CHAPITRE IV. — LE RÉGIME DE POISEL'ILLE ET LE RÉGIME HYDRAULIQUE

173. âtude de la Taiiation de débit d'un même tube, sous la même pression, à diverses températures. — On a répété les expériences de Hagen ( ' ).

Les limites de température doivent être suffisantes pour que le tube présente successivement les deux régimes réguliers avec la période troublée entre les deux. On a choisi les dimensions suivantes pour le tube capillaire :

Longueur 60

Diamètre

cm

Ce tube BC a été adapté horizontalement à un vase de Mariotte de manière à maintenir la pression bien constante (20*^™ d'eau) {fig* 54)-

Fig. 54.

Lunctta

Le tout, plongé dans une grande cuve remplie d'eau pour obtenir une température déterminée et bien constante. Le tube capillaire sort de la cuve à travers un bouchon.

La pression de 20^'" d'eau a été repérée chaque fois sur le tube vertical du vase de Mariotte et maintenue constante, à o"'",5 au moins. Ce tube était toujours enfoncé de la même quantité dans le vase de Mariotte, de manière que son extrémité effilée fût toujours exactement à la même hauteur au-dessus du fond du vase. La constance de sa position à o™", 3 près assurait la constance de la pression à j~^ près (en négligeant la variation de densité de Teau).

(') Leçon du 4 février 1H99.

On recueillait dans une éprouvelle graduée Feau écoulée pendant 60 secondes. La lerapéralure adoptée était celle de Teau écoulée prise à l'instant même où on la recueillait.

Une seule courbe a été tracée entre 4° et 60**; elle a la forme signalée par Hagen. La figure 55 la représente.

Fi g. 55.

; Intervalle où on a obseK- •vé des battements !

o:<t 6810 H 18 22 26 30 3tf 38 tô ^ 50 5<^ 58 62

De9rés centigrades

Les deux régimes et la période troublée y sont nettement visibles. /Vu début, régime de Poiseuille; les débits croissent rapidement avec la température. Les troubles commencent vers 22"; le débit maximum est atteint et la période des battements commence. Le débit décroît lentement, passe par un minimum vers 4o"' et remonte lentement ; vers 5o", on a encore de faibles battements. A 5o", le régime hydraulique s'établit régulièrement; le débit croit lentement avec la température.

Le débit maximum a été de 270*'°'': le minimum de 254*^"". Pour obtenir un écart plus grand avec le même tube, il aurait fallu opérer sous une pression plus élevée.

On remarquera que la courbe des débits en fonction de la température reste bien définie et régulière dans tout l'intervalle où les deux régimes alternent visiblement. Cela montre que la durée relative des deux régimes est une fonction bien définie de la viscosité sous chaque pression, et pour chaque tube; la période complète, comptée depuis l'établissement du régime de Poiseuille jusqu'à son premier retour, est également bien définie à chaque température.

CHAPITEB IT. — LC KEGIIIE DE POISEIILLE ET LE KEGIIIE HTML^l UQtK. H>9

m. — iiATAiiz roiMiB unmas.

176. Calcul approché do débit limite qpii marqoe Tappaiitioii des mouTements ondulatoires. — Rappelons les équations générales du mouvemenl des liquides visqueux dans le cas où les \ilesses de déformation sont assez faibles pour que les forces de frottement soient des fonctions linéaires des déri\ées premières de ces vitesses. On a, pour un liquide pesant :

dp . (Ou au du àu\

àx * ' \ di ôx Ov oz '

' ffp / aç (fv ftv c>t' \

^^ i oy ' ' \ Ot àx ov as f

ûp , OtP ow mv (^«»\

ÔZ ' * ' ' C// liX ÔY OZ /

Ou Ov OW âx ay os

La solution générale du problème serait fournie par l'intégration rigoureuse des équations en tenant compte des données à la surface limite. On ne sait la faire malheureusement que dans des circonstances particulières, par exemple quand le mouvement est parallèle à Taxe d'un tube cylindrique. On obtient alors le régime de Poiseuille qui est le régime stable pour les très faibles débits. Mais le problème vrai serait sensiblement différent ; le liquide s'étend bien au delà du tube, en amont dans le \ase qui le fournit, en a\al dans le réservoir qui le reçoit. C'est toute la masse du liquide qu'il conviendrait d'étudier depuis la première surface libre jusqu'à la seconde, en tenant compte de la forme des parois.

Nous avons cherché à évaluer Tinfluence des orifices d'entrée et de sortie du tube (n"' 113-118), seulement en supposant que le régime de Poiseuille est le régime stable et naturel dans presque toute la longueur du tube; mais nous n'avons pas pu examiner cette question de stabilité.

Or on ne sait pas, au point de vue mathématique, si, dans le cas

simple de Tétat permanent ( "77 = 57 = "JT =**)' 'es équations (1),

non linéaires, ont une solution unique, pour des conditions aux

limites déterminées, ou si elles ont un nombre fini de solutions, d'inégale stabilité.

aïO LIVRE II. — LES LIQUIDES.

On ne sait donc pas si le régime hydraulique obéit aux équations (i), ou s'il exige des équations difîérentes; les théories hydrauliques ont toujours été développées en adoptant des relations non linéaires entre les forces de frottement et les vitesses de déformation; mais cela ne prouve rien : les cours d'eau réels, auxquels ces théories sont destinées, ont des parois très irrégulières, soit simplement rugueuses, soit tapissées de roseaux et d'herbes ; ce qu'on appelle un état permanent est seulement un état assez régulièrement troublé au voisinage des parois; on se contente de considérer des éléments de volume assez grands, et des éléments de temps assez longs pour que l'état moyen soit permanent. Comme on fait entrer dans les forces de frottement moyen tout ce qui provient des troubles nés à la paroi et propagés vers l'intérieur, on est conduit, non seulement à des relations non linéaires, mais, pour l'intérieur du liquide, à des relations non spécifiques, en ce sens que les coefficients contiennent encore la position de l'élément par rapport à la paroi, et la nature de la paroi.

Rien ne permet de croire que les équations des hydrauliciens soient différentes de ce que donneraient les équations (i) (à viscosité linéaire) si l'on réussissait à analyser les troubles, périodiques ou non, qui naissent à la paroi, avec assez de précision pour former des valeurs théoriques des moyennes (*). Au contraire, la naissance du régime hydraulique dans les tubes de verre parfaitement lisses donne à penser que les équations (i) doivent suffire.

C'est à ce point de vue que s'est placé M. Osborne Reynolds au début d'un Mémoire expérimental important sur les causes du changement de régime f^).

Supposons que le caractère du mouvement dépende d'un seul paramètre de vitesse U, la vitesse moyenne le long du tube, et d'un seul paramètre linéaire c, le rayon du tube; éliminons les pressions des équations i, par des dérivations croisées; il reste des termes de deux types; ceux qui proviennent des frottements ont en facteur

(^) Indiquons seulement les Mémoires de M. Boussinesq ( Théorie des eaux courantes, Sav. Etr.), de M. Maurice Levy ( Thèse) et de O. Reynolds {On the dynamical theory of incompressible viscous Jluids and the détermination of the criterion, 1895 ).

(*) Phil. Trans. B, Soc. of London, Vol. 174, i883, p. 905, et Scient, papers, t. II, p. 5i.

CHAPITRE IV. — LE RÉGIME DE POISB U I LLE . ET LE RÉGIME HYDRAULIQUE. 211

et ceux qui proviennent des accélérations ont en facteur

L'importance relative des deux groupes de termes dépend du rapport

pcU

de ces deux coefficients.

La formation d'ondulations et le changement de régime doivent donc se produire au voisinage d'une valeur déterminée

pcU

= const.

de ce rapport purement numérique.

Ce raisonnement toutefois prête à une objection; un tube est défini par deux paramètres linéaires, sa longueur et son diamètre; Reynolds ne s'occupe que de ce dernier. Si la longueur intervenait aussi, le critérium de stabilité prendrait la forme générale

P^ÏJ .. .

^ " ' — const.,

y étant une fonction à déterminer.

La règle de Hagen

^ — =— = const,

en serait un cas particulier.

Toutefois, dans les tuyaux très longs, l'établissement du régime

hydraulique est indépendant de la longueur, et la fonction fijp

évidemment variable lorsque / diffère peu de c, devient certainement constante comme le suppose implicitement Reynolds pour les très

petites valeurs de j- C'est d'ailleurs ce qu'ont montré ses expériences.

Plus tard (^) M. Reynolds a même réussi à montrer, d'après des considérations purement théoriques, d'ailleurs assez grossières, que sa constante critique est au moins égale à 5 17.

(*) Ph. Trans,, 1895, et Se. pap., t. II, p. 535.

177. Expériences d'Osbome Reynolds. Premier appareil. — L'appareil se compose d'un tube en verre AB, ayant i™, 5o de longueur, placé horizontalement à l'intérieur d'une cuve un peu plus longue (2"), à paroi de verre, pleine d'eau {^fig- 56).

Fig. 56.

Le tube est terminé à son extrémité amont par un pavillon P en bois verni, large à l'entrée, qui se raccorde sans discontinuité avec le tube. A l'autre extrémité, qui traverse la cuve en B, est adapté un tube d'acier recourbé verticalement, DR, terminé par un robinet R que commande un levier très long L. Le débit réglé par le jeu du robinet R est mesuré approximativement par l'abaissement d'un flotteur F qui entraîne une aiguille C devant un cadran divisé.

Un filet d'eau colorée par du permanganate de potassium s'écoule du flacon V par le tube fin abde dont l'extrémité effilée e débouche devant le pavillon P. Ce tube fin est interrompu en c et les deux morceaux sont reliés par un joint en caoutchouc qu'une pince peut serrer plus ou moins pour régler le jet coloré.

Quand le débit est très faible dans AB, le jet coloré se meut bien parallèlement à l'axe du tube, sans s'élargir, se rétrécir ni se mélanger (/^. 57).

Si le débit augmente, on voit le jet coloré, d'abord droit sur une certaine longueur, se brouiller brusquement à quelque distance de

CHAPITEB IV. — LE REGIME DE P0I8BU1LLE ET Ll RÉGIME HYDRAULIQUE. ai3

l'entrée, et le liquide coloré se diffuser rapidement dans toute la partie du tube située en aval. En éclairant avec des étincelles électriques, on voit qu'à Tendroit où le jet cesse d'être régulier se

Fig. 07.

forment des tourbillons très déliés et l'on 'observe l'apparence de la figure 58.

Le point ^ où commencent les tourbillons est d'autant plus éloigné

Fig. 58.

2* ^ ss i^uV"

de l'entrée P du tube que le mouvement est plus lent. Mais de toute façon, grâce à la présence du pavillon, la longueur a^ de jet régulier est toujours assez grande.

A. température constante, d'après les observations faites sur trois tubes de 25"", 12"", 5 et 6"" de diamètre, la loi limite parait bien être

YT— = const.,

c étant le diamètre.

Cependant Reynolds, dans ce groupe d'expériences, n'a pas fait varier la longueur des tubes. Rien ne prouve, à la rigueur, que la constante ne dépende pas de /.

Dans d'autres expériences où il a fait varier la température, Reynolds a trouvé que Teipression

reste constante à jg près au moins (P représente le polynôme de Poi-

seuille : P= i-+-ar-i-û^* = — V

Ko/

178. Deuxième appareil. — Les expériences qui précédent ne suffisent pas à établir incontestablement la constance du produit Uc relative au débit limite; car l'observation du régime par l'apparence

du jet coloré n'est pas assez précise. Aussi M. Osborne Reynolds a-t-il repris Tétude de cette loi avec un autre appareil {^g- 09)-

Un tube de plomb EE', où l'on étudie le débit, reçoit l'eau de la ville, par le tuyau BC muni d'un robinet A; la jonction est faite par le tuyau de caoutchouc CD. Entre le robinet A et ce tuyau de

Fi g. 59.

caoutchouc se détachent du tuyau BG deux tuyaux plus petits : l'un, P, est terminé par un tube de caoutchouc partiellement fermé par une pince r, de manière à régulariser le débit dans le tube EE'; l'autre tuyau, Q, est lié par le caoutchouc QU à un manomètre US à air comprimé qui indique par la constance de son niveau si le débit reste constant.

Le tube EE' a environ 6™ de long; deux tubes plus étroits ont été soudés perpendiculairement sur lui, l'un G tout près de l'extrémité, l'autre F 1™, 5o en arrière; ils sont reliés à l'aide de caoutchoucs aux deux branches H et N d'un long tube en U qui contient en KLM du mercure ou du sulfure de carbone, tout le reste étant plein d'eau. La différence des niveaux K, M permet de calculer la chute de pression de Fà G si l'on connaît la densité du liquide en KLM. Le niveau K est pointé à l'aide d'un microscope, au ^ de millimètre.

Enfin, le débit est évalué de la manière suivante : le liquide qui sort du tube EE' par le robinet R est reçu dans un vase V où le jet est brisé par une toile métallique T. Ce vase est percé au fond d'une ouverture O pratiquée en mince paroi par où le liquide s'écoule. Le