EXPÉRIENCES SUR LE FROTTEMENT INTÉRIEUR DU MERCURE
129. Intérêt de Tétude du mercure. Expériences de Poiseuille. — Le mercure ne mouille pas le verre; des expériences faites avec ce liquide pourront donc nous renseigner sur le glissement à la paroi.
Poiseuille avait fait des expériences sur des dissolutions salines dans l'eau ; elles avaient confirmé les résultats généraux fournis par Teau. La Commission de T Académie, chargée d'examiner ces travaux, proposa des expériences sur le mercure. Poiseuille les fit el obtint des résultats qui ne concordaient pas avec ceux qu'il avait obtenus pour l'eau; la loi des pressions semblait n'être plus exacte. Comme il employait l'appareil même qui lui avait servi pour l'eau, on pouvait admettre que la divergence tenait à la grande dillérence entre les chutes de pression au début et à la fin de l'expérience; ces variations, qui tiennent à la grande densité du mercure, ne peuvent devenir négligeables que sous de fortes pressions; mais alors c'est la loi simple des pressions qui cesse elle-même d'être exacte, sous l'influence des termes dus à la force vive. Ces expériences étaient à refaire.
lîM). Expériences de Warburg (* ). — Warburg est le premier qui ait publié des expériences un peu étendues sur la question; malheureusement elles manquent de précision et nécessitent des manipulations trop délicates.
L'appareil se compose de deux tubes larges, A et B, verticaux, recourbés horizontalement au bas; deux tubes horizontaux aa'^ by traversent les bouchons qui forment les deux tubes A el B; ils portent deux robinets de verre c et d. Enfin le tube capillaire C relie, par l'intermédiaire de bouchons de liège, les tubes «a', bV
{fig- 27).
(«) Pogg, Ann., t. CXL, 1870, p. 367,
Un vase D contenant du mercure est placé au-dessus du tube A et le robinet R permet de faire écouler une quantité convenable de ce mercure dans le tube A. Enfin, le tube B est muni également d'un ro-
binet /• qui permet de faire écouler du mercure dans un vase taré V.
On commence par nettoyer soigneusement le mercure, on remplit l'appareil et l'on règle au cathétomètre Thorizontalité du tube capillaire. Cela fait, on amène les niveaux du mercure dans A et B, à la hauteur de deux repères tracés sur ces tubes, dont la distance verticale représente la différence de pression H — H', sous laquelle doit se faire Técoulement.
Les robinets c, R et /• étant fermés, on vise avec deux cathétomètres les ménisques dans A et B, puis on laisse les lunettes en place. On fait ensuite écouler un peu de mercure par le robinet r sans le recueillir, on referme ce robinet, puis on ouvre les robinets c et rf; du mercure passe de A en B à travers le tube capillaire ; on suit dans la lunette la marche du niveau dans B, et, quand ce niveau arrive à la hauteur du réticule, on met un chronomètre en marche; c'est le commencement de l'expérience. On ouvre aussitôt partiellement les robinets R et /•, que l'on règle de manière que les niveaux dans A et B se maintiennent constants. Quand on juge que l'expérience doit prendre fin, on ouvre largement le robinet r pendant un instant de manière à faire un peu baisser le niveau dans B; on ferme alors complètement ce robinet et l'on remet l'œil à la lunette. On arrête le chronomètre au moment précis où le ménisque en B devient tangent au fil horizontal de la lunette.
CHAP. II. — EXPÉRIENCES SUR LE FROTTEMENT INTÉRIEUR DU MERCURE. l4^
L'expérience ayant été ainsi conduite, ie mercure contenu dans le vase V a exactement le même poids que celui qui s'est écoulé à travers le tube capillaire pendant le temps marqué par le chronomètre. Deux pesées le déterminent, et l'on connaît ainsi le débit. De plus, la pression est restée sensiblement constante pendant l'écoulement; malgré l'absence d'indications à ce sujet dans le Mémoire de Warburg, il est possible que chaque niveau, dans A et B, ait été maintenu constant a Tjde millimètre près. La différence de pression H — H' serait donc restée constante à 4 de millimètre près, c'est-à-dire au moins à j— près, la valeur de H — H' n'ayant pas été prise inférieure à lo*'*"; dans certaines expériences, elle a même été de 20*
.cm
131. Mesures absolues. — Résultats. — Les premiers essais de Warburg ont porté sur la loi des pressions, point qu'il était nécessaire d'éclaircir, après les expériences de Poiseuille.
Quatre tubes furent essayés :
Température Numéros. Longueur. Rayon. des expériences.
mm nm u
2 6jt6,o o,3i3S5 18,0
Les tubes 1 et ,2 ont donné pour la loi des pressions des écarts considérables ; ils étaient sans doute, trop courts, étant donnés leurs diamètres.
Les deux autres tubes ont obéi à la loi; on conserva leurs résultats ainsi que ceux d'autres tubes de dimensions comparables.
Warburg n'a d'ailleurs donné aucune indication sur le calibrage Jes tubes qu'il employait, les cinq chiffres significatifs des rayons sont donc illusoires.
La loi des quatrièmes puissances des diamètres a été trouvée exacte à la température de 17**; il n'y a donc pas de glissement notable.
Le coefficient de viscosité déduit de ces expériences est
^ =0,1181 (mm, g),
Warburg signale une grosse difficulté de ce genre d'expériences ; B. 10
c'est l'altëralion progressive du mercure, soit seul, soit au contact du verre.
Le verre doit être récemment nettoyé (à l'aide de SO*H-, eau, alcool, air chaud) et le mercure récemment purifié et séché. Si le mercure a séjourné quelques jours dans les vases, les expériences sont irrégulières.
132. Mesures relatives. — Loi des diamètres. — Absence de glissement à la paroi. — Pour contnMer avec plus de précision l'adhérence à la paroi, Warburg a fait des mesures relatives, en comparant l'un à l'autre, sous le même débit, deux tubes capillaires de diamètres différents, disposés l'un à la suite de l'autre {fig> 28).
Fig. 98.
EgA
Sur le tube large 6c, qui les relie, est adapté un manomètre à air libre DEF. Quand les deux niveaux dans A et B sont réglés de manière à rester constants, grâce aux robinets R et /•, on constate que le niveau M dans DE reste constant.
Le tube DE étant un peu étroit, 5™'", il faut ajouter au niveau M la correction capillaire : i""",8; soient alors H, H', H* les hauteurs du mercure dans \, DE, B au-dessus des tubes capillaires; L|, R, la longueur et le rayon du premier tube capillaire, ab\ L2, Ra les mêmes quantités pour le second, cd. Si la loi des quatrièmes puissances des diamètres est exacte, on doit avoir :
Considérant H — H'' comme donné, Warburg compare la valeur
CHAP. II. — EXPÉRIENCKS SLR LE PROTTKHENT INTÉRIEUR DU MERCURE. l47
observée de H" — H' à celle qu'on calcule d'après celte formule. Voici
ses nombres :
observé.
calculé.
mm 371,0
mm
mm
mm 0,223
mm
mm
Gi,3
Les écarts sont de Tordre du centième; il est permis de les imputer aux erreurs d'expériences, car toute erreur relative sur la mesure des diamètres se trouve multipliée par 4*
La proportionnalité du débit à la quatrième puissance du diamètre peut être considérée comme bien établie; par conséquent, les glissements à la paroi, s'il y en a, sont extrêmement faibles. Ce résultat était inattendu; car le mercure ne mouille pas le verre, et il était assez naturel de supposer qu'il pût glisser le long d'une paroi qu'il ne mouille pas.
133. Expériences de Stefan (>). — Des expériences antérieures à celles de Warburg avaient été faites à Vienne en 1862 par Stefan,, avec la collaboration de Ludwig.
Stefan, étudiant les oscillations d'une masse de mercure dans un tube en U étroit, essaya de calculer l'amortissement et d'en déduire le coefficient de viscosité.
Le phénomène était mal choisi. Si l'on considère, en effet, une goutte de mercure qui se déplace dans un tube, un point {fig, 29) de la masse de mercure située près de la paroi reste voisin d'elle pendant le mouvement, jusqu'à ce que la surface limite arrière de la goutte arrive à son voisinage ; il prend alors un déplacement normal à la paroi; en d'autres termes, il n'y a pas glissement de la goutte, il y a roulement. On s'en rend compte facilement en faisant courir une goutte de mercure dans un large tube de verre. Lorsque le mercure est terni et le tube de verre bien propre, on voit les malproprelés courir sur la surface de la goutte, plus vite que celle-ci, et passer sur la surface de contact du mercure et du verre, à Tavant: lorsque la goutte a avancé de toute sa longueur, les malpropretés non adhérentes au verre sont reprises par la surface arrière et ramenées incessamment à l'aval de la goutte.
(') Wien Ber,, t. XLVI, i8(iQ.
Lorsque la goutte remplit toute la section du tube, supposé vertical, le mouvement est maximum suivant Taxe ; mais, comme il n'y a pas de surface libre réunissant l'avant à l'arrière de la goutte, chacun des ménisques a sa physionomie propre. Le ménisque avant reçoit cons-
Fig. 29.
mmvvvmmvkkmiamuiiauiiiimi^^m^m^^^^
tamment du mercure propre venant de la profondeur; sa surface, constamment étendue par les bords, va s'appliquer contre le verre, et y entraîne toutes les malpropretés (en quantité finie) qui s'y trouvaient au début; elle se nettoie. Au contraire, la surface arrière qui se contracte constamment par les bords, ramasse en son centre toutes les malpropretés qui couvraient la surface et y ajoute toutes celles qui n'adhèrent pas suffisamment au tube.
134. Variation du coeffLcient de frottement du mercure avec la température. Expériences de S. Koch. — S. Koch (*) a opéré dans des limites de température très étendues.
L'appareil est tout entier en verre. Le tube capillaire ab est soudé à deux tubes larges A et B; sa longueur est de 4<'>""« H est entouré par une étuve qui déborde de 3*^'" de chaque côté ( fig. 3(>); deux écrans protègent les tubes manométriques A et B contre le rayonnement. Le tube B porte à sa partie supérieure deux étranglements a et p servant de repères et comprenant entre eux une partie cylin-
(') Wied, Ann., l. \IV, 1M81, p. 1.
CIIAP. II. — EXPÊRIF.NCES SUR LE FROTTEMENT INTÉRIEUR DU MERCURE. l49
driqiie large G dont le volume est celui qu'on doit faire écouler au travers du tube capillaire; les passages du mercure aux repères a et ^ marquent le commencement et la fin de chaque expérience.
Fig. 3o.
Lcran
Ccrtn
Pour porter le tube capillaire à loo", on faisait circuler dans Tétuve de la vapeur d'eau ; la température o" ou les températures inférieures étaient obtenues en immergeant le tube à une profondeur d'au moins 5*^" dans de la glace ou dans un mélange réfrigérant.
Grâce à la disposition de l'étuve, la température est bien constante dans tout le tube capillaire, car l'écoulement est très lent.
Aux températures élevées, S. Koch emploie une étuve spéciale employée déjà par von Babo (*). Une coupe de cette étuve est représentée figure 3 1 . Elle est formée de feuilles de tôle recourbées, superposées, comprenant entre elles des espaces pour la circulation des gaz, et ouvertes alternativement en haut et en bas. L'appareil à chauffer est entouré par les gâz de la combustion, mais protégé par deux tôles contre la flamme directe de la rampe à gaz D, et même contre le rayonnement de la première tôle. En A, B, G on voit la coupe : i" d'un thermomètre à air; 2" du tube capillaire; 3" d'un régulateur de température.
La température maxima à laquelle on ait opéré a été de 34o"; ou pouvait l'atteindre en une heure. Des températures supérieures à 3oo^ restaient constantes à moins de a® pendant 5 heures.
(*) Berl. Bericht., t. XIII, 1880, p. 1219.
Dans la comparaison des durées d'écoulement aux diverses températures, il y a une correction à faire. Les durées sont rapportées à la même masse de mercure, celle qui remplit le volume compris entre les repères a et ^ à o'*; mais ces masses n'occuperaient pas le même
Fig. 3i
A, thermomètre à air.
B, tube capillaire.
C, régulateur de pression.
D, bec de g*iz.
volume aux diverses températures auxquelles on porte successivement l'étuve; or, dans la formule qui donne le débit, il faut toujours introduire le même volume d'écoulement, c'est-à-dire, au lieu de la
masse Q précédente, introduire le volume — > o* étant la densité du
mercure à la température de l'écoulement, et ramener ainsi toutes les mesures au même volume.
135. Résultats. Formule de Koch. — L'ensemble des mesures de Koch, faites sur les différents tubes entre les limites extrêmes : — 18** et 340", se résume bien à Taide d'une formule à 4 termes :
jx,= o,oiG969[i — o,oo3 8926/ -+- o, laS. 10-»/* — i ,44' 10-'/']. Celte formule donne pour ijl les nombres suivants :
Tcmrératures.
Valeurs de (jl en C.G.S.
3oo o , 00928
Les écarts entre les valeurs observées et les valeurs calculées à l'aide de la formule ne dépassent généralement pas i pour 100.
CHAP. II. — EXPÉRIENCES SUR LE FROTTEMENT INTÉRIEUR DU MERCURE. l5l
En considérant le Tableau des nombres précédents, on voit que la variation de ijl est très rapide au voisinage de o", et décroît quand la température s'élève. Elle est lente entre 3oo" et 34o**, plus de 5 fois plus lente qu'au voisinage de o".
C'est d'ailleurs une règle générale pour les liquides : les variations de [À décroissent rapidement quand la température s'élève.
Soit T la température absolue, faisons le produit par [jlT; les nombres précédents nous donnent :
T. jxT.
loo 4P7
aoo i,So
3oo 5,32
Ce produit varie peu au voisinage de o" : \l varie à peu près comme l^ inverse de la température absolue.
136. ExpérienceB de Schweidler. — Schweidler ( * ) a fait des expériences sur le mercure pur et sur divers amalgames à 20", 4o", 60"; il a proposé la formule suivante :
Voici le Tableau des valeurs de a et |3 :
ix„. 10* a. 10' p.
Hg pur 0,001579 3*25 66
H}; à 2 pour 100 Cd i65'2 364 i3i
Hg à '2,8 pour 100 Gd 1691 36o i53
Hg à I pour 100 Pb 16-27 365 196
Hg à 0,6 pour 100 Zn 1639 ^^^ '>9
Hg à 0,5 pour 100 Gu 0,0016-20 3o2 25
On voit la grande importance du terme en t^\ la courbure est très prononcée pour chacun de ces liquides. On voit aussi l'influence des matières étrangères; une très faible proportion de métal étranger (Zq, Cu) abaisse le deuxième coefficient d'une quantité très notable, et redresse la courbe.
On peut alors se demander ce que signifient les nombres relatifs au mercure supposé parfaitement pur, dans les expériences de Koch
(») Wien, Ber„ t. CHI, 1.893, p. 378.
l52 LIVRE II. — LES LIQUIDES.
comme dans celles de Schweidier. Recherchons, par exemple, à
quelle température on trouverait, pour — -^> le coefficient de dilatation des gaz o, ooSB-j :
Pour le mercure, ce serait à — lo environ
Pour les alliages avec Cd ('2,5 pour loo). -+- 20 » » Zn(y5nûrZn) — 35 »
» Gu(ï^Cu) — MO »
Les variations sont énormes et il suffit, pour les produire, de très faibles quantités de matières étrangères; comme pour la résistance électrique des métaux, la loi de la présence de matières étrangères produit, dans la variation avec la température, des perturbations considérables.
D'après les nombres de Schweidier, on voit qu'il n'y a pas moyen de comparer les coefficients de viscosité des diverses substances. Les courbes de variation avec la température ont, en effet, des allures tout à fait différentes et l'on ne sait, dans ces conditions, quelle température il faudrait choisir pour faire la comparaison.
137. Expériences de Bénard. — A l'occasion du cours, M. Bénard, alors préparateur au Collège de France (janvier 1899) a répété, pour le mercure, des expériences que PoiseuiHe avait faites sur l'eau distillée.
Calibrage des tubes. — Cette opération a été effectuée avec le plus grand soin. On a employé l'appareil ordinaire comportant deux microscopes à réticule; les glissières portaient un vernier au j^ de millimètre. Dans les tubes conservés, les plus grands écarts entre les racines carrées des sections extrêmes ont été moindres que 75^.
Les seules valeurs absolues adoptées pour la section moyenne ont été obtenues avec des pesées au mercure ; il a fallu, pour les tubes fins, remplir dix ou quinze fois chaque tube pour obtenir quelques décigrammes. Le tube n'était pas rempli complètement; la distance des deux ménisques était lue à l'appareil de calibrage, et l'on additionnait les longueurs obtenues. Le microscope d'Amici employé pour l'observation des bouts du tube, ou plutôt des extrémités des parties détachées, n'a servi qu'à donner les valeurs relatives des axes des ellipses. Les valeurs absolues des diamètres prises au microscope ont concordé d'ailleurs d'une façon très satisfaisante avec celles qui résultaient des pesées. L'ellipticité a été très faible en général.
CHAP. II. — EXPÉRIENCES SUR LE FROTTEMENT INTERIEUR DU MERCURE. l53
La longueur des tubes a été mesurée à l'aide d'une règle de Gambey (étalonnée au pavillon de Breleuil) ou d'un pied à coulisse (avec vernier au j^) pour les tubes courts.
Pour le calcul des éléments du tube, on a procédé de la manière suivante :
i" On a calculé, d'après les résultats fournis par les pesées, la valeur moyenne de la section et, par suite, la valeur moyenne de
s/ab^ a ei b étant les demi-axes de l'ellipse de la section;
2" Cette valeur de la section moyenne admise, on a calculé, d'après le calibrage, la valeur des sections moyennes de chaque segment du tube occupé successivement par la goutte de mercure dans le calibrage, puis les diamètres moyens correspondants;
3" La valeur moyenne de l'ellipticité des deux bouts déterminée directement a été admise pour celle du tube entier. On en a déduit pour
chaque segment la valeur de — — r-, qui joue le rôle de /•* (voir
le cahier d'expériences).
138. Montage des expériences. — L'appareil est dessiné ci-dessous (Jig- 32); il est, comme on le voit, presque identique à celui de Poiseuille.
Fig. 3a.
Récipient à air oompmiw et manotnitpc à «in libre (ànercure)
Tubel
a(R«p4r«) ^(Repêrelh
rotw pe uplrsiAs ôTftip Ubr«
^ Joint en caouichèue
Ampoule
Joint en ""caoutchouc
rube large (*è6«.*)
Bâm " d'eau ^F ^ EirïE =
rTziMeeUguage-^ j::^:^
z=. Tttbe capillaire.
Les deux tubes à comparer dans une expérience sont tous les deux placés dans le même bain, ajustés chacun à un couple de deux flacons. Le remplissage a lieu par aspiration. L'appareil est disposé dans le bain longtemps à l'avance, et pendant l'expérience on a pu maintenir la température constante à o", i près, ce qui est très suffisant.
La même ampoule a servi pour les différentes expériences ; quand l'écoulement était terminé pour un tube, on la démontait pour la
l54 LIVRE II. — LES LIQUIDES.
reporter sur l'appareil portant un autre tube (elle était adaptée par de simples points de caoutchouc à vide).
On n'a pas cherché à maintenir la pression constante, mais à évaluer avec le plus de précision possible la pression initiale et la pression finale. Leur diflférence, due surtout à la descente du niveau dans l'ampoule et à sa légère élévation dans le tube large, a été d'environ gciii ^ gciii jg mercure (elle était un peu augmentée par les légères fuites du réservoir à air comprimé). Il faut donc opérer sous des pressions assez considérables pour que la méthode de Poiseuille, qui consiste à admettre que l'écoulement a eu lieu sous la pression moyenne, soit applicable. La vérification au j^ de la loi des pressions, pour des pressions moyennes de ^ et i atmosphère, a justifié ce mode d'évaluation de la pression moyenne pour ces ordres de grandeur.
139. Marche et calcul d'une expérience. — Avec un même cathétomètre, on lit :
i" Le niveau du repère supérieur a H^
2" Le niveau du mercure dans le large tube B au moment où le mercure passe au repère supérieurs (commencement de l'expérience) N|
3" Le niveau du repère inférieur p H/
4<* Le niveau dans B à la fîn de Técoulement (quand le
mercure passe en ^ ) Nt
Comme on mesure le débit total fldt^ la pression moyenne cor-
respondante est — / Pdt; il faut donc déterminer P en fonction du
temps.
Pour cela le manomètre à mercure est lu à intervalles réguliers si l'opération est longue.
La capillarité de l'ampoule à été étudiée directement. Pour cela,
Fig. 33.
fni
D«pr«asion
on a déterminé, dans une expérience préliminaire, la variation de la dépression capillaire {Jig' 33) en fonction de la hauteur au-dessus du
CHAP. II. — EXPÉRIENCES SUR LE FROTTEMENT INTÉRIEUR DU VERCURE. l55
repère p; puis, pendant une expérience d'écoulement avec un tube particulier, on a déterminé la variation du niveau dans Tampoule en fonction du temps, l'écoulement étant fait sous pression constante et, par conséquent, sous débit sensiblement uniforme. On a déduit de ces deux expériences la variation de la dépression capillaire en fonction du temps, sous débit uniforme {fig- 34).
Fig. 34.
Cette courbe, construite avec soin, a donné o""", 3i , comme dépression moyenne pour l'ampoule employée. On remarquera le peu d'influence des tubes étroits, à cause de leurs faibles diamètres, un peu inégaux, et la dissymétrie de la courbe, due au ménisque.
Cela posé, la pression initiale moyenne non corrigée de la dé-
pression capillaire est
P, = pression initiale du manomètre -H H, — N|.
La pression finale Pj est
P2= pression finale du manomètre -f- H/ — Nj.
La pression motrice moyenne peut donc être prise égale à
en tenant compte cette fois de la dépression capillaire.
La correction des bouts n'a pas toujours été négligeable; on a seulement fait la correction due à la perte de force vive; cette correction
diminue la pression efficace d'un terme -^^ {voir plus haut n** 118).
