V -+- nV -t- nV -f- &c

Far conséquent , si dans la fotmule

V -+- mV -+- m'V -+- m'V -f- Sec., on fait ces mêmes substitutions de

/ nu, / -t- nu’, Sec.,

à la place de y, y 1 . Sec., et qu’on développe les termes suivant les puissances de a, 8tc., elle deviendra

XII Cahier. T

-f- mV — f- mnV -4— nui 1 y -4— &c.

n?y -4— m'ny -4- Sic.

D’un autre côté, cette même formule

ÿ -4- mÿ -4- «*y -4- Sic., étant déjà le résultat de la substitution de

y - 4 — mu, y' -f- mu 1 . Sic.,

à la place de y, y', Si c. dans la fonction U , il est clair que le résultat de la nouvelle substitution de

y - 4 - nu, y' -f- nu', &c. ,

à la place de y, y'. Si c., ne pourra être autre chose que le résultat des substitutions simultanées de

y p ( m n)u, / -4- (m -4- tt) u. Sic.,

à la place de y, /, Sic. , dans la même fonction K; et que ce résultat sera , en changeant « en m -4- n,

y (ni -4- n) y -4— (m -4— n) 1 y -4— (m -4- n)' y -4- Si c.

Ces deux résultats doivent donc être identiques* et à cause des deux constantes indéterminées m et n, il faudra que les termes affectés des mêmes puissances de m et n, soient identiques de part et d autre.

Comparant les termes affectés de m, mn, mn l , mn &c., on aura donc

Donc

y y, y = — y, y — y, Sic.

La comparaison des autres termes fournira d’autres relations , que nous omettons parce quelles ne sont point nécessaires pour notre objet.

Donc , puisqu’on a déjà vu que ies fonctions

sont nécessairement des fonctions dérivées exactes dès que la fonction V

* 1 *" • en est une , il s’ensuit que ies fonctions V, V, &c. ie seront aussi.

Ceia posé, comme par ia simple substitution de y -t- «, / -4y" -f- u ”, &c., à la place de-y, /, y“ , & c. , la fonction V devient

Si on désigne par (V) le résultat de cette substitution, on aura

Et il s’ensuivra que (V) — V sera nécessairement une fonction

dérivée exacte dès que Ken sera une, quelle que puisse être la valeur de a. '

Faisons u z= — y, ce qui est permis , puisque a désigne une quantité indéterminée; alors les quantités

deviendront toutes égales à zéro, et la fonction (V) ne contiendra plus y, mais seulement x, puisque y, y', y", &c., ont disparu : cette fonction sera donc ou pourra toujours être censée une fonction dérivée exacte, puisqu’elle n’est plus fonction que d’une seule variable x ; donc la fonction V sera aussi nécessairement une fonction dérivée exacte

dès que la fonction V le sera.

On peut de plus, par l'analyse précédente, avoir l’expression de la fonction primitive de K.

En effet, nous avons vu, d’un côté, que K est ia fonction dérivée

de U , et nous avons trouvé, d’un autre côté, que la fonction primitive

de K est c .

On aura donc

Ù= (P — Q' + R" — 8cc.) u-+-(Q — R-+-8cc.)u' -H (R — &c.>* — f- &c.

Ensuite , si on substitue dans cette fonction, à ia place de y, y', y", & c. , y H- »«, y -£■ »»', 7 “ -4- »«", &c., et que, par le développement suivant les puissances de u, u', 8c c.,

la fonction U devienne

on démontrera , comme on l’a fait ci-dessus à l’égard de la fonction V, que l’on aura

Ainsi on aura la série

y + i(/ + i(/ + ly + &c.,

pour la fonction primitive de V -+- V -+- V -f- 8 cc., c’est-à-dire, de

Si donc on fait

/ llf

dans les expressions connues de U, U, U, &c. ,

et qu’on dénote par (U) ia valeur de la série

on aura (U) pour la fonction primitive de (V) — V ; et comme (V) est alors la valeur de V en y faisant y, y', y“ , &c. nuis, laquelle devient une simple fonction de x si on dénote sa fonction primitive par X, on aura X — (U) pour la fonction primitive de la fonction proposée V. Ainsi on peut, de cette manière, avoir directement la fonction primitive

de la proposée , lorsqu’elle satisfait à l'équation de condition. Comme l’expression de (U) est en série , elle sera de peu d’usage sous celte forme; mais la formule que nous venons de trouver sert toujours à prouver l’existence de la fonction primitive.

Si on représente, en général, la fonction V par f (x, y, y', y", Sic.),

et qu’on dénote, comme on l’a fait jusqu’ici, par f (y) sa fonction dérivée par rapport à y seul ; qu’on dénote de même par f (y') la fonction dérivée par rapport à y' seul , regardé comme une variable particulière ; par f' (y" ) la fonction dérivée par rapport à y" seul , et ainsi de suite , il est facile de voir que , ptfisque

V = Nu -+- Pu' -t- Qu" -+- &c., #

est la partie du développement de V, qui contient les premières puissances de u, u\ &c., après la substitution de

y -4- ®, y -4- y" -+- Scc.,

à la place de y, y’, y", &c., il est facile de voir, dis-je, par la formatiop des fonctions dérivées, que l’on aura

D’où l’on conclut enfin, que l’équation de condition, pour qu’ane fonction quelconque

f<x, y, y’, y , f, Sic.), soit une fonction dérivée exacte, Sera

f (y) - [f (y')r -+- ff (y)] m - &c. = o ;

et que réciproquement, lorsque cette équation aura lieu identiquement, la fonction dont il s’agit sera nécessairement une fonction dérivée exacte.

Si on désigne par

sa fonction primitive, et qu’on se rappelle que U étant la partie du

développement de U qui contient les premières puissances de », u‘ , a", &c. , on a trouvé

Ù = (P — Q! -+- /?" — 6cc.) « -f- (^<2 — /?' -f- &cj &c. , il est clair qu’on aura

P — Q' -+- /?' — &c. = F' ft/,

Q — R' -f- Sic. — /•' (y'),

R — Sic. = F' (y" J,

Donc, substituant les valeurs de P, Q, R, 8cc., on aura f (>) - f (f) - {' (f) H- /' (f) - &c..

F'O'J =/' iw 0*; ■+■ te..

= /' 07 - te-

Or la fonction dérivée de

est représentée par

F' (x) H- /F' ( y ) y" F’ (y’) -+- fF' (y") -+- &c.;

et comme cette fonction est, par l’hypothèse, égale à

f (x, y, y', y ", y'", Sic.), on aura, en substituant les valeurs précédentes,

Et telle est la forme que doit avoir la fonction proposée pour pouvoir être une fonction dérivée exacte. *

Ainsi on aura

De sorte qu on aura par ces formules , les fonctions dérivées de iÿ

fonction primitive cherchée, prises par rapport à chacune des quantités x, y, y 1 , y", &c. en particulier ; ce qui servira à faciliter la recherche de cette fonction.

Supposons d’abord, pour donner quelques exemples, que la fonction • proposée ne soit qu’une fonction du premier ordre représentée par f ( x , y, y'); l’équation de condition , pour quelle soit une fonction dérivée exacte, sera

Pour que cette équation puisse être identique, il faut que, dans le second terme, il ne se trouve pas de fonctions dérivées de y plus hautes que dans le premier terme f (y); or, celui-ci ne peut contenir que la fonction /; donc il faudra que l’expression f (/J dont la fonction dérivée forme le second terme , ne contienne pas y', autrement il entrerait y" dans le second terme. 11 s’ensuit de là que la fonction / ( x > y> y') • ne P eut ^ tre <I ue forme 4 (x, y) -+- / <p (x, y), les caractéristiques 4 et désignant des fonctions quelconques de .v et y sans /. •

Soit donc

la fonction proposée, en la représentant par f (x,y,y'), et prenant les fonctions dérivées relativement à y et /, on a

Ainsi l’équation de cqpdkion sera

mais <p' (x, y) — <f>' (x) -f- / <p' (y) ; donc l’équation se réduit à Ÿ (y) — <P' (x) = o;

ce qui est conforme à ce que l’on sait depuis long-temps.

Si on désigne par F (x, y), la fonction primitive de f (x, y, y), on aura, par les formules données plus haut, à cause de f (y") — o,

Ainsi, pour trouver la fonction primitive F (x, y), il n’y aura qu’à chercher la fonction primitive de < p (x, y), par rapport à y seul, et la fonction primitive de 4' ( x >y)> P ar rapport à x seul; si elles s’ac- , cordent, on aura la vraie valeur d c.F (x, y); si elles different, ce ne peut être qu’à cause de l’addition qu’on peut faire, à la première, d’une fonction de x , qui y est regardée comme constante , et à la seconde, d’une fonction dey, qui y est regardée comme constante; et.il sera facile de déterminer ces fonctions pour qu’elles deviennent identiques.

Nous avons vu, dans la 'leçon précédente, que toute équation du premier ordre de la forme

/ Ht / (*• y) = O.

a nécessairement un multiplicateur, fonction de x et y, qui peut rendre son premier membre une fonction dérivée exacte.

Si donc on désigne ce multiplicateur par <p (x, y), il faudra que la fonction

/ <? (*• yf -+- / (*• y) * <P (x, y),

■ soit une dérivée exacte.

Donc, en supposant

on aura l’équation de condition

mais

donc l’équation de condition sera

et toute fonction <p (x, y) qui satisfera à cette équation, pourra servir de multiplicateur à l’équation proposée.

Supposons que la fonction proposée soit du second ordre , c’est-àdire,/ (x, y, /, y), l’équation de condition, poyr qu'elle soit une dérivée exacte, sera

Il est d’abord évident que, pour que cette équation puisse être identique, il faut que la valeur de f (y“) ne contienne point y" ; car, si elle contenait y’, la valeur de [f (y") ]* contiendrait y" ; mais les termes précédens ne peuvent contenir que y, y', y“ et y'"; donc le terme contenant y““ ne pourrait pas être détruit.

La fonction proposée ne pourra donc être que de la forme

On aura ainsi, en comparant avec la formule générale f (x,y, y', y"), f (y) = (y) -t- /<p' (y),

f (y) = <p (x, y, y'); et l’équation de condition sera

or, <p' (x, y, y') = <p’ ,(x) (y) -+- y <p' (y) ;

donc , <p" (x, y, y' J = [<? (x)l' -+- />'<?' (yJJ'-+- [ y <p' (y')J' :

par cette substitution, l’équation de condition deviendra

Supposons, pour abréger,

la caractéristique dénotant une fonction connue de x , y, y', puisque» effet cette expression ne contient que les trois variables x, y, y' ; on aura l’équation

mais <b'(x , y, /) = «I»' (x) -+- /«&' (y) -t- /<$' (f); donc l’équation deviendra