N'z 4 Ri / — Ri — Q"i
Comme ilny a plus ici que des fonctions primitives simples,
4~4 CALCUL
chacune d’elles se rapporte uniquement à une des variable» x , y, en regardant l’autre de ces variables comme déterminée par l'équation qui donne la courbe des limites entre lesquelles le maximum ou minimum doit avoir lieu.
Le cas le plus simple est lorsque le contour de la surface représentée par l’équation enx,^, z , est supposé tout-àfait donné et invariable. Alors les variations de z et de se* dérivées sont nulle* relativement à la courbe de ce contour , et parconséquent aussi dans toute l’étendue des fonctions primitives simples de la variation Ù , et la condition de U = o se trouve remplie d’elle-mème.
L’équation du maximum ou minimum sera donc, en substituant les valeurs de L , M, etc. ,
no-ircoT’-tfcor
+[/'(or+[/,(or
*+■ XS (S")3T H" etc. =o
qu’on voit être du genre de celles que nous avons considérée* dans les leçons 19e et 20e , et dont les équations primitives contiennent des fonctions arbitraires.
Les cas plus compliqués se résoudront par des considérations analogues à celles que nous avons faites sur les problèmes où l’on ne cherche que des fonctions d’une variable.
Pour donner maintenant quelques applications des méthodes et des formules que nous venons d’exposer , nous prendrons d’abord le problème le plus simple de ce genre, qui consiste à trouver la ligne la plus courte entre des termes donnés. En supposant que la ligne cherchée soit toute dans un même plan , et prenant x, y pour ses coordonnées , la longueur de la ligne sera exprimée en général par la fonction primitive de l’expression p (1 +/•), qui étant représentée par V, ouf (x, y, y' )
donnera f (j ) = o, /' (/ ) = Ainsi l’équation
générale du maximum ou minimum sera
Ensuite on aura Ù = — r-2- — t-t y, et l’équation aux limites
sera U, — U0~ o.
L’équation générale donne tout de suite 1 — - — ^ — rrr — à
une constante; d’où l’on tirey=è, et de là y = bx -}- c , b et c étant deux constantes arbitraires ; ce qui est l’équation générale de la ligne droite.
Si les deux extrémités de la ligne étaient données , on aurait y0 o , et y, = o ; parconséquent l’équation aux limites aurait lieu sans aucune condition.
En général l’équation aux limites se réduira à a(j,— yc)=o, où a = — - — ^ Desorte que si la ligne cherchée devait être terminée des deux côtés ou d’un seul par des lignes perpendiculaires à l’axe des x , les variations y0,y^ seraient toutes les deux , ou une seulement , arbitraires : dans l’un et l’autre cas, l’équation aux limites donnerait a — o , et parconséquent b = o; ce qui réduit la ligne la plus courte à une droite parallèle à l’axe.
Si la ligne la plus courte devait être terminée de part et d’autre par deux lignes données droites ou courbes, il faudrait alors tenir compte dans l’équation aux limites des variations de x et y à la fois. 11 faudra donc mettre dans l’expression
de Ù, y — y'x à la place dey, et y ajouter le terme Vx. On aura ainsi
= TëY 0 -y*) +*v/ci +/•).
et réduisant
yÿ+x
L’équation aux limites étant Ù, — Ù0-=o, si on suppose que les deux limites soient indépendantes l’une de l’autre , on aura séparément Ù0 =: o et î/, = o; et parconséquent
y'oÿo + x0 = o, y ,ÿ, -f X, = o.
Soit maintenant <t> (x,y) = o , l’équation de la ligne qui forme la première limite , elle donnera l’équation variée ar<t>'(x)
-f- y<t>' (y) = o ; mais elle donne aussi l’équation dérivée <t>'(y)=o ; desorte que la combinaison de ces deux équations produira celle-ci :
Il faut remarquer à l’égard de cette équation , que les variations x, y sont censées les mêmes que celles que nous avons
désignées ci-dessus par xa ,y0) parceque ce sont les variations des coordonnées x , y à la première limite; mais la dérivée y* n’est pas la même que la dérivée y,0( quoiqu’elles se rapportent toutes les deux au même point ; car celle-ci se rapporte à la ligne la plus courte , et exprime la tangente de l’angle que la tangente à cette ligne fait avec l’axe ; au lieu que l’autre se rapporte à la ligne qui sert de limite, et exprime de même la tangente de l’angle que la tangente à cette ligne fait avec le même axe. Nous désignerons cette dérivée par (yf) , et appliquant le chiffre o au bas de chaque lettre pour la rapporter à la première limite , l’équation précédente deviendra
y° ~~ ( y \xo — O-
Telle est l’équation de condition qui doit avoir lieu entre les
variations y0 et xa ; ainsi substituant dans l’équation
ÿ0y0-\- x0 — o de la première limite, la valeur de tirée de
l’équation précédente, on aura (ÿ 0(y' )0+ 1 ) x =o, et parconséquent y’0 (y')0 +i=o.
Or y'a et (y' )D étant les tangentes de deux angles , on sait que la tangente de la différence de ces angles est exprimée
par la formule -^-2 — • donc puisque ici le dénominav i+Jo(y)o
teur devient nul , et parconséquent la tangente infinie , il s’ensuit que la différence des deux angles dont il s’agit, sera égale à un angle droit.
D’où il est aisé de conclure que les deux lignes , celle qui doit être la plus courte , et celle qui forme sa première limite, doivent se couper à angles droits.
Et comme l’équation à la seconde limite est tout-à-fait semblable à l’équation pour la première , on trouvera nécessairement le même résultat relativement à la seconde limite ; c’est-à-dire que la ligne la plus courte devra aussi couper à angles droits la ligne qui formera la seconde limite.
On satisfera à ces conditions par le moyen des équations y'a (/)„ + 1=0 et y, (y ), -f î =o, et des constantes arbitraires b , c , ce qui n’a aucune difficulté.
Supposons maintenant, pour donner plus de généralité au problème , qu’on demande la ligne la plus courte, sans la condition qu’elle doive être toute dans le même plan ; en prenant x , y , z pour les trois coordonnées, dont deux y» et z sont censées fonction de la troisième x , on aura la fonction |/(i+y'*+z.'!‘) dont la primitive exprimera la longueur de la ligue cherchée , et devra parconséquent être un minimum.
Faisant donc
an aura
CALCUL
fr-y±±A •
formule qui , par les principes établis , se transforme en celle-ci :
d’où l’on tire pour l’équation générale du minimum, ,
et ensuite pour l’équation aux limites
£=£L+Si,ct !/,- l'. = o.
Supposons d’abord que la ligne la plus courte ne soit assujétie à aucune condition dans toute son étendue ", il iaudia alors que les variations y et z demeurent indéterminées , ce qui donnera les deux équations
d’où l’on tire
m et b étant des constantes arbitraires •, et comme
JS= 1 p.y»| z,'*) , il s’ensuit que y et z1 auront des valeurs constantes qui étant désignées par c et (/, donneront tout de suite
y — ex m , z = dx -f- « ,
m et n étant aussi des fonctions arbitraires.
Ces deux équations font voir que la ligne cherchée est une droite dont la position est arbitraire.
Il faut maintenant considérer l’équation aux limites, laquelle si on suppose les deux limites indépendantes l’une de l’autre ,
se partage tout de suite en ces deux-ci : U, = o , L\ = o , savoir;
y c'y* + a'o z» = o , y',ÿx -f z\ z, = o ,
équations qui auront lieu d’elles-mêmes, si les deux extrémité» de la ligne sont supposées données de position , parcequ’alor» les variations des ordonnées y et z seront nulles dans ces deux points.
Mais si la ligne la plus courte doit être comprise entre deux lignes données ; alors il faudra , comme nous l’avons fait plus haut , tenir compte des variations des coordonnées x, y , z à l’une et à l’autre de ses extrémités.
Pour cela, il faudra d’abord ajouter à la valeur de Ù le terme Vx , et y changer en même temps y et z en y — y' x, 1
z — z'x. On aura ainsi à cause de ^a=i -f-y'a z.'a, après le* réductions
et les deux équations aux limites Ù, = o, Lr, = o deviendront
+y'°y° + *',0 *o = o Xl 4-y>yi + Z’,,*i = o.
Supposons que la première limite soit une courbe dont le»
deux équations soient
CALCUL
la première de ces équations donnera , comme nous l’avons vu plus haut, l’équation variée
jo— (/ )0i0=o,
et la seconde donnera de même
Tirant de ces deux équations les valeurs de ya et za , et les substituant dans la première des deux équations ci-dessus , on aura (1 +yo(y )0 + z'0(a')0)x„ = o, et comme la variation x0 doit demeurer indéterminée, il en résultera cette équation de condition pour la première limite
1 +/. (/). + Z'o (Oo = O ,
â laquelle on satisfera par le moyen d’une des constantes arbitraires c , d, l’autre devant être indéterminée par l’équation de condition de la seconde limite , laquelle sera de même
1 +/.<y).+*'.oo.=o.
Mais si on veut savoir ce que ces équations représentent, il n’y a qu’à se rappeler que dans la théorie du contact des courbes , on démontre qu’en regardant les dérivées y'a et a', comme constantes, les deux équations
où (à. et v sont aussi des constantes par rapport à x et y , représentent la ligne droite qui touche la courbe de la première limite ; et que de la même manière les deux équations
représentent
DES FONCTIONS. 48l
représentent la ligne droite qui touche au même point la ligna la plus courte, i et f étant aussi des constantes par rapport à x et y.
Or dans l’application de l’Analyse à la Géométrie , on démontre que les deux droites représentées par ces équations, si elles se coupent , font entr’ elles un angle dont le cosinus est
+ *'%) x k (w cy K + (0%)‘
( Voyez les feuilles d' Analyse de Monge ). Donc, puisque dans le cas présent, le numérateur de cette expression devient nul, il s’ensuit que l’angle des deux droites sera droit ; parconséquent il faudra que la ligne la plus courte coupe à angles droits la courbe qui forme la première limite.
On parviendra de la même manière à une conclusion semblable pour l’autre limite. D’où il résulte que la ligne la plus courte qu’on puisse mener entre deux courbes quelconques est toujours la droite qui coupera ce* courbes à angle droit. Ce théorème est connu depuis long-temps et se démontre de différentes manières; mais aucune n’est aussi directe que celle que fournit l’analyse précédente.
Mais si au lieu d’une simple ligne , il y avait une surface pour servir de limite à la ligne la plus courte , désignant par <t>(x,y, s) =o la surface de la première limite, elle donnerait cette équation variée
xjtf C * ) 4-yv1'' (7) + vt' O) = o
qu’il faudrait combiner avec l’équation de la première limite trouvée ci-dessus
x0+y'.y0 + z'0zB = o.
Substituant dans l’équation précédente la valeur de x, tirée
Hh
CALCUL
de celle-ci , on aura
( •»' (y) —y x) )ÿo + (*' (z) ~ z'°*' (*)) *<» = o,
d’où , à cause que les variations y„ , za doivent demeurer indéterminées , on tire ces deux-ci :
<*>' ( y ) —ÿc*' (x) = o, 4>' (z) — z'04>' (x) = o ,
auxquelles il faudra satisfaire par deux des constantes arbitraires de la ligne la plus courte.
On trouvera deux équations semblables pour la seconde limite , si elle est aussi formée par une surface donnée.
Pour voir maintenant ce que signifient ces équations, on remarquera que l’équation de la surface <t> ( x , , z ) = o
donne la dérivée
a? <b' (x) +/<!>' (y ) -f zV (z) = o ,
dont la primitive , en regardant les coefiiciens de x' , y, s' comme constans , savoir
représente le plan tangent à cette surface, comme on le sait, par la théorie des courbes ; et étant une constante arbitraire ,
par rapport àxj,s.
Substituons dans cette équation les valeurs de <t>' (y ) et <t'(z) tirées des deux équations trouvées ci-dessus , elle deviendra , en la divisant par ( x ) qui est regardée ici comme constante,
D’un autre côté on sait que cette équation représente aussi un plan perpendiculaire à la droite dont les équations seraient
y=y'ax + H, z = z'0x + v,
( voyez les feuilles citées ) les quantités y'c et z'0 étant regardées ici comme constantes , ainsi que/u et v. Donc puisque ces équations sont celles de la tangente à l’extrémité d e la ligne la plus courte , que nous regardons en général comme une courbe quelconque , il s’ensuit que les deux équations données plus haut expriment que la ligne la plus courte doit rencontrer la surface donnée à angles droits.
Et comme la même conclusion aurait lieu aussi pour l’autre limite , si elle était formée par une surface ; il en résulte que la ligne la plus courte entre deux surfaces données , sera en» core la droite qui rencontre ces surfaces à angles droits.
Jusqu’ici nous n’avons cherché que la ligne la plus courte parmi toutes les lignes possibles qu’on peut mener entre des points , ou des lignes , ou des surfaces données ; problème que la simple géométrie peut résoudre , parcequ’on sait que dans un plan la ligne la plus courte est la ligne droite. Mais si on demande en général la ligne la plus courte sur une surface quelconque donnée , le problème dépend alors essentiellement de la méthode des variations , et les formules trouvées cidessus s’y appliquent avec la même facilité.
Soit F(x ,y, z) — o l’équation de la surface donnée, elle donnera l’équation variée
ÿF'(y) + 'zF'(z) = o,
laquelle étant combinée avec l’équation générale du maximum ou minimum trouvée plus haut
produit celle-ci
(0Xf'(î)-(0XF'(y) = o
pour l’équation de la ligue la plus courte sur la surface donnée
48 4 CALCUL
Ensuite on aura l’équation aux limites Ut — U,— o , dans laquelle on a en général
rv y.ÿ + *'*.
«t si l’on veut avoir égard aussi à la variation de x , on aura
comme on l’a trouvé plus haut.
Il faudrait ici substituer pour a sa valeur tirée de l’équation variée , xF' (x) -\-yF' (y) -f- z F' (a) = o. Mais en faisant abstraction de la surface , l’expression précédente
de Ù conduit directement aux mêmes conclusions qu’on a trouvées plus haut relativement aux limites , c’est-à-dire que la ligne la plus courte tracée sur la surface donnée , devra aussi couper à angles droits les courbes qui lui serviront de limites.
A l’égard de la nature de la ligne la plus courte sur une surface , elle jouit d’une propriété particulière et caractéristique, par laquelle on peut la déterminer indépendammentde la considération du minimum. ; c’est que ses rayons oscillateurs sont tous perpendiculaires à la surface. En effet il est clair que cette ligne doit être celle suivant laquelle se dirigera un fil tendu sur la surface donnée , et il est facile de concevoir en meme temps , que le fil tendu ne peut être en équilibre qu’autant que la pression résultante de la tension , et dont la direction est suivant le rayon osculateur , sera perpendiculaire à la surface. Pour voir comment la propriété dont il s’agit résulte de l’équation trouvée pour la ligne la plus courte , nous remarquerons d’abord que l’équation du plan tangent à la surface représentée par l’équation F (x } y , z~) = o est, comme on l’a vu plus haut,
iF'(x) -^-yF' (y) -i~zF'(z) + * — elles fonctions F' (oc) , F' (y) , F' (z) étant regardées comme constantes , ainsi que la quantité *.
Nous remarquerons ensuite que si on représente par
x-\-Ay-j-Bz + C = o,
l’équation du plan du cercle osculateur d’une ligne à double courbure, il faut que cette équation et ses deux dérivées, prime et seconde, aient lieu en prenant les coordonnées x, y , z du plan pour celles de la courbe donnée , et en regardant dans la formation des dérivées lés coefïiciens A, B , C comme constans -, c’est ce qui résulte de la théorie du contact des courbes exposée dans la Théorie des Fonctions.
On aura donc ainsi les deux équations dérivées dans lesquelles a/ = 1 ,
i -J— Ay' -J- Bzr — o , Ay" -J- Bz" — o.
La dernière donne B— =£— , et cette valeur étant sub-
is
stituée dans la précédente , on aura
zy —y:
Nous remarquerons de plus qu’il suffit que le plan du cercle osculateur soit perpendiculaire au plan tangent à la surface , pour que le rayon osculateur soit perpendiculaire à la surface , pareeque ce rayon est nécessairement perpendiculaire à la courbe tracée sur la surface.
Or on démontre encore dans l’application de l’Analyse à la Géométrie ( voyez les feuilles déjà citées) que la condition pour que deux plans représentés par les équations
xF'(r ) + yF' (y ) -f- zF' (z) + a =r iO x + Ay + Bz-\-C=o
486 CALCUL
se coupent à angles droits , est renfermée simplement dan» l’équation
F' (x) + 'JF' 00 + BF' (z) = o.
L’équation de la surface F(x,y, z) = o donne aussi lequation dérivée F' ( x ) - y' F' (y ) -J- z'F' ( z ) = o , d’où l’on tire
F' {x") =: — y' F' (y ) — si F' ( z ). Cette valeur substituée dans l’équation précédente , donnera celle-ci
ff
laquelle , en substituant les valeurs de A et B trouvées cidessus, devient
(*'-y«y-yo) F'(y) — (/+ a" «y— y*")) n^)=o.
Or si on divise le coefficient de F' (y) dans cette équation ,
par F", V étant j/( î y + j/*) , on a la dérivée de — ,
et de même le coefficient de F' (z) divisé par V% devient la dérivée de^r, comme il est facile de s’en assurer par le calcul.
Donc en divisant toute l’équation par V' , elle pourra se mettre la forme F1 (y) — Çj?') F' (z) = o , qui est la
■ous
même que celle de l’équation que nous avons trouvée pour la ligne la plus courte.
C/airaut a remarqué le premier dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1733, que , quelle que soit la figure de la terre , la ligne qu’on y tracerait en’ plantant continuellement des piquets perpendiculaires à l’horizon, de manière qu’ils soient effacés les uns par les autres , comme on l’a pratiqué dans la description de la perpendiculaire à la méridienne de Paris , aurait la propriété d’être la ligne la plus courte entre tous ses points. Ainsi la détermination de cette ligne dépend de l’équation générale qu’on vient de trouver.
DES rOSCIIOIM. 487
En supposant que la terre soit un sphéroïde de révolution , si on prend l’axe des x pour l’axe de la terre , dont le centre soit l’origine des coordonnées , et qu’on nomme r l’ordonnée de la courbe des méridiens, on aura r = 1/ (y* -}-**). Donc si F (x , r) — o est l’équation de cette courbe, elle deviendra celle de la surface du sphéroïde , en y substituant. . . .
l^Cy*+*a) pour r \ et à cause de / zz , on aura
F'(y)=ÏF'(r), F* (*) =î F*(r) ;
desorte que l’équation de la ligne la plus courte sur le sphéroïde , deviendra
laquelle est du second ordre , mais dont la primitive du premier ordre est
a étant une constante quelconque. Çette équation combinée avec l’équation F (x, r) =0, suffira pour construire la courbe.
Ce problème est traité avec beaucoup de détails dans le quatrième volume des ouvrages de Jean Bernoulli.
Le problème de la ligne la plus courte conduit naturellement à celui de la surface de I3 moindre étendue. Nous avons déjà vu plus haut que l’on a alors
d’où l’on tire la variation - • \ J
488 CALCUL
laquelle étant comparée à la formule
donne
Li -f M'x!' -f- Ni/
et de là résulte l'équation générale
Cette équation , en effectuant les dérivations indiquées , se réduit à
or en prenant successivement les dérivées par rapport à x et ày , on trouve
VF'’ — Z'z"' 4 v'z'S VF'’ — z'’z‘'+ z'’v“ ;
desorte qu’en multipliant l’équation précédente par V , et substituant les valeurs de V *, FF'\ V V’’ , on aura après les réductions,
(î ■+- (a,’)î) z'“ — 2Z,,z,Vi'4 (i -f- (z’')a)z"’ = o.
Et si on aime -mieux employer la notation proposée à la En de la leçon dix-neuvième , on aura pour l’équation de la moindre surface ,
(■+cm(7-M?)(7 Ké)
Monge et Legendre ont trouvé , par des méthodes ingénieuses , l'équation primitive de cette équation du second ordre ; mais la forme sous laquelle elle se présente , la rend peu susceptible d’applications utiles. Voyez, les Mémoires de l’Academie des Sciences de 1787.
Pour donner encore un autre exemple , nous reprendrons le problème si connu de la bracristochrone , ou ligne de la plus vite descente ; mais nous la considérerons dans un milieu résistant comme une fonction quelconque de la vitesse.
Soient les abscisses x dirigées verticalement de haut en bas, et parconséquent les ordonnées^ horizontales. Si on nomme g la force constante de la gravité, z le quatre de la vitesse, et q>z la fonction de la vitesse qui est proportionnelle à la résistance, les principes de la mécanique donnent l’équation
z' — ag + 2ÇsX 1/(1 +y*)=o
pour la détermination de z \ et le temps qui doit être un maximum ou un minimum , est exprimé par la fonction primitive
de l’expression — .
■-Si-. ...^3, £
En comparant ces formules aux formules générales, on aura
r=yt*+j/‘)
■ r on
et la fonction F(x, y, /, z , z'. . . ) qui étant égalée à zéro , donne l’équation de condition , sera
a' — ag + a?c X 1 +/*)•
^ o .—i \ jt ^ o c
On aura donc
yy
kO+/a)xV^ 2S^
Et de là
f' (</) — Z f' fz) — 1/(1+^.) .
Ensuite on aura l’équation variée
à' + siç'z X I/O +/“) + 2?z X = °»
et parconséquent
jf'(/)=sf»x- jT^ysj.
F'(i)=^Xl/(l+y‘), *" (*')=»•
De là , on aura
L K(i+/*)xy*-j K(i+y‘)x/*'
i/(» +ya)
as*
(r)=-[3A^xr^7;)]', (h=^xp^):
(Z)=axî'zXl/(i+y*) — x',(Z) = a.
D’après ces valeurs, on aura les équations generale*
F + (r)=o, Z+(Z)=o, et l’équation aux limites
en faisant
et si on veut tenir compte de la variation de x , on aura
i/=(f + (n)cj-/i)
Les deux équations générales se réduisent à celles-ci :
C,/(T+y-')^7~J+ l>* x PV +7ôl'=° •
- *^4^ + ah*'z X V/ (I +ya) -*' = O ,
dont la première a pour primitive
—itvTt +: x vé+F> = 7?
« étant une constante arbitraire.
Il faudra substituer dans celle-ci la valeur de A. tirée de la seconde ; ensuite il faudra éliminer z par le moyen de l’équation de condition
z' — 2g -f 2 ZZ X y(l -f /“) = 0,
et l’équation résultante en y et x sera celle de la cotirbe cherchée.
4g2 CALCUL ^
Comme z représente le carré de la vitesse , et que l’équation en z est du premier ordre, la valeur de z, tirée de l’équation primitive de celle-ci , contiendra une constante arbitraire qui dépendra de la vitesse initiale imprimée au mobile.
On peut donc regarder la valeur de z, à la première limite , comme une fonction donnée des coordonnées initiale» x ety. Ainsi dénotant cette fonction par la caractéristique A . on aura la condition
Le cas du vide n’a aucune difficulté, car en faisant çz = o , on aura l’équation
— — = const. =— ,
v/(i+/a)xv/* y a
où A n’entre pas.
Ensuite on a z' — ag=o, d’où l’on tire z r= agx -f- b. En rapportant cette équation à la première limite , on a z0 = agxa -f- b , d’où b = z„ — 2gx0. Ainsi la valeur complète de z sera
Or l’équation enj/ donne
équation qui, par la substitution de la valeur de z, devient celle de la cycloïde ordinaire.
Soit, pour abréger,
i = -4=+3A<pz,
le problème général dépendra de ces trois équations du pre»
inier ordre,
V'C »+/*)“ Va*
z' — 2g + 2<pz X V^(i +y*J =o.
Si on prend la dérivée de t, on a
f — — z' f — T — 2A<p'z j -f- 3*'fS , \aa3 /
d’où l’on tire
1 , ax'fts — t'
cette valeur étant substituée dans la seconde équation cidessus , on aura
, . ax'çz — t' ,, , ...
mais la troisième donne
»' = 3ff-2<fîX/(i +ya) ;
substituant cette valeur dans la dernière équation après l’avoir multipliée par z' , elle se réduira à
Or on a
2gh' — <V(l -f/*) = O.
•t la première équation donne — — rr = — — ; donc
KO-fcy*) V'a
l’équation qu’on vient de trouver, deviendra
^-(tv/.c>+y*)y+^=o»
dont la primitive est
ag*-~*i/(i+/a) + ^=6;
et si on substitue encore ici pour t sa valeur — y ^T- tll fc*
de la première équation , on aura
Ainsi on a la valeur de x qu’on substituera dans l’expression de t de la première équation ; et il ne s’agira plus que de combiner cette équation avec la troisième pour en éliminer z.
Considérons maintenant l’équation aux limites Ù,— Ü0~o; supposons, ce qui est le cas le plus ordinaire , que les deux limites soient indépendantes l’une de l’autre , on aura séparément L„ = o, l/, = o.
Or en faisant dans l’expression de Ù donnée plus haut l«s substitutions nécessaires , on a
£,=(pi + “'f0i7o+F)(j’yi)
Cette expression , en mettant pour z' sa valeur. . sg ajz Xl/(i +/* ) et réduisant , devient
où t est mise pour — — -j-a^çz, comme on l’a employée
ci-dessus ; desorte qu’en substituant encore à la place de t sa valeur donnée par la première équation , on aura plus simplement
Cette valeur de L devra donc Être nulle aux deux limites.
Pour la première limite , nous avons vu ci-dessus que l’on a en général z0= A (.rc , ya~) ; donc prenant les variations , on aura
z0=zi0 A'(x0) +J?.A'£y), desorte que 1 équation Ua = o donnera celle-ci :
Pour la seconde limite , on aura aussi Ù, = o , équation
dans laquelle la variation z, demeurant indéterminée, il faudra la faire évanouir en égalant à zéro son coefiirient A,: Ainsi on aura la condition A, = o, qui servira à déterminer la constante arbitraire b de la valeur de à trouvée plus
haut. Cette condition donne - ‘ -f b = o , d’où l’on tire i y> Va
y! Va »
CALCUL
Desorte que l’expression complète de A sera
d’où l’on aura
“*‘ = ï kiy-T-)-
valeur qu’il faudra substituer dans l’équation à la première limite.
A l’égard de l’équation de la seconde limite , elle sera simplement, à cause de A, = 0,
o , savoir , x, -f y\ X Ji = o.
. Cette équation est tout-à-fait semblable à celle que nous avons trouvée dans le premier exemple , et d’où nous avons conclu que la ligne la plus courte devait couper à angles droits la ligne qui forme la seconde limite. Ainsi la même conclusion doit avoir lieu pour la ligne de la plus vite descente, quelle que soit la loi de la résistance du milieu.
Revenons à la première limite. En substituant dans l’équation de cette limite pour A„, sa valeur, elle devient
Maintenant si on désigne par (j'„) la dérivée de l’ordonnée y de la courbe qui forme la première limite, on aura, comme
on
on l’a vu dans le premier exemple , l’équation y0 — (y'0)x0=o. Donc si on substitue dans l’équation précédente , au lieu
de y0, sa valeur (ÿ0)x0, la variation x0 demeurera arbitraire, et il faudra vérilier l’équation, en égalant à zéro le
coefficient de xc> ce qui donnera
» , A'(Xo) ( 1 1 \
équation à laquelle on satisfera par le moyen d’une des constantes arbitraires.
Supposons , ce qui est le cas le plus simple , que la vitesse initiale j/zc soit donnée indépendamment du lieu de départ ; on aura alors z,r= à une constante; donc
A (xe, yO = const.
et l’équation précédente deviendra
17* + ( y. ) =p= o , savoir : î +/ , (/„ ) = o.
Dans cette équation (yj ) exprime la tangente de l'angle que fait avec l’axe des x , la tangente à la courbe de la première limite, dans le point où elle est rencontrée par la ligne de la plus vite descente, ety^, exprime la tangente de l’angle que fait avec le même axe la tangente à cette meme ligne au point de la seconde limite ; et il suit de cette équation , comme nous l’avons vu dans le premier exemple , que
CALCUL
la différence de ces deux angles doit être égale à un angle droit. Donc il faudra que la tangente à la courbe de la première limite soit perpendiculaire à la tangente à la ligne de la plus vite descente au point de la seconde limite ; et comme nous avons déjà vu que cette tangente doit être perpendiculaire à celle de la courbe de la seconde limite ; on en conclura que , dans le cas dont il s’agit , la courbe de la plus vite descente devra rencontrer les deux courbes des limites dans des points où les tangentes soient parallèles entr 'elles.
Mais si on veut que la vitesse initiale soit toujours celle que le corps acquerrait en tombant d’un même point donné ; nommant h la hauteur de ce point au-dessus de l’axe horizontal des ordonnées y , on aura h + x0 pour la hauteur due à la vitesse initiale dont z0 est le carré ; et les principes de la mécanique donneront
Zo = 2 g (A + X0).
Donc A(xOJ y0) = 2g(ù -f-x0); et de là A'(x0) = ag-, A'(y„) = o, ce qui réduira l’équation de la première limite à celle-ci :
-7- + 00=°, savoir; 1 +/0 (/).=; o ,
laquelle montre, comme on l’a vu dans le premier exemple, que la ligne de la plus vite descente doit couper aussi à angles droits la ligne qui forme la première limite.
On avait trouvé ces mêmes résultats pour la ligne de la Vite descente dans le vide. ( Voyez le quatrième volume des Mémoires de Turin , et les Mémoires de l’Académie des Sciences pour les années 1787 et 1786). L’analyse précédente fait voir que les conditions relatives aux limites sont indépendantes de la résistance.
Si' au lieu de la courbe de la plus vite descente , on demandait celle où la vitesse acquise serait un maximum , il faudrait rendre la quantité a un maximum , et l’on aurait le cas où nous avons vu que les équations générales se réduisent simplement à (F)=o et (Z)— o, savoir
et 2*?'aXl/(i +/*) — *'=o,
équations qu’il faut combiner avec l’équation en a
z' — ag — 2<PZ X V ( i +/*) = o.
La première a pour primitive
a*<pa X
FO+/*) \/a
et si on opère sur ces trois équations comme on l’a fait dans le cas précédent, on parviendra de la même manière à l’équation
qui donne la valeur de x; ensuite les deux dernières équations ci-dessus donneront la vitesse z , et la fonction y en x, d où dépend la fonction cherchée.
A l’égard des limites , on aura dans le cas dont il s’agit , en faisant varier à-la-fois x, y, z ,
formule qui en substituant les valeurs de (1) , (Z) et de z't
5oo
et réduisant , devient
CALCUL
£'= - Hf) i + X
k cw-/ar
Et si on substitue encore dans celle-ci les valeurs de a g\ et de saçz tirées des deux dernières équations primitives , on aura eniin
t'=—bx+ “^=y+ (a + OÂ,
Desorte que les deux équations aux limites ÙQ = o et L\ = o deviendront
— bxe + -~ÿ0 + (*. +i) z9= o
— bx , + -T^y, + c A, + i ) z, = o.
La vitesse initiale dont z0 est le quarré, doit être donnée; si on la suppose indépendante du lieu du départ , z„ sera une quantité constante dont la variation sera parconséquent nulle ;
donc z0 = o. Alors la première équation se réduira à
— bxB + -Ly. = o.
Pour la seconde, comme rien ne détermine la valeur de z,, il faudra que son coefficient soit nul , et qu’il donne / , 1 =o
et A, = — î condition par laquelle on déterminera la valeur de la constante arbitraire b.
Cette équation deviendra ainsi
-bxt- H ■—= Xyl = o.
Va
Si les deux points extrêmes de la courbe étaient donné», lea
DES FONCTIONS. 5oi
variations de x0,yr0, x, , y, seraient nulles et les deux équations seraient satisfaites d’elles-mèmes.
Mais si la question est de trouver la ligne par laquelle le corps partant d'une courbe donnée, et arrivant à une autre courbé donnée, acquiert la plus grande vitesse; nommant, comme plus haut, et (/,) les tangentes des angles que les tan-
gentes à ces courbes font avec l’axe aux deux extrémités de la ligne cherchée , on aura , ainsi qu’on l’a vu dans le premier exemple ,
= et y, — (y,)it = 0 5
et ces équations étant combinées avec les deux précédentes , donneront
(y'c) = b[/Z, et (y', ) = b\/a\
d’où l’on peut conclure que les tangentes aux deux courbes des limites, doivent être parallèles entr’ elles, comme dans la courbe de la plus vite descente.
Ces exemples peuvent suffire pour montrer l’usage de nos formules générales , et surtout des équations aux limites qui n’étaient pas connues avant le calcul des variations , et sans lesquelles on n’aurait que des solutions incomplètes.
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