II

!+(£,) = o, (Z,) = o, (Z,) = o, etc.

et on remplira ces conditions en faisant simplement

>1=0, • a', = o , etc. A,C»-‘) — o ,

et de plus ,

kWF' (zC»)), 4. , — o.

Ceci revient à la solution donnée dans le tome quatrième des Mémoires de Turin.

En général soit V une fonction quelconque des variables f > y> z> *> etc- et de leurs dérivées d’un ordre quelconque, à 1 exception de x , dont la dérivée soit supposée l’unité; et soient L — o, M ~ o, etc. des équations de condition entre ces variables et leurs dérivées, dont le nombre ne surpasse pas celui des variables diminué de deux unités, afin qu’il reste des relations indéterminées entre les mêmes variables.

Le problème de maximis et minimis, dont il s’agit ici consiste à déterminer ces relations de manière que la fonction primitive de V devienne un maximum ou un minimum entre des limites données, correspondantes à des valeurs données de x.

Pour le résoudre de la manière la plus générale , on cherchera les variations des fonctions V, L, M, etc. , ’dues aux variations de y, z, t, etc., et désignant ces variations par / , L, M, etc., on considérera la formule

/ -f- à L -f- (/. M -f- etc. ,

dans laquelle A, p , etc. sont supposées des variables indéterminées.

On fera sur cette formule les transformations enseignées plus haut , par lesquelles les fonctions dérivées des variations

y, z, t, etc. ne paraissent plus que dans des ternies qui sont des fonctions dérivées exactes. Elle deviendra ainsi delà forme