LEÇONS

Sur le Calcul des Fonctions ,

Par J.-L. Lagrange.

Les leçons suivantes offrent un cours d’analyse sur cette partie du calcul qu’on nomme communément infinitésimale ou transcendante, et qui n’est proprement que le calcul des fonctions. Ces leçons ont été données à l’École polytechnique pendant l’an 7, excepté la dernière , qu’on a cru devoir ajouter ici pour compléter ce cours. Elles étaient destinées à servir de commentaire et de supplément à la première partie de la Théorie des fonctions analytiques.

Ceux qui ont étudié le calcul différentiel pourront se former, dans ces leçons, dés notions simples et exactes de ce calcul. Ils y trouveront aussi des formules et des méthodes nouvelles, ou qui n’ont pas encore été présentées avec toute la clarté et la généralité qu’on pouvait désirer.

Ces leçons ont déjà paru dans le Recueil des Écoles normales; mais l’École polytechnique a cru devoir les faire réimprimer dans son Journal pour l’usage des élèves de cette école.

LEÇON PR EMIÈRE.

Sur l’objet du calcul des Tondions, et sur les Fonctions en général.

Le calcul des fonctions a le même objet que le calcul différentiel, pris dans le sens le plus étendu ; mais il n’est point sujet aux difficultés qui

se rencontrent dans les principes et dans la marche ordinaire de ce calcul : il sert de plusàlierlecalcul différentiel immédiatement à l’algèbre, dont on peut dire qu’il a fait jusqu’à présent une science séparée.

On connaît les difficultésqu’offre la supposition des infiniment petits, sur laquelle Leibnitz a fondé le calcul différentiel. Pour les éviter, Euler regarde les différentielles comme milles, ce qui réduit leur rapport à l’expression vague et indéterminée de zéro divisé par zéro ( 1 ).

Maclaurin et d'^4 lembert em ploient la considération des limites et regardent le rapport des différentielles comme la limite du rapport des différences finies, lorsque ces différences deviennent nulles.

Cette manière de représenter les quantités différentielles ne fait que reculer la difficulté; car, en dernière analyse, le rapport des différences évanouissantes se réduit encore à celui de zéro à zéro.

D’ailleurson peut observer que c’est improprement qu’on applique le mot connu de limite à ce que devient une expression analytique, lorsqu’on y fait évanouir certaines quantités, parce que ces quantités, après avoir décru jusqu’à zéro, pourraientencore devenir négatives. Demème qu'en géométrie on ne peut pas dire, à la rigueur, que la sous-tangente soit la limite des sous-sécantes, pareequorien n’em pèche la sous-sécante décroître ou de décroître encore, lorsqu’elle est devenue tangente.

Les véritables limites, suivant les notions des anciens, sont des quantités qu’on ne peut passer, quoiqu’on puisse s’en approcher aussi près que l’on veut ; telle est, par exemple , la circonférence du cercle à l’égard des polygones inscrits et circonscrits, parce que, quelque grand que devienne le nombre des cdtés, jamais le polygone intérieur ne sortira du cercle, ni l’extérieur n’y entrera. Ainsi les asymptotes sont de véritables limites des codrbes auxquelles elles a ppar tiennent, etc.

Au reste, je ne disconviens pas qu’on ne puisse, par la considération des limites, envisagées d’une manière particulière, démontrer rigoureusement les principesdu calcul différentiel, comme Maclaurin,d Alenvbert, et plusieurs autres auteurs après eux, l’ont fait; mais l’espèce de

(i) On verra dans la leçon dix -neuvième, ce que signifie celle expression dans la langue algébrique.

métaphysique que l’on est obligé d’y employer, est, sinon contraire, du moins étrangère à l’esprit de l’analyse, qui re doit avoir d’autre métaphysique que celle qui consiste dans les premiers principes et dans les premières opérations fondamentales du calcul.

A l’égard de la méthode des fluxions, il est vrai qu’on peut ne considérer les fluxions que comme les vitesses avec lesquelles les grandeurs varient, et y faire abstraction de toute idée-mécanique mais la détermination analytique de ces vitesses dépend aussi, dans cette méthode, de la considération des quantités infiniment petites ou évanouissantes ; elle est par conséquent sujette aux mêmes difficultés que le calcul différentiel.

Quand on approfondit ces différentes méthodes, ou plutôt ces différentes manières d’envisager la meme méthode , on trouve qu’elles n’ont d’autre but que de donner le moyen d’obtenir séparément les premiers termes du développement d’unç fonction , en les détachant et les iso-> lant, pour ainsi dire , du reste de la série , parce que lous les problèmes dont la solution exige le calcul différentiel, dépendent uniquement de ces premiers termes; et on peut dire qu’on remplissait cet objet, sans presque se douter que ce fût là-ie seul but des opérations du calcul qu’on employait.

La considération des courbes avait fait naître la méthode des infiniment petits , qu’on a ensuite transformée en méthode des évanouissans ou des limites; et la considération du mouvement avait fait naître celle des fluxions. On a transporté dans l’analyse les principes qui résultaient de ces considérations ; et on n’a pas vu d’abord , ou du moins il ne paraît pas qu’on ait vu que les problèmes qui dépendent de ces méthodes, envisagés analytiquement, se réduisent simplement à la recherche des fonctions dérivées qui forment les premiers termes du développement des fonctions données, ou à la recherche inverse des fonctions primitives par les fonctions dérivées. i

Newton avait bien remarqué, dans sa première solution du problème sur la courbe décrite par un corps grave , dans un milieu résistant, que ce problème devait se résoudre par les premiers termes de la série de l’ordonnée ; mais il se trompa dans l’application de ce principe, et

dans sa seconde solution , il employa purement la méthode différentielle, eu considérant les différences de quatre ordonnées successives; et quoiqu’il ait laissé subsister le passage où il dit que le problème se résoudra par les premiers termes de la série , on voit que ce passage n’a plus de rapport immédiat à ce qui précède ni à ce qui suit.

11 est donc plus naturel et plus simple de considérer immédiatement le développement des fonctions sans employer le circuit métaphysique des infinimens petits ou des limites; et c’est ramener le calcul différentiel à une origine purement algébrique , que de le faire dépendre uniquement de ce développement.

En un mot, pour lever tous les doutes et dissiper tous les nuages, il faut ne rien faire évanouir ; et la considération des fonctions dérivées en fournit le moyen.

Mais à la naissance du calcul différentiel, on n’avait pas encore une idée assez étendue de ce qu’on entend par fonction.

Les premiers analystes n’avaient employé ce mot que pour désigner les différentes puissances d’une même quantité ; on en a ensuite étendu . la signification à toute quantité formée d’une manière quelconque d’une autre quantité; et il est aujourd’hui généralemenmdopté pour exprimer que la valeur d’une quantité dépend , suivant une loi donnée, d’une, ou de plusieurs autres quantités données.

Sous ce point de vue, on doit regarder l’algèbre comme la science des fonctions , et il est aisé de voir que la résolution des équations ne consiste en général qu’à trouver les valeurs des quantités inconnues en fonctions déterminées des quantités connues. Ces fonctions représentent alors les différentes opérations qu’il faut faire sur les quantités connues pour obtenir les valeurs de celles que l’on cherche , et elles ne sont proprement que le dernier résultat du calcul.

Mais, en algèbre, on ne considère les fonctions qu’autant qu’elles résultent des opérations de l’arithmétique , généralisées et transportées aux lettres , au lieu que , dans le calcul des fonctions proprement dit, on considère les fonctions qui résultent de l’opération algébrique du développement en série, lorsqu’on attribue à une ou à plusieurs quantité* de la fonction, des accroissemens indéterminés.

Le développement des fonctions, envisage' d’une manière générale, donne naissance aux fonctions dérivées de différens ordres; et l’algorithme de ces fonctions une fois trouvé , on peut les considérer en ellesmêmes et indépendamment des séries d’où elles résultent. Ainsi une fonction donnée étant regardée comme primitive, on en peut déduire, par des règles simples et uniformes, d’autres fonctions, que j’appelle dérivées; et lorsqu’on a une équation quelconque entre plusieurs variables, on peut passer successivement aux équations dérivées, et remonter de celles-ci aux équations primitives. Ces transformations répondent aux différentiations et aux intégrations; mais, dans la théorie des fonc-i tions, elles ne dépendent que d’opérations purement algébriques, fondées sur les simples principes du calcul.

Les fonctions dérivées se présentent naturellement dans la géométrie lorsqu’on considère les aires, les tangentes, les rayons osculateurs, &c. et dans la mécanique, lorsqu’on considère les vitesses et les forces. Si on regarde, par exemple, l’aire d’une courbe comme fonctioo de l’abscisse, 1 ordonnée en est la première fonction dérivée , ou fonction prime ; le rapport de l’ordonnée à la sous-tangente, est exprimé par la fonction prime de l’ordonnée, et, par conséquent, par la seconde fonction dé-, rivée ou fonction seconde de l’aire le rayon osculateur dépend des deux premières fonctions dérivées de l’ordonnée, et ainsi de suite. De meme , en regardant l’espace parcouru comme fonction du temps , la vitesse en est la fonction prime , et la force accélératrice en est la fonction seconde. Ce n’est peut-être pas un des moindres avantages du calcul des fonctions, de fournir, pour ces élémens de la géométrie des courbes et de la mécanique , des expressions aussi simples et intelligibles que le sont les expressions algébriques des puissances et des racines.

Lorsqu’on envisage une fonction relativement à une des quantités qui la composent, on fait abstraction de la valeur de cette quantité , et on ne considère que la manière dont elle entre dans la fonction , c’est-àdire, dont elle est combinée avec elle-même et avec les autres quantités. Ainsi la fonction est censée demeurer la même, tandis que cette quantité varie d’une manière quelconque , pourvu que les autres quantités avec

lesquelles elle est mêlée, demeurent constantes. Ce qui introduit naturellement , par rapport aux fonctions , la distinction des quantités en variables et en constantes.

Dans l’algèbre ordinairement on distingue simplement les quantités en connues et en inconnues, et on a coutume de désigner les unes par les premières lettres de l'alphabet , et les autres par les dernières. L’application de l’algèbre à la théorie des courbe» a fait d’abord distinguer les quantités qui entrent dans l’équation d’une courbe, en données, telles que les axes, les paramètres, &c. , et en indéterminées, telles que les coordonnées. Depuis on a envisagé ces mentes quantités sous l’aspect plus naturel de constantes et de variables ; et la considération des fonctions porte naturellement à regarder sous ce même point de vue les différentes quantités qui les composent.

Nous appellerons donc simplement fonction d’une ou de plusieurs quantités , toute expression de calcul dans laquelle ces quantités entreront d’une manière quelconque, mêlées ou non avec d’autres quantités regardées comme ayant des valeurs données et invariables, tandis que les quantités de la fonction sont censées pouvoir recevoir toutes les valeurs possibles.

Nous désignerons ordinairement les variables des fonctions par les dernières lettres de l’alphabet x, y , &c. , et les constantes , par les premières a, b, c, 8cc. ; et pour marquer une fonction d’une seule variable comme x , nous ferons simplement précéder cette variable de la lettre caractéristique^ ou F ; mais, lorsqu’on voudra désigner la fonction d'une quantité déjà corrçposée de cette variable , comme x 1 ou a-\-hx, &c., on renfermera cette quantité entre deux parenthèses. Ainsi fx désignera une fonction de x; f (x 1 ), f ( a -t- bx) , &c. , désigneront des fonctions de a 1 , de a-\-bx, &c.

Pour marquer une fonction de deux variables indépendantes, comme x et y, nous écrirons y (x, y), et ainsi des autres. Lorsque nous voudrons employer d’autres caractéristiques , nous aurons soin d’en avertir.

Si deux fonctions de deux variables différentes, x, y, c’est-à-dire, l’une de x, et l’autre dey, sont composées de la même manière et avec les mêmes constantes , ces fonctions seront pareilles et pourront être

désignés dans un même calcul par la même caractéristique; ainsi fx et Jy seront deux fonctions pareilles qui deviendront identiques en faisantj=x. Mais si les deux fonctions étant composées de la même manière, les constantes qu’elles contiennent sont différentes, alors on ne pourra plus, généralement parlant, les représenter por la meme caractéristique dans le cours d’un même calcul. Cependant si les deu fonctions ne di Aèrent, par exemple , que par la valeur d’une constante, qui serait a dans l’une, et b dans l’autre, on pourra encore les désigner par la même caractéristique, eu les représentant par f(x, a), etf(y, comme des fonctions pareilles de x, a, et de y, b. Ainsi, dans ce cas les quantités a et b entreront aussi dans l’expression de la fonction , parce que, quoique constantes dans chaque fonction , elles regardées comme variables d’une fonction q l’autre.

Nous u 'entrerons ici dans aucun détail sur les différentes formes m s fonctions; mais nous allons considérer la dérivation des fonctions unes des autres, dans laquelle consiste proprement le calcul des fonctions.