II. HT

-f Tt + Tl’ + Ti' -f etc.

on aura l’équation aux limites ( t/,) — (Ûo) = o, à laquelle on devra satisfaire, indépendamment des variations^ , y ,etc. *, i' , etc. etc.

Et pour tenir compte de la variation de x, il n y aura qu’à changer y , z, t en y —y'x , z — z'x, t—tx, et ajouter à la valeur de (ï/) le terme Vx.

Comme la nature du problème peut fournir aussi des équations de condition entre les variables x, y, z, t, etc. , rapportées à ces limites, désignons par A — o , B = o etc.

DES FONCTIONS. - 4Sc)

ces équations de condition, de manière que A, B, etc. «oient des fonctions données dex0, x,, yot y, ,yô,y', etc.

On formera les équations variées À — o , B = o , dues aux variations de chacune des quantités xOJ x, , y0, y,, yj , y,'% etc. on ajoutera ces équations multipliées par les coefficiens indéterminés a , & , etc. à l'équation aux limites.

On aura ainsi l'équation

(f/,) — (t/„) + <tÀ + PB + etc. = o ,

dans laquelle on égalera séparément à zéro le coefficient de chacune des variations dont il s’agit.

Ces formules servent à répondre à toutes les questions où l’on cherche des maxima ou minima absolus. Voyons aussi comment on y peut rappeler les questions où l’on ne demande que des maxima ou minima relatifs, c’est-àdire dans lesquelles la fonction primitive d’une fonction donnée ne doit être un maximum ou un minimum entre des limites assignées, qu’autant que les fonctions primitives d’autres fonctions données, auront des valeurs données entre les mêmes limites.

Soit u la fonction donnée dont la fonction primitive doit avoir une valeur déterminée entre les limites assignées. Supposons que s soit cette fonction primitive , ensorte que l’on ait l’équation / — u = o. La condition dont il s’agit consiste en ce que la quantité s, — sa doit avoir une valeur donnée ; parconséquent sa variation devra être nulle , ce qui donne l’équation aux limites s, — s0 — o. ■ .

Pour introduire cette condition dans la solution générale du problème de maximis et minimis , je regarde l’équation t' — u=c o comme une équation de condition , et je la traite comme les équations de condition L— o, M = o , etc. Je multiplie par un coefficient variable et indéterminé e la va-

470 CALCUL

riation s' — u, et je l’ajoute à la formule générale V-\-kL- f- etc. ; j’ai

P" • f- <r (/ — u) -f- hL -{- {J-M -f- etc.

Le tenne es se transforme en ceux-ci : (es )' — o's ; et comme ces termes sont les seuls qui contiennent la variable s, la variation s donnera d’abord l’équation a' =0-, d’où l’on tire e—a,a étant une constante arbitraire.

Ensuite l’autre partie («■*)' , qui est une dérivée exacte , donnera dans l’expression de (L!) le terme es, et dans l’équation aux limites les termes a (s, — s0) , à cause de r~a. Mais on a par les conditions du maximum ou minimum relatif, r, — sa — o. Donc la valeur de (L ) ne recevra aucun changement.

Il n’y aura donc que la variation — au qui devra être ajoutée à la formule générale, ce qui revient à substituer à la place de la fonction V la fonction V — au, et à chercher les conditions du maximum ou minimum absolu de la fonction primitive de V — au , a étant une constante quelconque arbitraire.

On trouverait de la même manière que si la fonction primitive de V ne devait etre qu’un maximum ou minimum relatif, en supposant que les fonctions primitives de u et u aient des valeurs déterminées , la question se réduirait au maximum ou minimum absolu de la fonction primitive de V — au — bv , a et b étant des constantes arbitraires.

Ce résultat s’accorde, comme l’on voit , avec celui qu 'Euler avait trouvé par la considération des variations des ordonnées successives dans les courbes.

Telles sont les formules générales pour la solution des problèmes de maximis et minimis qui dépendent de la méthode des variations, et l’on voit que ces formules s’étendent à tou*

les cas ; mais dans chaque cas particulier , au lieu d'y appliquer ces formules, il sera quelquefois préférable d’opérer directement sur les fonctions proposées , en suivant la marche que nous venons de tracer.

Quant à la manière de distinguer les maxima des minima , et meme de s’assurer de leur existence , nous avons va qu’elle dépend des variations du second ordre ; mais nous n'entrerons pas dans un détail qui nous mènerait trop loin; on peut voir d’ailleurs ce que nous avons dit là-dessus dans la Théorie des fonctions , art. 173 et suiv. Nous remarquerons seulement qu’en prenant la variation du second ordre de la fonction V , il sera inutile d’avoir égard aux variations du second ordre de la variable y, parcequeles termes affectés dey', y', etc. dans l’expression de V étant les mêmes que ceux affectés

de y, y' dans V, ces termes doivent disparaître par les conditions du maximum ou minimum, quelle que soit la valeur de y , ou de y. Ainsi on aura pour la variation du second ordre, les memes formules que dans l’endroit cité, en changeant seulement y en « et parconséquent aussi les memes résultats.

Pour ne rien laisser à desirer sur cette matière ,. nous dirons encore un mot des ma,vima et minima qui dépendent des fonctions de plusieurs variables. La première question de ce genre a été résolue par la méthode des variations , dans le second volume des Mémoires de Turin. Il s’agissait da trouver parmi toutes les surfaces courbes qui sont terminées par le même périmètre, celle qui est la plus petite possible; problème qui est , par rapport aux surfaces , ce que les problèmes dont on vient de traiter, sont par rapport aux lignes.

En nommant z l’ordonnée perpendiculaire aux deux abscisses x et y , et qui est censée fonction de ces deux-ci , et désignant par des traits séparés par une virgule , les fonctions dérivées de z , prises par rapport à x et y , comme on l’a

CALCUL

fait dans la leçon dix-neuvième, la grandeur ou la quadrature de la surface est exprimée par la double fonction primitive de la formule

prise d’abord par rapport à une seule des variables x , y, et ensuite par rapport à l'autre , en substituant pour la première sa valeur donnée par l’équation du contour de la surface. Ainsi le problème consiste à trouver la fonction z de x et y, qui rendra cette double fonction primitive un maximum ou un minimum.

Pour le rendre plus général , nous supposerons qu’on demande de rendre un maximum ou un minimum la double fonction primitive d’une fonction donnée de* a:, y, z, z'’’, z'\ z"\ z' , z'", etc.

Désignons cette fonction par V , de manière que l’on ait

V—fix, y, z, z a’', z"', z.'-', z'", etc. ) ,

et soit U la double fonction primitive de V , qui doit devenir un maximum ou un minimum. Il faudra, par les principes établis ci-dessus, que sa variation V soit nulle.

Or U'* = V\ donc prenant les variations TJ''1' = V. Si on dénote de même par des traits placés au bas , les fonctions primitives, ainsi qu’on l’a indiqué dans la leçon treizième , on pourra passer de l’équation précédente à celle-ci qui estl inverse ÎJ-=:P’.y, par laquelle on voit que le problème consiste à rendre nulle la double fonction primitive de la variation Ÿ.

Or on en a, en prenant les variations de z et de ses dérivées,

r='*r (a) +ïf v'ï+v'fizn

+ *f (*•’) + iv/'0V) + i’T (*’") + etc.

formule que nous représenterons , pour plus de simplicité , par V— Lz + Mz r + Ni/ 4 pi"' 4 Qz'' 4- Ri'" 4 etc.

On fera dans cette formule les transformations employées

plus haut , par lesquelles les dérivées de la variation z ne se trouvent que dans des termes qui sont des dérivées exactes.

Ainsi le terme Mz' ’ se changera en ( Mz )'» — M’'z , le

terme ATzV se changera en ( Az)’' — K'z , et ainsi des autres , en conservant la position des virgules qui séparent les traits relatifs aux variables x et y.

De cette manière on aura la transformée

y — ( L — W' — AV 4- P"' 4- Q'/ 4 Th" 4- etc. ) i 4- (Mz-f-Pz'> — P'*z 4 Qv'+ etc. )”