PREMIERS ESSAIS DE THÉORIE

241. NavierC»). — Principes. — La première tentative théorique, celle de Navier, est une modification de l'hypothèse des actions à distance, fonctions de la seule distance, entre molécules en équilibre.

« Nous admettrons que, dans un lluide en mouvement, deux molécules qui s'approchent l'une de l'autre se repoussent plus fortement, et que deux molécules qui s'éloignent l'une de l'autre se repoussent moins fortement qu'elles ne le feraient si leur distance actuelle ne changeait pas; et nous prendrons pour principe, dans les recherches suivantes, que, par l'effet du mouvement d'un fluide, les actions répulsives des molécules sont augmentées ou diminuées d'une quantité proportionnelle à la vitesse avec laquelle les molécules s'approchent ou s'éloignent les unes des autres. »

Même supposition pour les actions entre les molécules du fluide et celles des parois.

Ces actions, comme les actions moléculaires, ne sont supposées sensibles qu'à très petite distance; les molécules, étant très voisines, auront des vitesses très peu difl^érenles; leur action, qui dépend de la

(') Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, p. 389-440 {Mém. de l'Institut, t. VI, 1823 ).

9'2 LIVRE IV. — THÉORIES MOLKCLLAIRES. — CONCLirSION.

vitesse relative, très petite, lui sera proportionnelle :

De là, Navier arrive facilement, par des calculs semblables à ceux qu'il avait déjà faits en 1821 pour l'élaslicité, à la résultante de toutes ces actions sur un élément de volume Hxdvdz :

db\

suivant x^ avec

en posant

( A// H- 2 T- ] dxdydz.

^ du dv àw ôx ôy Oz

Quant à la paroi, la résistance qu'elle oppose est alors proportionnelle à la vitesse relative 11 du fluide en contact et égale à E//, en posant

dr .

OÙ F (/') 777<^*^^ l'aclion mutuelle de viscosité entre une molécule du

liquide et une file de molécules de la paroi.

Ce qui conduit aux équations mêmes que nous avons adoptées.

Navier n'indique d'ailleurs nullement comment peut se produire une telle action; il l'introduit, comme on l'a vu plus haut, à titre d'hvpothcse suggérée et presque commandée par les faits.

Puis Navier en fait l'application, d'abord à un tuyau rectangulaire (Ânn, C/t. Ph,y t. XIX, 1822) et seulement l'année d'après (Mém. de rinsl., 1823) au tuyau circulaire, en passant dans Tun et l'autre cas par de longs et pénibles développements en série, parce qu'il traite de l'état variable à partir d'un état initial quclcon(|ue.

Il obtient, pour l'étal pernianent dans un tube circulaire de section très petite, l'expression suivante de la vitesse moyenne L :

a „/ KK\'

OÙ - — - est la (îhute de pression par unité de longueur, et R le rayon

du tube supposé très petit pour réduire un développement en série à ses premiers ternies.