ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LENT D'UN FLUIDE VISQUEUX
A. — ÉaUATIONS INTÉRIEURES.
17. Équations du mouvement d'un fluide* — Sans nous préoccuper des mouvements intérieurs analogues à la diffusion, dans lesquels les théories moléculaires trouvent l'explication de la viscosité des fluides, nous supposons, comme dans l'Hydrodynamique classique, qu'on puisse diviser arbitrairement le fluide en un nombre immense de très petits volumes élémentaires où le fluide soit homogène et continu et à l'intérieur desquels il n'y ait pas de mouvements relatifs, et nous traitons ces volumes comme infiniment petits.
Nous supposons, en outre, les mouvements assez lents pour que la loi élémentaire, relative aux forces de frottement, déduite des expériences de Coulomb soit applicable.
Soient w, i^, w les projections sur trois axes rectangulaires fixes de la vitesse d'un élément de volume de liquide dont le centre de gravité passe, au temps t, au point ^, y y z,
£/, (;, w sont des fonctions de x^ y, z, t.
Si l'on suit une masse liquide dans son mouvement, l'accélération
, 1 • / du dv dw , ,
de son centre de gravité 37' -y:» -jt » ^^ temps ^, est donnée, comme
on sait depuis Euler, par les équations établies dans tous les Traités de Mécanique :
du dt ~
du dt
du
dx
du du
dy dz
dv dt "
dv dt
dv
H- W-— dx
dv dv
dy dz
dw dt
dw du
dw
^ dx
dw dw dy dz
Représentons par X^., Y^;, Z^. les forces qu'exerce à travers l'unité
irface la partie du fluide située du côlc positif de la face, sur qui est du côté négatif.
Si l'on considère un petit élément de volume dx dy dz ayaut la e d'un parallélépipède dont les crilés soat parallèles aux axes de aÉoordoanées. les forces Xj, . . ., Z5 variables en :c, i ,3, t applitjuées taux faces du parallélépipède ont pour projection totale sur Ox :
tes équations du
lent d'un tlui<
dx dy dz .
e sans Irolteuiei
éy '^"dz)' r)i' du \
ùy
appelant X,., Y^, Z^ la force exléi lame (pesanteur, force électriqi La densité p varie, d'un poin pressiltle.
ixcès de la masse de liquide qui s'at^cumule dai XDoluine pendant l'unité de temps est
lité de V
ïeure appliquée à l'u lectromagnétique, etc.).
autre, lorsque le fluide est coiu-
. l'élément de
-ÏJj^(pu) + ~{pi') + ^(p^i-)^d.T dy ds di.
s'accumule ainsi est aussi égal à ~dx dy dzdi; d'où
^équation de continuité lia il
18. Relations entre les pressions s fiuide parfait, les composantes ilei réduisent à une pression uniforme
r diftérentes faces. — Uai
pressions X.^. ^j-, ..., î
Y;=Z,.= Xs=Z:,=
n'en est pas de même dans les lluides naturels. Les expéiences de Coulomb, sur les couples qui résistent à la rotation de lorpï de révolution, mettent hors de doute l'existence des forces [angentielles X^, Z^
22 LIVRE I. — GENERALITES.
Avant de chercher comment ces forces dépendent des vitesses relatives, il convient d'établir quelques relations générales :
1" La production d'une accélération angulaire n'exige qu'un couple proportionnel au moment d'inertie, c^est-à-dire au volume de l'élément multiplié par le produit de deux des côtés; or, les forces X^r donnent, sur un parallélépipède dx d'} dz^ des couples moteurs
(Y- — Zy)dx dy dz^ {Z^ — X^) dx dy dz, (\y — \x)dx dy dz,
proportionnels aux volumes. Les couples moteurs et les couples d'inertie ne sont pas du même ordre d'homogénéité; pour des forces Yg, . . . finies par unité de surface et des accélérations angulaires finies, les couples moteurs seraient incomparablement plus grands que les couples d'inertie, à moins que l'on n'ait
Y^ — Zy= o, Zx — X-=o, Xy — Yj:=0.
Ces conditions sont donc nécessaires.
2" La connaissance des pressions exercées à travers trois faces formant un trièdre détermine les pressions sur une face quelconque.
Considérons, en particulier {Jig, 3), un trièdre tri rectangle,
C ^limin
M ABC, et coupons-le par une face hypoténuse ABC, dont la normale est définie par ses cosinus /, m, n avec les axes.
Soient X| Y|Z^ les projections sur les axes de la pression à travers une surface parallèle de l'hypoténuse, mais ayant son centre au sommet du trièdre; soient X< -h SX,, Y< -|- 5Y,, Z, -h oZ, les valeurs relatives à la face hypoténuse elle-même, et S l'étendue de cette face; les trois autres faces du trièdre sont les projections de la face hypoténuse, /S, /wS, /iS.
Les composantes suivant O^ des forces sur les quatre faces sont respectivement
— /SX.^, — /wSXy, — /iSX,, -+-S(X,-h8X,),
CIIAP. II. -- ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LENT D'uN FLUIDE VISQUEUX. 23
et leur somme
S(Xi — /X.f — mXy — /1X3) -f- S 0X1
est la force motrice sur l'élément de volume limité par le tétraèdre. Celte force se compose d'un terme proportionnel à la surface S, apparent dans la formule, et d'un autre S5Xi proportionnel au volume; ce dernier terme est identique à celui qu'on a introduit dans l'équation du mouvement du parallélépipède, comme on s'en assure facilement en le développant. Reste le premier terme, qui, étant le seul de son degré d'homogénéité dans l'équation de translation, doit être nul séparément
Xi = /Xj-h mXy-i- /iXet de même
Z| = ITix H- mZiy H- /iZ-.
Ces conditions, données simultanément par Lamé et Cauchy, sont connues sous le nom à^ éq uations du tétraèdre,
19. Quadrique de référence. Plans principaux. — Au Tableau de
forces
X,ir, Ya:, Z.r, facc normale à a?,
^y» Yv, Zy, » ky,
les conditions précédentes permettent de substituer, en adoptant les notations de Lamé, le Tableau symétrique
i Ni, T3, T2, face normale à x^ (") j T3, Nî, T„ .) ^y,
où N désigne une composante normale et T une composante tangenlielle.
Les équations du tétraèdre deviennent
i X, = /Ni-h/wTg-H/iTj, i\\\) Y,= /T3-hmN2 4-/iT„
f Z,= /T,H-mT,H-/eN3,
dont la forme symétrique montre que la direction de la force X^ Y, Z^
est conjuguée de la face à laquelle elle est appliquée, dans la surface du deuxième degré centrée
(i) Ni$«-4- N27iî-4-N3Ç*H-aT,r,!; -4-2X2^1: -h 2X37)$ =±i.
Il y a donc toujours trois plans principaux rectangulaires sur lesquels l'action est purement normale.
Remarque, — Il peut d'ailleurs y avoir un cône d'action purement langentielle, le cône asymptote de la surface, lorsque celle-ci se compose de deux hyperboloïdes ; mais cela n'est pas inévitable; il peut n'y avoir aucune face sur laquelle l'action soit purement tangentielle. Au contraire, et (|uelle que soit la loi de viscosité adoptée, le trièdre trirectangle où les actions sont purement normales ne fait jamais défaut et, sur une face arbitraire, la composante normale ne peut êti'e nulle qu'exceptionnellement.
En outre, on a
/Xi-h m Y,-i- /iZ, = /«Ni-f-.. .-h 2/«/iTiH-. ..= —;,
en appelant /• le rayon vecteur de la quadrique (1) suivant la normale à la face.
La composante normale à la face est donc égale à l'inverse du carré du rayon vecteur de la quadrique (i).
Par conséquent, la force elle-même est égale à l'inverse du produit du rayon vecteur par la distance du centre au plan tangent parallèle à la face.
20. Vitesses relatives. Rotation élémentaire. — Il faut maintenant trouver les relations entre ces forces N, T et les dérivées locales de la vitesse.
Soient Uj t», iv les vitesses du fluide au point xyz^ à un certain instant t] les vitesses en un point voisin x -\- da ^ J>' + ûÇy, z -\- dz sont
du , du j du , u-^^— ax-\--T-ay-h—- dz, àx ày ^ dz
dv , dv , dç ,
