LEÇON QUATRIÈME

Fonctions dérivées des quantités exponentielles et logarithmiques. Développement de ces quantités en séries.

La fonction xm, dans laquelle x est la variable et m est une constante, conduit naturellement à la considération de la fonction a1 , dans laquelle la variable est x, et où a est une constante. Ces sortes de quantités s’appellent exponentielles , parcequ’elles ne varient qu’a raison de l’exposant.

Pour trouver la fonction dérivée de ax , il n’y aura , suivant le principe général, qu’à substituer x -J-z à la place de x, et développer suivant les puissances de i ; le coefficient du terme affecté de t sera la fonction cherchée.

Cette substitution donne la fonction

aI+‘=azXa‘.

Supposons a — i -f- b , on aura

et par la formule générale, démontrée précédemment, on aura

«'=( . +*)'= . + ib+ y 4/ (i-Ofr-*) y + etc

En ordonnant les termes de cette série suivant les puissances

CALCUL

de i, il est facile de voir que les deux premiers termes du développement de a* , seront

/ b1 & fr» \

1 +(b~T+ f-j+elcr

Soit, pour abréger ,

. i’ . As b t ,

c=b-T + T-j+etc.,

■ etc, ;

on aura donc i -f- ci pour les deux premiers termes du développement de a1 ; parconséquent , en multipliant par a* , on aura a* -f-ca* i pour les deux premiers termes du développement de ax+l. Donc cax , coefficient de i , sera la fonction dérivée de ax .

Le coefficient c dépend , comme l’on voit , de la quantité a , qui est comme la base de l’exponentielle , et on nomme communément ce coefficient le module.

On peut ainsi établir cette règle , que la fonction dérivée d’une quantité exponentielle , est égale à cette exponentielle multipliée par un coefficient constant qui dépend de la base de l’ exponentielle , et qu’on nomme le module.

Puisque la dérivée de a* est cax , la dérivée de celle-ci sera ea ax , et la dérivée de cette dernière sera de même c3 ax, et ainsi de suite.

Ainsi en faisant fx — ax , on aura

f'x — cax , f x = c’a1 , etc.

Doue , substituant ces valeurs dans le développement de f (x -f- i), on aura

ax+‘— ax -f- cax i -j axi* -f- —^axi3 -}- etc. ,

et divisant par a1,

, . c* fi . c'fi

a — i -f-ci-J 5 -f etc.

C’est la série dont nous n’avions trouvé ci-dessus que les deux premiers termes. Elle peut servir , comme l’on voit , à réduire toute puissance en une série ordonnée suivant les puissances de son exposant.

On peut par cette série déterminer directement la valeur de a en c.

En faisant i= 1 , on aura

(i—ï-t-c-l 1 = + etc.

Et lorsque c — 1 , la valeur de a se trouve exprimée par la série très-simple