LEÇON QUATORZIÈME

Des Équations de conditions , par lesquelles on peut reconnaître si une fonction d un ordre quelconque , de plusieurs variables , est une fonction dérivée exacte.

J’appelle ' en général fonction du premier ordre, toute fonction qui contient des fonctions dérivées du premier ordre, soit qu’elle soit,

elle-

elle-même une fonction dérivée ou non. J’appelle de même fonction du second ordre , toute fonction qui contient des fonctions dérivées du second ordre, soit quelle soit ou non une fonction dérivée; et ainsi de suite.

Ainsi, si V est une fonction quelconque de x, y et y', ce sera une fonction du premier ordre; si Kest une fonction quelconque de x, y, y' et y", ce sera une fonction du second ordre; et, en général, V sera une fonction de l’ordre n.‘ me , si elle contient x, y, y', y", y'" , &c. jusqu’à y ou seulement quelqu’une de ces quantités, pourvu qu’elle contienne .

Considérons une fonction V d’un ordre quelconque des variables x et y. Il est clair que si y était une fonction donnée ou connue de x, la fonction V deviendrait une simple fonction de x, et dans cet état, elle serait ou pourrait être censée être une fonction dérivée exacte ; car si elle n’a pas naturellement une fonction primitive, on peut toujours en trouver une par ^es séries, soit en résolvant la fonction donnée en série de puissances de x , et prenant ensuite la fonction dérivée de chaque terme ; soit en employant la série générale ( leçon douzième )

et supposant que yf soit la fonction proposée en x , dont par conséquent y sera la fonction primitive.

Mais lorsqu’on regarde y comme une fonction indétermfhée de x, alors la fonction V ne peut devenir une fonction dérivée exacte , qu’en satisfaisant à certaines conditions.

En effet, supposons que F soit une fonction dérivée exacte de l’ordre//.'*', dont la fonction primitive de l’ordre immédiatement inférieur soit

F (x, y, y’... y On a donc, par l’hypothèse,

et séparant dans cette fonction dérivée , la partie relative à / * “ ’ on aura

V = F' (x, y, /... y (•- '}) -H yC) F ' (y <• ~

XI/.* Cahier. S

d’où l’on voit que la fonction V ne peut être que de la forme

V = 4' (x.y.y ... y ( * ~ '>) -*ry (aj <t> (x.y.yf • . • y ( * T '*)•

les caractéristiques <f> et 4/ dénotant des fonctions inconnues des quantités x, y, y , & c.', y(* ~ ' > ; et il faudra qu’il y ait entre ces fonctions une relation telle que l’on ait

* (iïy:y...y<'-'>)- F (y ( '- l >).

Considérons dans la fonction <p la quantité y(* ~~ ') , comme seule variable, et prenons la fonction primitive relativement à cette seule variable. Si on dénote par

d> (x,y,y...yC-'>)

cette fonction primitive, elle sera en même temps la fonction primitive de la partie

relative à la variation dey 0 'K Elle ne pourra donc différer de la valeur de F (x, y, y’. . .y ( n ~ 1 ‘ '>), que d’une quantité indépendante

On aura donc

U étant une constante relativement à y(* ~ , et qui pourra être une

fonction quelconque de x, y, y', & c. , y( H “ V sans y (H ~ 'J.

Prenant maintenant les fonctions dérivées relativement à .r, y, y, &c.,

y(" — I), Qn at)ra

où U ' est la fonction dérivée complète de U, puisque U ne contient que x, y, y ‘&c. y “*

Ainsi on aura

• 4' (* 'h /• • * /* “ IJ ) = *' f** ?>/••' y (t “ ^ -H £/',

et par conséquent,

d’où il s’ensuit que la fonction

doit être elle-même une fonction dérivée exacte d’une fonction de

Ainsi la question de rendre une fonction de l’ordre n. emc une dérivée

exacte, est réduite à rendre une autre fonction de l’ordre (n i)‘ m ‘

une dérivée exacte; et ainsi de suite.

En procédant ainsi par degrés, on peut trouver, non-seulement les conditions pour qu’une fonction donnée d’un ordre quelconque, soit la dérivée exacte d’une fonction de l’ordre immédiatement inférieur, mais encore cette fonction même qui en sera la fonction primitive.

Soit donnée, par exemple, la fonction du second ordre,

• En la comparant à la formule générale, on aura n — 2 , et

Considérant / comme la seule variable, la fonction primitive

X Jt Jt*

de — - sera — — — = <p ( x,y , y'), de sorte qu’on aura

U étant fonction de x et y seulement.

Or , en r\€ faisant varier que x et y, on aura

donc on aura

i\Q ANALYSE.

donc U =r: K, K étant une constante quelconque; par conséquent la

fonction primitive F (x, y, y') de la proposée, sera -fc- K,

comme il est facile de s’en assurer.

Lorsque la fonction proposée ne sera pas une dérivée exacte, alors dans la suite des fonctions qui doivent être en même temps des dérivées exactes, il s’en trouvera une qui, par sa forme, ne pourra pas l’être; et on en conclura que la fonction proposée ne saurait l’être non plus dans l’état où elle est. Mais comme dans les fonctions d’un ordre un peu élevé, les opérations qu’on aurait à exécuter pour pouvoir s’assurer si . elles sont des dérivées exactes , pourraient rendre cette recherche assez pénible, il est utile d’avoir des caractères généraux , par lesquels on puisse juger immédiatement si une fonction d’un ordre quelconque est , ou non, une dérivée exacte d’une fonction de l’ordre immédiatement infé-

• rieur, x>u même d’un ordre inférieur quelconque. Ce sont ces caractères qu’on connaît dans le calcul différentiel, sous le nom de conditions dintégrabilité, et cya Euler et Condorcet ont réduits à des formules générales et élégantes.

Voici, pour y parvenir, une analyse nouvelle, tirée uniquement des principes de la chose.

Supposons que la fonction V d’un ordre quelconque soit la fonction dérivée exacte de la fonction U de l’ordre immédiatement inférieur ,

# indépendamment d’aucune relation particulière entre x et y; il est clair que si dans ces deux fonctions on substitue à-la-fois y -+- a; à la place dey, et conséquemment y' H— c/,y" -4- «•>", &c. , à la place dey , ,y”,&c. > en supposant a une fonction indéterminée de x, ces fonctions continueront à être l’une la fonction dérivée exacte de l’autre, puisque cette dérivation ne dépend point de la valeur de y. Donc elles le seront encore si, après ces substitutions , on les développe suivant les puissances et les produits de u, u', u", &c.

Dénotons par U la totalité des termes du développement de U, où les quantités u, u', w", &c. ne se trouveront qu’à la première dimension;

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* • par U la totalité des termes où ces quantités formeront deux dimensions, &C.‘

Dénotons de meme par V la totalité des termes du développement

de V, où les mêmes quantités u, u', u", Sic. se trouveront à la pre-

micre dimension ; par V la totalité des termes où ces quantités formeront deux dimensions, &c.

On aura U -+- U -4- U -H £/'-+- &c.,pour le développement » » 1

de U , et V H- V -+- V -+- V -+- Sic., pour le développement de V.

Cette dernière série sera donc la fonction dérivée exacte de la 0 première ; et je vais prouver que chaque terme de l’une sera la fonction dérivée exacte du terme correspondant de l’autre.

Car, si au lieu de substituer simplement

y -t- u, y' -h- u', y” -+- Sic.,

à la place de y, y', y". Sic., on avait substitué

• y H- mu, y' -t- mu', y" - 4 - mu ", Sic.,

m étant une constante quelconque indéterminée, la transformée de V serait également la dérivée exacte de la transformée de U , quelle quê puisse être la valeur de m. Or il est visible que, par ces substitutions, les fonctions U cl V deviendraient