Zz 4 ~ Zt! 4* Z zn etc. j
c’est la valeur qu’il faudra substituer dans l’équation aux limites
£rt— fr0 = o.
Si on veut que x varie aussi , on changera y et z en y — y x, z' — z'x, et on ajoutera à Ù le terme Vx.
Reprenons l’équation Yy 4- Zz = 0. S’il n’y a aucune relation donnée par les conditions du problème , entre x et y, leurs variations seront indépendantes l’une de l’autre, et on ne pourra vérifier l’équation dont il s’agit qu’en faisant séparément
CALCUL
deux équations qui serviront à déterminer y et z en fonctions de x.
Mais si les variables y et z étaient liées par une équation de condition entre x, y, z, que nous représenterons par
il faudrait tirer de cette équation la valeur de z en x et y, et la substituer dans l’expression de V\ mais pour faire
usage de l’équation Yy -f- Zz = o , il suffit d’avoir le rapport entre les variations y et z\ et pour cela il n’y a qu’à considérer que la relation entre les quantités x,y , z devant subsister aussi dans l’état varié, l’équation F(x,y, z) = o devra avoir lieu aussi en y mettant x -f- ix au lieu de x, et
y + iy ~h — y + etc. , z -f- iz -f- — z -f- etc. au lieu de y
et z, quelle que soit la quantité i. D’où et de ce qui a été démontré dans les premières leçons , il est facile de conclure que les dérivées de cette équation, relatives aux variations de x,y, z, devront avoir lieu aussi. Desorte que l’équation de condition F (x, y, z) = o donnera les équations variées
F(x>y> z) = °> F(x,y,z)=o, etc.
Or en regardant x comme invariable , on a
F(x,y,z)=jn^)+âf:v(*),
puisque l’algorithme des variations est le même que celui des dérivées. Ainsi on aura l’équation
yF'(y) + zF'(*) = o,
d’où l’on tire le rapport de y» à z, lequel étant ensuite substitué dans l’équation Yy -j- Zz = o du maximum ou mi—
des FONCTIONS.
nimum , donnera celle-ci
YF\z) - ZF\y ) =o;
qui étant combinée avec l'équation de condition F(x,y, z)~q servira à déterminer les valeurs de y et z en x.
Nous avons supposé dans le calcul précédent que x ne variait pas. Si on voulait tenir compte des variations de x
on aurait à la place de l’équation Yy -j- Zz = o , celle-ci :
Or l’équation de condition F(x,y, z) = o donnerait d’un côté 1 équation dérivée
+y'F\y) + z'F'(z)=o; et de 1 autre l’équation variée
xF' (x) +ÿF'(y) + zF'(z) = o;
siüistituant dans celle-ci la valeur de F'(x) , tirée de la précédente, on aura
yi)F'(j) -f- ( z-z'x ) F\z) = O.
Et cette équation combinée avec l’équation ci-dessus, donnera également l’équation
YF\z) — Z F' {y) — o.
On voit par là , en général, que la variation de x, x n’influe que sur l’équation aux limites, et nullement sur l’equation générale du maximum ou minimum.
Supposons maintenant, pour embrasser le problème dans toute son étendue , que l’équation de condition entre x,yt z contienne aussi les dérivées de y et * et soit en général de la forma
F(x, y> y. /, etc. z> *'» *■", etc. ) — o»
On tirera de là l’équation variée
F (.oc, y, y', y", etc. z, s', z", etc.) = o ,
laquelle , en n’ayant égard qu’aux variation* de y, z, #e développera ainsi :
ÿF(y) + ÿF‘(y}+y"F'(y") + etc.
-f iF'(z) 4- z F'(z') 4- z"F' (z") -f- ëtc. = o.
Comme les dérivées de z ne paraissent dans cette équation que sous la forme linéaire, il est possible d’en déduire l'expression de z , en employant la méthode des multiplicateur* et prenant successivement les fonctions primitives; mais de cette manière on entre dans des calculs longs et compliqués, et il est beaucoup plus simple d’employer les multiplicateurs , de la manière dont on en a usé datas la Mécanique analytique qui est toute fondée sur le calcul des variations.
On se contentera donc de multiplier le premier membre de cette équation par un coefficient indéterminé K , et de
l’ajouter a l’expression précédente de la variation V, en ayant soin en même temps de transformer tous les nouveaux tenne* de manière que »les fonctions dérivées des variations^ et z ne se trouvent que dans des fonctions dérivées exactes , comme
on l’a pratiqué à l’égard des termes de la valeur de V. On aura ainsi une nouvelle expression de V, dans laquelle on pourra maintenant traiter les variations de y et zt comme indépendantes, à raison de l’indéterminée A.
Soient, pour abréger^
(K) = x F'(y ) - CxF'(/)J + [xF'(/)]' -, etc.
CH = *F'Ç/) - [AF'(/)J + etc.
(F) = xF'(/) — etc.
etc.
(Z) = x F'(z) - [xF'(z')T + [>*"003* - etc.
(Z) =xF(0 — [xF'O")]' + etc.
(Z) =iF'(î’)- etc.
Les termes à ajouter à l’expression de la variation V, seront CY)y + (Z) i
+ (c hÿ; + (my + etc.
+ ((h *y + ((zÿy + etc.
Donc , puisqu’on peut maintenant regarder les variations y et z comme indépendantes , on aura d’abord , parles principes posés ci-dessus , les deux équations générales dn maximum ou minimum ,
entre lesquelles il faudrait éliminer l’indéterminée x ; et l'équation résultante, combinée avec l’équation de condition donnera les valeurs de y et z en x.
Ensuite la Variation Ù deviendra
u = (v+ ch y+{r+(ÿ))ÿ + etc.
+ (Z + 0 Z))i + (Z+ (Z)Ÿ + etc-
46 4 CALCUL
valeur qu’on substituera dans l’équation aux limite*
Ù, — Va — o.
Si on veut avoir égard en même t mps à la variation de x , on ajoutera à Ù le terme Vx, et on changera les quantités
y , z et leurs dérivées en y — y' x , z — z'x , et dans les dérivées de celles-ci.
Il faudrait, à la rigueur, dans ce cas, ajouter à la valeur
de V le terme h(xF(x, y, . . . ) }', d’après les formules trouvées plus haut pour la valeur complète de la variation de x'F (x,y, ...).
Ce terme se transforme en (>.xF(x,y,. . .))' — .'xF(x,y. . .); mais il disparaît ici en vertu de l’équation F(x, y. . . ) = o. Il faudrait néanmoins le conserver si l’équation de condition
n’était donnée que par l’équation variée F(x, y.. — o.
Dans l’équation aux limites, on pourra regarder aussi les variations x , y et z , ainsi que leurs dérivées , comme indépendantes , à moins que la nature du problème ne donne aussi des conditions particulières aux limites.
Supposons , par exemple , que l’on ait une ou plusieurs équations de condition entre les quantités x, y, y', y", etc.
z, z', z", etc. , 1 rapportées aux deux limites , c’est-à-dire entre les quantités x0, ya, y0', y’, etc. zŒ) z„', z0", etc. Xi, y,, y', yî, etc. z,, z/, z,", etc. , et que le maximum
. ou minimum ne doive avoir lieu que parmi les fonctions qui , prises entre les limites données , satisfont à ces conditions ; il faudra que les mêmes équations subsisteût dans l’état va- . .. ..
rié , c’est-à-dire en y mettant x -f- ix, y -j- ly -j--y-j-etc./
b -f- iz + - z -f etc. à la place de x , y, z| parconsequent
on aura aussi les variations de ces équations , comme uous l’avons déjà vu plus haut.
Désignons par
etc. z.,z/, etc. xt>yl}y', etc. z, , z/, etc.) =o,
une
une de ces équations de condition ; elle donnera l’équation variée
x'oO' (r„) +â0«f,(z0) +jo'*' (ye') +etc.
-f- x,<t>'(x,) +>1 ♦'O'O +*i®'(*i)+ÿl'®,(>i,)4-etc.=o.
On multipliera cette équation et les autres semblables par des coefiiciens indéterminés et, /3, etc. , et on les ajoutera à l’équation des limites données ci-dessus, après quoi on pourra traiter toutes les variations
, ÿo , ÿo,ÿ", etc. y , , y', y', etc. z, , */, z,", etc.
comme indépendantes , et égaler à zéro chacun de leurs coeflîciens , ce qui donnera autant d’équations particulières aux limites qu’il y aura de ces variations. On satisfera ensuite à ces équations par le moyen des coelliciens arbitraires a. , etc. et des constantes arbitraires qui entreront dans les expressions de y, z en x.
A l’égard des variations z0 , z/, etc. z, , z,', etc. il est bon de remarquer que la fonction z étant donnée par une équation dérivée , si cette équation est de l’ordre n par rapport à z, les valeurs de z, z', z", etc. z(n— ‘J, correspondantes à une valeur donnée de x, seront arbitraires, et devront être déterminées par les conditions du problème. Ainsi, en rapportant ces valeurs à la première limite , il faudra regarder les quantités z0, z/, etc. zcC«— O comme des fonctions données
de xe, ya, yô, etc.; donc les variations z0, z0', etc. seront aussi données en fonctions de x0,y0,yé, etc. multipliées par
les variations x0, y0,yj, etc. Alors les variations z,,z,'
z", etc., qui se rapportent à la seconde limite, seront absdf lument indéterminées , et il faudra les faire évanouir en éga lant leurs coefllciens à zéro.
On pourrait demander que la fonction z donnée par 1 equa-
466 CALCUL
tiou de condition fût elle-même un maximum ou un minimum. Il n’y aurait alors qu’à supposer U = z , et parconséquent V — z' .
On aurait donc dans ce ca3
f(.y)= o, f(/)=0, etc. f'(z)=o, f(z')=i, f'(z,r)—o etc. » »
Donc
Y ■=. o. Y — o, etc. Z = o, Z — 1 , Z— o, etc.
Les équations générales du maximum ou minimum seraient donc simplement
On aurait ensuite
Û=(Y)ÿ + ( Ÿ)y' + etc.
+ (i+CZ)>+(Z)i'+etc.
L’équation (Z) = o servira à déterminer la variable A. , et l’équation (F) = o, combinée avec l’équation donnée F(x, y, y', etc. z, z', etc.) = o, donnera la valeur de y en x. Soit la plus haute dérivée de a qui entre dans cette équation , l’équation (Z) = o sera linéaire et de l’ordre n, par rapport à a ; la valeur de A contiendra donc autant de constantes arbitraires et linéaires aussi , qui serviront à faire
évanouir les variations a, , z', etc. dans l’équation des limites ;
les variations zOI z/, etc. étant censées données par la nature du problème, comme nous venons de le remarquer.
Il faudra donc déterminer ces constantes de manière que l’on ait
