LEÇON TROISIÈME

Fonctions dérivées des puissances. Développement d’une puissance quelconque d'un binôme.

P uisqtte toute fonction dérivée du premier ordrc^'x , n’est autre chose que le coefficient de i dans le développement de la fonction primitive fx , après la substitution de x -f- i à la place de x , il s’ensuit que la recherche de la fonction dérivée d’une puissance quelconque xm , se réduit à trouver le terme affecté *. de i dans le développement de la puissance (x-f-i)m suivant les »• puissances de i.

Cor exposant m est un nombre quelconque entier ou fractionnaire, ^positif ou négatif, on démontre facilement par jflcs premières opérations de l’algèbre, que les deux premiers F termes de la puissance m du binôme x-\-i , sont 'i •

, airçsi Imsque /xi=xm, ou^^r1", A étant un coefficient comptant quelconque , on aura

fx — mAxn~' ,

m étant un nombre quelconque rationnel.

Comme tout nombre irrationnel peut être renfermé entre des limites rationnelles aussi resserrées que l’on veut , on en pourrait conclure tout de suite la vérité du résultat précédent pour une valeur quelconque irrationnelle de m , puisqu’on peut ,en resserrant les limites, diminuer l’erreur à volonté. Mais comme il est plutôt question ici de la forme même de la fonction dérivée ,

que

que de sa valeur absolue dans chaque cas particulier, nous croyons, pour ne rien laisser à désirer sur cette proposition fondamentale, devoir en donner une démonstration aussi générale que rigoureuse.

Puisque

(x + l)m = xmÇ i

par les règles de l’algèbre, si on fait pour abréger î = * , j(

s’agira de trouver le coefficient de * dans le développement de

( ' + “J" '* (îUel <îue “j* Imposant m. Or , quel que puisse être , ce coefficient, comme il doit être indépendant de *, il est'elair qu,l ne peut être qu’une fonction de m, puisque Impression t i 4- * )- ne contient que les deux indéterminées « et m. On pourra donc le représenter en général par Fm, la caractéristique F désignant une fonction déterminée, mais inconnue. Amsi, comme en faisant « nul, la quantité ( i -f « )™ devient i ra = i , on aura

( i + * )m = i -f- • Fm + etc.

On aura donc aussi , pour un autre exposant quelconque n ,

( 1 +*)'■= i +*Fn + etc.

Multipliant ensemble ces deux équations, on aura

( i + • )m+* =,+»( Pm -f- .F/î ) etc.

Car la théorie des puissances repose uniquement sur ce nrin cpe que «m X a« = quelles que soient les quantités a, », », et on peut même dire que c’est dans ce principe que consiste 1 essence des puissances, lorsque les exposant ne peuvent être exprimes par des nombres. ’

Ai™ «,.+ F„ sera le coefficient de . dan, le dévelonpecent de 1, po,*,„ee ( . + Mii, ce eoeffici.w d£t

CALCUL

être représenté par F ( m -f n ), puisque la fonction ( i + * )" devient ( i +# )ra+", en y substituant m + n pour m. Donc il faudra que la fonction désignée par la caractéristique F soit telle que l’on ait

met n étant des quantités quelconques.

Pour trouver d’une manière générale la forme de la fonction d’après cette condition, je supposerai que la quantité m soit changée en m + i,et que la quantité n le soit en n — i,i étant quelconque ; alors la fonction F ( m + n ) demeurera la même, et les fonctions Fm, Fn, deviendront

donc l’équation précédente donnera

Fm-\-Fn=F(m+ i) +F(n—i).

Or , par le développement , la fonction

devient

Fm + iFm -f- - F"m + etc. -,

comme on l’a vu plus haut; et la fonction F(n-i) deviendra de même, en prenant i négativement,

F ri — iF* n -f- — F" ti — — etc.;

donc l’équation précédente se réduira à celle-ci :

i ( F m - F' n ) + £ ( F0 m -f- F* n ) + e te. = o , laquelle devant avoir lieu quelle que soit la valeur de i, «n

DES FONCTIONS. ig

aura nécessairement

F m — F n — o , Fm-{-F’n-=o , etc.

La première de ces conditions donne F m — F n ,

d’où l’on conclut d’abord que la valeur de la fonction Fm doit être indépendante de la variable m , puisqu’elle demeure la meme en changeant la valeur de cette variable, et qu’ainsi cette valeur doit être constante relativement à la même variable.

On aura donc

Fm=a

a étant une constante ; et cette valeur de F'm satisfera aussi aux autres conditions , puisqu’on aura

F’m =0, Fmni = o , etc. ,

et de même

F"n— o, F’n = o , etc.

Tout se réduit donc à trouver la valeur de la fonction primitive Fm , d’après la fonction dérivée

F m—<ii

Or il est facile de voir que Fm ne peut qtre que de la forme am -f -b ,b étant une constante arbitraire ; car on peut se convaincre qu’il n’y a que cette expression qui puisse donner a pour sa fonction dérivée.

On peut d’ailleurs le démontrer directepient comme il suit •• puisqu’on a en général

F {m 4* i ) — Fm -j- îF'm -4 — F* m -f- etc.

on aura dans le cas présent ,

CALCUL

Fm~a, F’m — o , F"m—o, etc.;

F (m + »)t=Fm + at,

et comme i peut être une quantité quelconque, si on fait i=— m, alors la quantité m-\-i deviendra zéro; donc la valeur de F (m-f-i) sera indépendante de m; elle sera pareonséquent égale à une constante b. On aura ainsi

b — Fm — am,

d’où

Fm =: am -f- b.

Substituant cette valeur de Fm, on aura en général ( i + *)"’ = i -f («n* + i)«i+etc.

quelle que soit la valeur de m, a et b étant des constantes indépendantes de m, dont la valeur doit se déterminer par la considération de quelques cas particuliers.

Pour cela , on fera d’abord m = o , et l’on aura

i = i +ù«+etc.;

donc b=o. On fera ensuite m=i , et l’on aura i -{-•= i -4-atf-f-etc.; donc a= i.

D’où l’on conclura enfin

(1 +*)’’= i -+-m»-f-etc.

Donc , puisque

on aura

A {x i)m=zAxm Amxm7^1 t+etc.,

DES FONCTIONS. ai

quel que soit le nombre de sorte que la fonction dérivée de Axm sera en général Amxm~' , comme nous l’avons trouvée d’abord pour le cas de m rationnel.

La démonstration précédente ne laisse rien à désirer pour la rigueur et la généralité. Elle ne dépend que des fonctions dérivées de la forme la plus simple, et fournit, dès le commencement, un exemple remarquable de leur usage dans l’analyse.

On peut donc établir pour règle générale, que la fonction dérivée d’une puissance quelconque d’une variable, est égale à la puissance d’un degré moindre d’une unité de la même variable, multipliée par l’exposant de la puissance donnée.

De là et de la loi du développement des fonctions résulte une démonstration aussi simple que générale, et peut-être la seule rigoureuse qu’on ait encore donnée de la formule du binôme pour un exposant quelconque.

En effet, puisqu’on vient de trouver que

Fx — Axm

donne

F'x—mAxm~l,

on aura de même en prenant la fonction dérivée de cette dernière quantité,

F"x = m ( m — i ) Axm~%,

et, par la même raison, on aura, en prenant de nouveau la fonction dérivée,

F" x -=m(m — i ) (tu — 2) Axm~i, et ainsi de suite.

Donc, puisqu’on a trouvé en général ,

/ (x+i)=fx + if'x+l-fx-\-~fmx+elc.

on aura, pour le cas de /xrxx'", la série

(x + i)m = xm + mxm~‘ i + ’ItL'ÜZZi] *"■- j*

, m (m — i)(ni — 2) „•> -, .

-1 ^ ~ xm 3 P + etc.

Si on divise toute l’équation par xm, et qu’on y mette ensuite

i à la place - on aura

( , + 0”* = ‘ + — -i% H v 2- 3 4- etc.

Cette formule résulte de la précédente en y faisant x = 1 ; mais il n’aurait pas été rigoureux de l’en déduire de cette manière , puisqu’on a déjà remarqué que le développement de la fonction /"( x + i) en puissances entières de i, peut cesser d’être exact dans des cas particuliers de la valeur de x.

Si maintenant on multiplie l’équation précédente par am , et qu’on y substitue ensuite b à la place de ai, on aura

( a -f- b )" = a"' maM~‘ b -f- m ^ — — am~ib% + etc. ,

quelques valeurs qu’on attribue aux quantités a, b ,m.

La méthode que nous avons employée plus haut pour trouver directement la fonction primitive d’une quantité constante, peut être appliquée à d’autres cas. En effet, si dans la formule générale

f ( * + 0 — /* + ‘f* /*x+etc. ,

on fait

la fonction /*(x + i ) deviendra indépendante de x, et sera parconséquent égale à une constante b, laquelle sera proprement

des fonctions.

la valeur de lorsque x—o. On aura donc ainsi

d’où l’on tire

b= fx — -xf x + -fx — etc.,

fx = b + xf'x — —fx -f etc.

Si maintenant fx = a , on aura

fx — o , f * = o , etc. ; donc f x—b-\-ax-

Si fx — ax, on aura

fx = a , fx = o , f’x = o , etc. ;

r l . ax l i ax

f X — b-\-ax — —

donc

ax3

fx = b + ax3-ax3-{ — -~—-b+ — (

Si fx — ax ’, on aura

fx—. zax , fxtsx 2 a , fl'x — o , f'x = o , etc. ;

et ainsi de suite.

En général , si fx =<u“, on aura, en prenant les fonctions dérivées,

f'x = nax"~l , fx =zn (n — i ) axn~l , etc. ; donc substituant ces valeurs ,

Or on a , par le développement ,

CALCUL

I °t0" bt£*pï+'*-=° ;

donc

— - H — j etc., J —1,

et parconséquent

n , n ( re — 1 ) rc (n — 1 ) (ra — 2)

-f- etc., =

quel que soit le nombre »; donc on aura

ax .

fx~T+l + b'

En effet, la fonction dérivée de cette quantité sera, par la règle générale,

a ( n + » ) xH

= axn ,

la constante b ayant zéro pour fonction dérivée.