grande
73,9 < H < 117. Oscillations d'énorme amplitude.
( ') Leçon du 4 février 1899.
Fin du r
: de Poiseuille domin s d'ampiilnde (retours
' quelques chutes au régime liydrau-
Comparaison ries deux débits limites des deux derniers tubi^s. — D'aprf's la loi d'Osborne Reynnlcls, ces débits limites devraient f être ëgauK, car les deui tubes ont même diamètre.
Rapport des pressions liiiiiies 2,4
Rapport des longueurs j,9
Rapport des débit» d'après la loi de Poiseullle >,9 >; — î = "1"
La loi de Rejnolds est sensiblemenl vérifiée. Le loi de Hagen donnerait 1,^.
17i, Expériences avec l'eau- — Première expérience, — Même appareil qu'avec le mercure, mais les tubes sont coupés droits. Les dimensions indiquées par Couette (Thèse) ont été adoptées ; /^ 18"". D = o"",iip.
On a obtenu les résultais suivants :
H < 75"° Régime hydraulique. Jet régulier. Veine trouble. P 35-< H < 7i™ Oscillations irréguliêres.
H < 3i"" Régim,; de Poiseullle, Veine lisse. Jet régulier.
La longueur du tube était un peu faible pour le diamètre, les batte- [ ments avaient une faible amplitude. Il aurait fallu pt^ndre une Ion- I gueur de 60'^'" environ et alors adapter le tube à un récipient plus haut f (au moins 1 "' de hauteur),
Peuxième expérience. — Si le tube est 1res court, la pression [ à laquelle le régime de Poiseullle peut s'établir est trop faible pour I (ju'il y ail un jet. On peut encore montrer l'oseillalion entre les deux I régimes dans ce cas au moyen des vibrations de la goutte au bout du Vtube.
Voici comment l'expérience est disposée :
On prend un tube ayant 1 "'™ de diamètre et .î'^'" ou 6'^'" de longueur, (on l'adaple à une éprouvetle tubulée remplie d'eau, ayant ao"" de K'hauteur. Pour réfiulariser l'écoulement lent el la formation des I gouttes, on pluee à cheval sur le tube et tout près de rexlrémité une ['bande de papier à filtrer.
Au début de l'expérience, quand l'éprouvette est encore pleine d'eau, la pression est suffisante pour que le liquide sorte en jet; mais bientôt, la hauteur d'eau diminuant, le jet se recourbe complètement pour donner au bout du tube une goutte qui vibre avec une période très petite entre deux positions extrêmes, où la goutte prend deux formes très différentes correspondant l'une au régime de Poiseuille, l'autre au régime hydraulique. Le liquide continue à s'écouler de cette goutte le long de la bande de papier. L'amplitude des vibrations décroît à mesure que la hauteur d'eau diminue dans l'éprouvette, leur fréquence restant très grande. Brusquement, pour une hauteur déterminée, la goutte garde une immobilité complète ; sa forme ainsi fixée correspond au régime de Poiseuille (').
Application. — Grâce à l'artifice du papier filtre, il est possible de faire des mesures de viscosité correctes avec un tube dont l'extrémité n'est pas immergée.
Il faut seulement mesurer la courbure de la goutte stable (par exemple en projetant son image agrandie sur un écran, ou par réflexion comme pour un miroir convexe) et faire la correction capillaire correspondante, minime dès que la goutte a un rayon supérieur à 2""" ou 3""».
Débits limites, — Deux autres expériences ont été faites avec deux autres tubes pour vérifier la loi d'Osborne Reynolds relative au débit limite.
La mesure des débits limites, faite grossièrement mais directement au voisinage du maximum, a donné :
Premier tube 7<^™', 3
Deuxième tube 7*^°»', 3
Comme les diamètres étaient égaux, la loi d'Osborne Reynolds est bien vérifiée.
D'ailleurs on avait :
Rapport des longueurs 2
Rapport des pressions limites i ,8
I 8 Rapport des débit limites -^— = 0,9
D'après Osborne Reynolds, il faut trouver. ... i D'après Hagen, on devrait trouver 1,9
(*) Leçon du 4 février 1899.
l7o. Étude de la variatioa de débit d' Ebressioii, à diverses températures. — (J iHagen(').
: Les limites de température doivent être suflisantes pour que le tube
.K REGIME HrrillAL'L[QL'E. 307
même tube, sous la mAme
périences
répété les
Pésente successivement les deui régimes réguliers nuhlée entre les deux. Ou a clinisi les dimensions s l»e capillaire ;
; la période i\antes pour le
Ce tube BC a été adapté horizoutaiement à un vase de Mariolte de manière à maintenir la pression bien constante (ao'-"' d'eau) ( /ig. 54).
6 loul, plongé dans une grande cuve remplie d'eau pour obtenirune température déterminée et bien constante. Le tube capillaire sort de
e à travers un boucbon.
' La pression de ao™ d'eau a été repérée chaque fois surle tube veriLcal du vase de Mariolte et maintenue constante, à o'°"',5 au moins. e tube était toujours enfoncé de lu même quantité dans le vase de Uriotte, de manière que son extrémité effilée fût toujours exactetent à la même hauteur au-dessus du fond du \ase. La constance de R position â o'"'",Ô près assurait la constance de la pression à j^ près ;ligeant la variation de densité de l'eau).
On recueillait dans une éprouvette graduée l'eau écoulée pendant 60 secondes. La température adoptée était celle de l'eau écoulée prise à l'instant même où on la recueillait.
Une seule courbe a été tracée entre 4° et 60° ; elle a la forme signalée par Hagen. La figure 55 la représente.
Fig. 55.
Intervalle où on a obser^ -vé des battements I la veine
02^ 6810 H 18 22 26 30 3(f 38 tô 46 50 54 58 62
De3rée centigrades
Les deux régimes et la période troublée y sont nettement visibles. Au début, régime de Poiseuille; les débits croissent rapidement avec la température. Les troubles commencent vers 22"; le débit maximum est atteint et la période des battements commence. Le débit décroît lentement, passe par un minimum vers /\o" et remonte lentement ; vers 5o", on a encore de faibles battements. A 5o", le régime hydraulique s'établit régulièrement; le débit croît lentement avec la température.
Le débit maximum a été de 270*^"'; le minimum de 254*^"*. Pour obtenir un écart plus grand avec le même tube, il aurait fallu opérer sous une pression plus élevée.
On remarquera que la courbe des débits en fonction de la température reste bien définie et régulière dans tout l'intervalle où les deux régimes alternent visiblement. Cela montre que la durée relative des deux régimes est une fonction bien définie de la viscosité sous chaque pression, et pour chaque tube; la période complète, comptée depuis l'établissement du régime de Poiseuille jusqu'à son premiei^ retour, est également bien définie à chaque température.
m. — TEATADX D'0SBOBN£ BETHOUIS.
176. Calcul approché du débit limite qui marque l'apparîtioti des LOuvemeuts ondulatoires. — Ba|i[ieloj]s les équiillons ^énérale^ ilu iiienl des liquides visqiieuxdans le cas où les \ilesses de déforbialion sont assez laildes pour que les (orées de frolteinenl soient des FfoDCtîuns linéaires des dérivées |ifeinicres de ces vitesses. On r.Un li(]uide pesant:
, pour
àp
fiu
'it^-î
La soliilion générale d ^-igoureuse des équations K'iimite. On ne sait la l'ai k^fltances particulières, pai
iroblème serait fournie par l'intégralinn tenant compte des données à la surface malheureusement qne dans des circon- :mple quand le mouvement est parallèle ft l'aie d'un tube cylindrique. On obtient alors le régime de Poiseuille ■ qui est le régime staliie pour les très faibles déliits. Mais le problème KVrai serait sensiblement différent ; le liquide s'étend bien au delà du llabe, en amont dans le vase qui le fournit, en aval dans le réservoir rqui le reçoit. C'est toute la masse du liquide qu'il conviendrait ^ d'étudier depuis la première surface libre Jusqu'à la seconde, en lenaot compte de la forme des parois.
Nous avons cherché à évaluer l'influence des orifices d'entrée et de sortie du tube (n"' 11^-118), seulement en supposant que le régime
tonte la
de Coiseuille est le régime stable longueur du tube ; mais nous n'avons pi de stabilité.
Or on ne sait pas, au point de vue simple de l'état permanent ( -~ = — = ^ = n i, les équations (i), □on linéaires, ont une solution unique, pour des conditions aux limites déterminées, ou si elles ont un nombre fini de solutions, d'inégale st^il»ililé.
ti. .4
laturel di pu examiner cette queslii
ithémuliqup, si, dans le c — = Il 11 les éqi
On ne sait donc pas si le régime hydraulique obéit aux équations (i), ou s'il exige des équations diflerentes; les théories hydrauliques ont toujours été développées en adoptant des relations non linéaires entre les forces de frottement et les vitesses de déformation; mais cela ne prouve rien : les cours d'eau réels, auxquels ces théories sont destinées, ont des parois très irrégulières, soit simplement rugueuses, soit tapissées de roseaux et d'herbes ; ce qu'on appelle un état permanent est seulement un état assez régulièrement troublé au voisinage des parois; on se contente de considérer des éléments de volume assez grands, et des éléments de temps assez longs pour que l'état moyen soit permanent. Comme on fait entrer dans les forces de frottement moyen tout ce qui provient des troubles nés à la paroi etpropagés vers l'intérieur, on est conduit, non seulement à des relations non linéaires, mais, pour l'intérieur du liquide, à des relations non spécifiques y en ce sens que les coefficients contiennent encore la position de l'élément par rapport à la paroi, et la nature de la paroi.
Rien ne permet de croire que les équations des hydrauliciens soient différentes de ce que donneraient les équations (i) (à viscosité linéaire) si l'on réussissait à analyser les troubles, périodiques ou non, qui naissent à la paroi, avec assez de précision pour former des valeurs théoriques des moyennes (*). Au contraire, la naissance du régime hydraulique dans les tubes de verre parfaitement lisses donne à penser que les équations (i) doivent suffire.
C'est à ce point de vue que s'est placé M. Osborne Reynolds au début d'un Mémoire expérimental important sur les causes du changement de régime {^),
Supposons que le caractère du mouvement dépende d'un seul paramètre de vitesse U, la vitesse moyenne le long du tube, et d'un seul paramètre linéaire c, le rayon du tube ; éliminons les pressions des équations i, par des dérivations croisées; il reste des termes de deux types ; ceux qui proviennent des frottements ont en facteur
/ (^) Indiquons seulement les Mémoires rie M. Boussinesq ( Théorie des eaux courantes, Sav, Etr,), de M. Maurice Levy ( Thèse) et de O. Reynolds {On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the détermination of the criterion, iSgS).
(2) Phil. Trans. B. Soc, of London, Vol. 174, i883, p. goS, et Scient, papers, t. II, p. 5i.
