LEÇON SECONDE

Sur le développement d’une F onction d'une variable , lvrsqu*on attribue un accroissement à cette variable. Loi générale de ce développement. Origine des Fonctions dérivées. Diffère ns ordres de ces Fonctions. Jjeur notation

Considérons une fonction fx d’une variable quelconque .r. Si à la place de x on substitue x -t- i, i étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra f(x -+- i), et, par la théorie des séries, on pourra la développer en une suite de cette forme fx -+- pi qi 1 ré -t- etc., dans laquelle les quantités p, q, r, etc., coefficients des puissances de i, seront de nouvelles fonctions de x, dérivées de la fonction primitive de fx , et indépendantes de la quantité i.

il est clair que la forme des fonctions p, q , r, etc., dépendra uniquement de celle de la fonction donnée fx\ et on déterminera aisément

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ces fonctions dans les cas particuliers, par lesrcglcs.de l’algèbre ordinaire, en développant la fonction dans une série ordonnée suivant les puissances de i.

* Cette dérivation de* fonctions est une opération d’algèbre plus générale que l’élévdlion aux ptiissances et l’extraction des racines; et les principaux problèmes d’analyse, de géométrie et de mécanique, en dépendent , cçmine on l’a montré dans la T/icorie des Fonctions analytiques.

Mais, pour ne rien avancer gratuitement, nous commencerons par examiner la forme inème de la série, qui doit résulter du développement de toute fonction fx, lorsqu’on y* substitue / au lieu de x , et que

nous supposons ne devoir contenir que des puissances entières et positives de /'. Cette supposition se vérifie en effet pur le développement des différentes fonctions connues; mais persontiè, que je sache, n’avait cherché à la démontrer à priori ; ce qui me parait néanmoins d’autant plus nécessaire, qu’ily a des cas part iculiersoù elle peut ne pas avoir lieu .

Je vais d’abord démontrer que, dans la série qui résulte du développement d’une fonction algébrique f(x -t- i), il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de i,à moins qu’on ne donne à x des valeurs particulières.

En effet, il est clair que les radicaux de i ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction même fx\ et il est clair, en même temps, que la substitution de x i, au lieu de x , ne pourrait ni augmenter, ni diminuer le nombre de ces radicaux, ni en changer la nature, tant que x et i seront des quantités indéterminées. D’un autre côté, on sait, par la théorie des équations, que tout radical a autant de valeurs différentes ni plus ni moins qu’il y a d’unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle a, par conséquent, autant de valeurs différentes qu’on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu’elle renferme. Donc, si le développement de

la fonction f(x-^-i) pouvait contenir un terme de la forme ai" , la fonction fxse rait nécessairemeu tirrationnelle, et aurai t/parconséq tient un certain nombre de valeurs différentes, qui serait le même pour la

fonction

fonction / fx ~+-iJ , ainsi que pour son développement. Mais ce déve-

loppement étant représenté par la série /je -f- pi ~\-qi l &c., -+-ui m -t- &c. t chaque valeur de fx se combinerait avec chacune des valeurs du radical \/i a ; de sorte que la fonction f (x -+-i) développée, aurait plus de valeurs différentes que la même fonction non développée ; ce qui est absurde.

Cette démonstration est générale et rigoureuse tant que a- et i demeurent indéterminés ; elle cesserait de l’être si on donnait à x des valeurs déterminées ; car il serait possible que ces valeurs détruisissent quelques radicaux dans,/*, qui pourraient néanmoins subsister dans f(x-i-i). Nous examinerons à part ces sortes de cas et les conséquences qui en résultent.

Nous venons de voir que le développement de la fonction / f x-h-i ) ne saurait contenir en général des puissances fractionnaires de i; il est facile de voir aussi qu’il ne pourra contenir non plus des puissances négatives de /.

Car, si parmi les termes de ce développement, il y en avait un

de la forme t-, m étant un nombre entier positif, en faisant i=o, ce

terme deviendrait infini; donc la fonction / fx -f ~ij devrait devenir infinie lorsque i = o ; par conséquent il faudrait qu efx devînt infinie, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de x.

Nous sommes donc assurés que fx exprimant une fonction quelconque de x algébrique , la fonction / fx -4- i) peut , généralement parlant , se développer en une série de cette forme ,

dans laquelle p, q, r, &c., seront de nouvelles fonctions de x dérivées de la fonction primitive fx.

Si la fonction fx n’est pas algébrique, on peut néanmoins supposer' que le développement de / fx -+-i) soit en général de la même forme,’ en regardant comme des exceptions particulières les cas où ce développement contiendrait d’autres puissances de / que des puissances positives et entières. Ainsi, quelle que soit la fonction fx, nous ne considéreront XI 1.' Cahier. B

que les fonctions p, q, r, & c. , résultantes du développement def (y

suivant les puissances /', i*, /’, &c.

Quoique la forme de ces fonctions dérivées dépende essentiellement de celle de la fonction primitive , il règne néanmoins entre elles une loi générale que nous allons exposer.

Supposons que l’indéterminée x soit changée en x -4- o, o étant une quantité quelconque indéterminée, et indépendante de i, il est visible que la fonction f (x -+- i) deviendra/ (x -+- i -+- o); et l'on voit en même temps que l’on aurait le même résultat si on mettait, dan sf i -f- <4 à la place de i. Donc aussi le résultat sera le même, soit qu’on substitue / -+- o à la place de i, ou x — t— o à l^place de x dans la série fx -j- ip -+- /* q -t-i 3 r -+- & c., qu’on suppose égale à la fonction

La substitution de i -4- o au lieu de / dans cette série , donnera fx H- (i - 4 - o) p -f- ( i -4- o ) 1 q -4- (i -4- o)' r-4-&c.;

Savoir, en développant les puissances de / -4- o et n’écrivant, pour abréger, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffit pour notre objet,

- 4 - o p - 4 - i i o q- 4-3 / i or- 4 - 4 / , 0 J- 4 - &c.

Pour faire maintenant la substitution de x -4- 0 au lieu de x dans la même série, nous observons que, puisque la fonction fx devient f x - 4 - / p - 4 - &c., lorsqu’on y change x en x - 4 - i , elle deviendra /x- 4 -op- 4 -&c., en y changeant x en x-4-0. De même si /r — | — r — | — &c. q - 4 - / q' - 4 - &c. , r -4- / r' -4- &c. sont ce que deviennent les fonctions p, q, r, &c., lorsqu’on y substitue x -4-> / au lieu de x et qu’on les développe suivant les puissances de /, on aura, en changeant i en 0, p -4- 0 p ' H- &c. q -4- 0 q’ -4- &c. r -4- 0 r' -4- &c. &c. , pour les développemens des mêmes fonctions après la substitution de x -4- 0 au lieu de x.

Donc, par cette substitution, la série fx -4— ip -4- i* q -4- &c., deviendra, en omettant les termes qui contiendraient le carré et les puissances plus hautes de 0 ,

i ' f x -4- ip -+- i* q -4- i } r -f- i* s - f- &c.

f o p -f- iop' -+-i‘oq / -hi’oZ-h- & c.

Ce résultat doit être identique avec le précédent, indépendamment des'valeurs de / et de o, qui peuvent être quelconques; il faudra donc que les termes affectés des mêmes puissances et produits de / et o soient identiques en particulier. Ainsi on aura les équations identiques 2 q—p'.

3 r ef , 4-r = r 1 , &c. ; d’où l’on tire q — \p', r = j ef , s = ^ r' &c.

Dénotons en général par f'x la fonction p dérivée de la fonction fx, en mettant un accent à la caractéristique/^ pour indiquer la dérivation de la fonction. Dénotons de même par f'x la fonction dérivée de la fonction f'x, en ajoutant un accent à la caractéristique f de la fonction f'x d’où elle est dérivée. Dénotons pareillement par f'" x la fonction i dérivée de fx, et ainsi de suite.

Ces fonctions f'x, fx, f'x , &c., ne seront autre chose que les coefficiens de i dans les premiers termes des développemens des fonctions f (x i), f(x H —i), f ( x & c.

On aura ainsi p=zfx, et comme p' est la fonction dérivée de p, on aura p' =/* x, et par conséquent q z= j f x. Ensuite q’ étant la fonc- ' tion dérivée de q, on aura q' = j fx, et par conséquent r — f \f x ; ainsi de suite.

Donc, substituant ces expressions dans la série fx -4- i p -f- /* q -+-&c., qui est le développement de f (x —f- i), on aura cette formule fondamentale ,

i/r+//=/r4-/fr + ^ + ifr+^r+&c.

Cette expression du développement de f (x i) a l’avantage de faire voir comment les termes de la série dépendent les uns des autres, et sur-tout comment, lorsqu’on sait former la première fonction dérivée d’une fonction primitive quelconque, on peut former toutes les fonctions dérivées que la série renferme.

Nous appellerons la fonction f x fonction primitive par rapport aux fonctions f x, f p &c., qui en dérivent; et nous appellerons celles-ci

fonctions dérivées par rapport à celle-là. Nous nommerons de plus la fonction dérivée f'x , première fonction dérivée ou fonction dérivée du premier ordre, ou simplement fonction prime; la fonction f’x, dérivée de ctlie-ci, seconde fonction dérivée, ou fonction dérivée du second ordre, ou simplement fonction seconde; la fonction/"'*, dérivée de la précédente, troisième fonction dérivée, ou fonction dérivée du troisième ordre, ou simplement fonction tierce, et ainsi de suite. »

Mais nous entendons toujours par fonction dérivée simplement, la première fonction dérivée, et par fonction primitive, celle d’où elle est censée dérivée. Nous leur donnerons aussi quelquefois, pour plus de simplicité , le simple nom de dérivées, ou de primitives.

Si la fonction primitive n’est pas représentée par la caractéristique/, mais par une autre variable, comme lorsqu’on suppose y fonction de * donnée par une équation quelconque entre * etj, alors on pourra dénoter de même ces fonctions dérivées, par des accens ou traits appliqués à la lettre y, et les appeler simplement y prime , seconde , tierce, &c.

Ainsi y étant regardée comme une fonction quelconque de x, ses fonctions dérivées seront représentées par/,/,/", &c.; de sorte que y étant la fonction primitive, / sera sa fonction dérivée du premier ordre, ou fonction prime, / sera la fonction dérivée du second ordre ou fonction seconde, &c.; et on les, nommera^ prime, y seconde, & c.

De cette manière .v devenant * /, la valeur de y deviendra

En général , si on a une expression quelconque en x , y, & c. , ort pourra désigner ses fonctions dérivées par des traits appliqués à la même expression renfermée entre deux parenthèses : ainsi

çy Y

d-v-tx -+- gy,

représentera la première fonction dérivée de l'expression ■ b x -v-ey

■cy

■sy

-J représentera la seconde fonction dérivée de la même

expression ; et ainsi de suite. *

Et si l’on a une fonction de plusieurs variabJes x, y, &c. , exprimée

en général par / (x,y...), on dénotera ses fonctions dérivées r^atives à toutes ces variables , en appliquant un , deux , &c. traits à la caractéristique f ; ainsi/' (x, y.;.) dénotera sa fonction prime, f“(x,y...) sa fonction seconde, &c.

Quoique les fonctions dérivées doivent leur origine au développement de la fonction primitive, lorsqu’on augmente la variable d’une quantité quelconque i, on voit quelles sont indépendantes de cette même quantité, qui ne sert, pour ainsi dire, que comme un outil pour former ces fonctions. Ainsi, dès qu’on aura trouvé, par la considération du premier terme du développement , des règles générales pour passer d’une fonction primitive à la fonction dérivée , on pourra faire abstraction de tout développement , et regarder la dérivation des fonctions comme une nouvelle opération d’algèbre plus générale et d’une beaucoup plus grande étendue que l’élévation aux puissances.

Ceux qui savent le calcul différentiel n’auront pas de peine à se convaincre que les fonctions dérivées f x, f" x, &c., y', y ", &c., reviennent aux quantités qu’on désigne dans ce calcul par ■ d -f* d% f* . d y y> .

dx ' dx‘ ' &C - dx’ dx‘ &C -.

et ainsi des autres expressions semblables.