V -4— m V m x V -H m 1 V Sec

ainsi la seconde de ces deux séries serait la dérivée exacte de la première; donc en retranchant les premiers termes U, V, dont l’un est.

i+i ANALYSE.

par i’hypothèse, la dérivée exacte de l'autre, et divisartt par la constante m, on aura les deux séries

U -H mU H- m 1 U -+- &c. ,

dont la seconde devra être la dérivée exacte de la première , quelle que soit la constante m. D’où il est facile de conclure que les termes

devront être chacun en particulier la dérivée exacte de chacun des termes correspondans

Car d’abord , en faisant m z=z o , il s’ensuivra que V sera la dérivée

exacte de U ; donc, retranchant les premiers termes de part et d’autre, et divisant par m, on aura les séries

U -t- mU m' U H- &c., V m V -I- m* V h- &c. ,

dont la seconde sera la dérivée exacte de la première ; et ainsi de suite.

En général, comme la fonction V ne contient les quantités ù, a', u", &c. qu’à la première dimension, il est facile de s’assurer que tant que ces quantités demeureront indéterminées , sa fonction primitive ne peut contenir aussi que les premières dimensions des mêmes quantités;

par conséquent il n’y a que le terme U qui puisse être sa fonction

primitive. 11 en est de même des termes V et U , où ces quantités montent à la seconde dimension ; et ainsi de suite.

Il faut donc d’abord que la fonction V soit une dérivée exacte , indépendamment d’aucune relation entre x, y et «. Or , puisque V est la. partie du développement de V qui ne contient que les premières dimensions de u, &c., il est clair que cette fonction ne peut

être que de la forme

V = Nu H- Pu' <2 u —H R u‘" &c. ,

les coefficiens N, P, Q, &c. étant des fonctions de x, y, y', y", &c., sans u. Ainsi tout se réduit à trouver les conditions nécessaires pour qu’une fonction de cèllç forme soit, généralement parlant, une dérivée ■exacte.

Si on considère les fonctions dérivées du produit de deux quantités quelconques, et qu’on dénote, comme nous l’avons indiqué à la fin de la leçon deuxième, par des traits appliqués aux parenthèses, les fonctions dérivées des quantités renfermées entre les parenthèses, on a

(Pu/ = Pu' t - Fu; donc Pu' z=z (Pu)' — Pu. --

. On a, de la même manière,

Qu = (Qu')' — Q’u', et Q'u' == (Q(u)’ — Q'u-,

donc Qu” = (Qu'/ — (Q'u)' Q'u.

Et l'on trouve pareillement

Ru"' — (Ru”)' — (R'u'/ (R“ a)' R"'u ;

et ainsi de suite.

Faisant ces substitutions dans l’expression de V, elle deviendra

-t- (Pu)' — (Q'u/ -+- (R" u)' ■— ; $cc. , • q

.-H, (Ru)' - &c.

Comme tous les termes de cette expression , excepté le premier, sont des fonctions dérivées exactes, il faudra que le premier terme

;i4+ ANALYSE,

en soit une aussi en particulier ; or ce terme étant de la forme

où N, P, Q . &c. sont des fonctions de x, y, y', & c., sans u, il est visible qu’il est impossible que cette formule devienne une fonction dérivée exacte, par rapport à ces variables et à la variable u, indépendamment d’aucune relation entre ces variables. D’où il s’ensuit que

la fonction V ne saurait devenir exacte , à moins que la formule dont il s’agit ne disparaisse d’elle-même.

Ce qui donne l’équation

laquelle devant avoir lieu indépendamment d’aucune relation particulière entre x et y, devra être entièrement identique.

• Telle est donc l’équation de condition nécessaire pour que la fonction V devienne une fonction dérivée exacte ; et il est visible que cette équation ayant lieu , sa fonction primitive sera

(P — Q'-t -R" — &c .) u-\-(Q — R'-y-Scc.) £•>'-+ -(R — Scc.) u" &c.

Maintenant je vais prouver que si la fonction V est une fonction dérivée exacte, la fonction V en sera nécessairement une aussi. Pour cela je vais d’abord prouver qtie les fonctions V, V, Scc. , seront, chacune en particulier, des dérivées exactes.

Puisque la fonction V est supposée une dérivée exacte d’une fonetion de x, y, y', Scc. , u, u', Sec. , si l’on met dans l’une et dans l’autre de ces fonctions y — t— nu à la place de y, et par conséquent aussi y' -+- nu, y' -H nu', Scc. à la place de y , y" , Scc., n étant une constante quelconque arbitraire , la première sera encore une .fonction dérivée exacte de la seconde; et elle le sera aussi étant développée suivant les puissances et le» dimensions de u, u', u", Scc.

Supposons

Supposons que, par ces substitutions et ce développement, la fonc-

tion V devienne

chacune des fonctions