Wo n'est pas

mais

qui tient compte de c^tte force vive, et donne pour le débit I — mais non à la vérité pour la vitesse axiale 2ll7rR2 — une valeur toujours

inférieure à celle de l'orifice en mince paroi iiR^ sjigh^ sous la même charge. La difficulté n'existe donc pas pour nous.

Au lieu de s'apercevoir du rôle du jet à la sortie du tube capillaire, Hagen fit l'hypothèse, qui conserve quelque chose d'intéressant, que le paradoxe correspond à l'existence des deux régimes, et que le passage d'un régime à l'autre se fait au moment où les deux vitesses deviennent égales. La pression h qui correspond à cette valeur critique est donnée par l'équation

Ce (ii^hit sérail proporLionuel à / et indépendaiil de R. Tel serait le calcul correct.

ce n'est pas la loi obtenue par Hagen, car ce physicien a lit le calcul de I en partant de Tliypolbèse fausse indiquée plus tant, que la vitesse en un point du tube est pruportîonnelle à la e de ce point à la paroi. Dans ces conditions, le débit serait ■oportionnel à la vitesse U que possède le liquide sur l'axe du tube par conséquent, le débit critique serait proportionnel ù ^i iomme Ut- C'est la loi à laquelle aboutit Hag^en.

171. Gomparaisoa des expâriencea de Hagen avec sa théorie. — 3L>ans son expérience, sous pression constante, Ilagen décompose donc le phénomène théorique en deux phases : i" débit constauimeat «-roissant, en raison inverse de la viscosité, jusqu'à la valeur itR-y^a^çA;

débit constant quelle que soit la viscosité. Le débit critique serait

lonc un di'bit maxini

igen

uppose

le débit I

ibservé est précisément le débit critique ; mais, au lieu de le comparer i la valeur simple nR^y/a ^A, et de s'apercevoir de suite que le débit maximum est beaucoup plus petit, Hagen le compare à lu valeur fausse qu'il a calculée en fonction de la viscosité.

Hagen ayant déduit de ta première partie de ses eipériences la loi variation de jj. avec la température, calcula quelle devait être la tsition du miiximum de débit pour chaque pression quand on conourbe du débit en fonction de la température. 11 compara isuit« les positions calculées de ces maxima avec tes positions îndi- ,ées par tes graphiques qui re présentaient les observations directes. Hagen avoue que la concordance n'esl pas bonne, et î] suflil, pour convaincre qu'il a raison, de jeter les yeux sur ses nombres. II a utilisé trois tulies. Pour le premier ( ^ =^ .}:^o ) la concordance

est bonne (à i** près de o° à 35"). Pour le second (tt = 336), il faudrait ajouter i4" à toutes les températures calculées pour obtenir les températures observées des maxima. Pour le troisième (0 = 35ol,

les températures calculées sont encore trop faibles de lo". Contrairement à Hagen, mais sans citer de nombres, Franz Neumann affirme pourtant que la concordance des nombres calculés et observés est satisfaisante, et cette affirmation a été répétée depuis.

172. Comparaison des expériences de Hagen avec les vues d'O. Reynolds. — Nous connaissons maintenant la loi véritable du phénomène, d'après les expériences plus récentes d'Osborne ReynoLfts:

le débit limite est proportionnel à-!^; la longueur /n'intervient pas.

Si Ton relève sur les planches de Hagen le débit maximum pour les trois tubes à des températures comprises entre o" et 62", puis qu'on fasse pour chaque couple de tubes les rapports de ces débits maximum, chaque rapport correspondant à une température donnée, on trouve que ces rapports, pour deux tubes donnés, sont à peu près égaux. Si la loi de Hagen est vraie, cette valeur commune des rapports

doit être égale au quotient des valeurs de ^» On trouve qu'elle en est

très différente, mais qu'elle est à peu près égale au rapport inverse des diamètres. C'est donc la loi d'Osborne Reynolds qui est la vraie. Voici d'ailleurs les nombres :

I" Tubes A et B.

Rapport des diamètres "ô* • • ^^^9 Rapport des valeurs de '^« • i ,<>9 ; Rapports des débits -r • • • • o,56 o,58 0,59 o,63 0,70 0,76

2" Tubes B e« G.

Rapport des diamètres ' * * 0,68 ; Rapport des valeurs de -^- • o,435

Rî p Rapports des débits 7^ • • • 0,07 0,67 o,65 o,65 0,70 o,63

i:U*P1THE IV. — LB RËGIMi: DE [«ISEVILI.E ET LE HÉbLIIIE IIVIIKiti: LIQl Ë. ■>.o3

Il n'y a donc pas le moindre doute ; la loi de Hagen esl absolument ['fausse el, cependant, ses expériences étaient suffisantes pour qu'un I pût entrevoir la loi véritable.

Malgré cela, le mémoire de Hagen reste important. Il contient I d'abord bien des remarques intéressantes ; en outre, c'est le premier I où soit faite bit^n nettement la distinction entre les deux régimes et où I le phénomène soit correctement décrit.

Il ne semble pas cependant que ce Mémoire ait beaucoup attiré I l'attention quand il parut. Les physiciens et les hydrauliciens ont f continué à s'ignorer les uns les autres, ou même à se contredire. 1 faut aller jusqu'à Osborne Reynolds {i883 ) pour trouver de nouvelles études expérinienlales sur la même question.

- EIPiBlEirCES DE COURS DESTINÉES k HOKTRER LES DEUX BiGIHES ET LE PASSAGE DE L'UN A L'AUTRE.

173. Expériences sur le mercure. — Un tube capillaire BC esl I adapté horizontalement à une éprouvette à pied A pleine de mercure F {Jig- 53). Il est bon que le tube se termine en entonnoir à l'entrée, ! sans quoi le régime de Poiseuille ne s'établit qu'avec peine.

Kig. 53.

L'éprouvelte étant pleine de mercure, on laisse l'écoulement se ' ■.produire par le tube capillaire. Au début, l'écoulement se faisant <Bous une forte pression, c'est le régime hydraulique qui s'établit : le ■et qui sort est régulier, mais la veine n'est pas lisse. A mesure que î mercure s'écoule la pression motrice diminue; à un certain moment, la période troublée commence; le régime de Poiseuille (veine lisse) commence à se montrer par inlermittences; chaque fois qu'il

ao4 LIVRE II. — LB8 LIQUIDES.

s'établit, le jet s'allonge, montrant que le débit augmente et que la résistance diminue; mais le régime hydraulique reprend bientôt, la veine se trouble tout d'un coup et en même temps le jet se courbe davantage et son amplitude diminue.

Le jet oscille ainsi par soubresauts, d'une amplitude à l'autre. Tout d'abord, les oscillations sont rares, c'est l'amplitude faible qui est le plus souvent réalisée; le régime hydraulique domine. Puis, la hauteur diminuant toujours, les oscillations deviennent plus fréquentes pour redevenir rares ensuite, l'amplitude forte étant maintenant plus souvent réalisée; le régime de Poiseuille domine. Enfin, au-dessous d'une certaine valeur de la pression motrice, le régime de Poiseuille subsiste seul, la veine est lisse et les oscillations ont disparu.

On a obtenu de très bons résultats (*) avec des tubes de i"*"* de diamètre dont les longueurs ont varié de 3o*^'" à 3'

Premier tube, — Longueur So'^'" environ.

H > i5 Régime hydraulique. Veine trouble. Jet régulier. 15*^™ > H > 6 Période des battements d'abord très faibles quand H est

voisin de i5*"", atteignant ensuite une amplitude énorme quand H diminue, puis le régime de Poiseuille domine avec retours rares à l'amplitude faible.

H < 6 Régime de Poiseuille établi. Veine lisse. Jet régulier.

L'amplitude des oscillations est d'autant plus grande que le tube est plus long.

Deuxième tube. — Longueur 18*="', 9.

rom

H > 56,7 Régime hydraulique régulier.

H = 56,7 Commencement des oscillations.

H = 48,8 Grandes oscillations continuelles entre Ic^ deux régimes. H = 3o,o Fin de la période troublée. Commencement du régime de

Poiseuille.

Troisième tube. — Longueur 35