XII . 1 Cahitr. ’ V

Or, il est visible que la quantité y’ n’entre point dans les fonctions dérivées ■>}/ (y)> ( x )> puisqu’elle n’entre point dans les fonc-

tions représentées par les caractéristiques^, ç et $} donc, pour que l’équation puisse être identique , il faudra que les termes multipliés par y" disparaissent ; par conséquent l’équation de condition sê partagera nécessairement en ces deux-ci :

qui devront avoir lieu séparément , pour que la fonction proposée

soit une fonction dérivée exacte.

Supposons, comme plus haut, que cette fonction soit ;

on aura

Donc

2 xy ~

Donc $ (x, y, y'} = -t J, y

et de là, d>' (x) = y , »' (y) = - »' (W = ÿ

Ainsi les deux équations de condition' deviendront .

qui sont, comme l’on voit, identiques.

• y Jt y y x ,

La fonction proposée — — -4- , sera donc une déri-

vée exacte ; et en effet elle est ia^lérivde de la fonction comme on

l’a déjà vu.

En général, il est facile de prouver que l’équation de condition

r (y) - if (y')J' -+- if (y )f = o

ne saurait être identique, à moins que la plus haute des fonctions dérivées y', y", &c. , qui entrera dans la fonction f (x, /, y", Ikc.) , n’y soit qu’à la première dimension, afin qu’elle disparaisse dans la fonction dérivée qu’on prendra relativement à cette même dérivée de y. D’où il suit que si la fonction proposée est de l’ordre //, elle ne pourra être une fonction dérivée exacte, à moins qu’elle ne soit de la "forme

Ensuite on peut prouver aussi que, de même que pour les fonctions du second ordre, l’équation de condition se décompose en deux, qui doivent avoir lieu à-la-fois ; pour les fonctions du troisième ordre elle se décomposera en trois, et pour les fonctions du quatrième ordre elle se décomposera en quatre , et ainsi de suite.

Si la fonction proposée V contetwit non-seulement les variables x, y avec les dérivées y', y", &c., mais de plus, une autre variable £, fonction indéterminée de x avec ses dérivées j', j", &c. , on ferait , par rapport à cette dernière variable, des raisonnemens et des opérations semblables à celles qu’on a faites relativement à la variable y, et on parviendrait à une équation de condition pour j, entièrement analogue à celle qu’on a trouvée pour y. * * '

Ainsi pour qu’une fonction quelconque de x, y, de la forme f (x, y. y', y", &c., z , ■£, z , &c.), soit une fonction dérivée exacte d’une fonction de l’ordre inférieur , indépendamment d’aucune relation particulière entre x, y et on aura les deux équations de condition

f (y) - w mr -+- if (/) t - if (f) r -+- &<=. = o . .

et réciproquement ces deux équations ayant lieu identiquement, on sera assuré que la fonction proposée sera une fonction dérivée exacte , quelles que soient les fonction^ et

Enfin, on trouverait facilement , par la même méthode, les conditions nécessaires pour que la fonction proposée fût une fonction dérivée du

second ordre ou d’un ordre supérieur.

Pour cela il faudrait que la fonction primitive de V fût elle-même

une fonction dérivée. Or,* on a trouvé que cette fonction primitive est représentée par

(P — Q! - 4 - R a — Sic «-+- (Q — /?'-+- & c.) (R — Scc.) «' - 1 — ôte.

Mettons, pour plus de simplicité, cette formule sous la forme pu tq u' -+- r u“ -+- &c. ,

et changeons, par les procédés qu’on a vus plus haut, le terme q c/ dans son équivalent (q u/ — q' », le terme ru" dans son équivalent (ru')’ — ( r ‘ u / r" u, et ainsi de suite, la formule dont il s’agit deviendra

(p — q' -\-r H — Sic.) u — | — f q u)' i— (r' u / -+- &c. -t- (r c*')’ — &c.,

dans laquelle tous les termes, excepté le premier, sont déjà des fonctions dérivées exactes ; ainsi il faudra que la formule (p — q' -+- r" — ôcc.^ u, soit une fonction dérivée exacte ; ce qui ne pouvant être , à cause de la variable indéterminée u, il faudra que cette formule devienne identiquement nulle;. ce qui donnera" l’équation de condition

p — — q' -t- r" — &c. = o, laquelle, en remettant les valeurs de p, q, r, Sic., devient P — 2 Q' -t- 3 R“ — &c. •= o.

Donc, pour que la fonction

soit une fonction dérivée exacte, du second ordre, c’est-à-dire, une

•ANALYSE. f £7

fonction dérivée d’une fonction dérivée indépendamment d’aucune relation particulière entrq»jf et y, on aura relativement à y, outre la première équation de condition, encore celle-ci *.

r (f) - * [f (y) r -+■ 3 [f (nr - &c. = o.

Et l’on en aurait une pareille relativement à j, si la fonction proposée contenait aussi £, z'.z", & c.

On trouverait de même , pour que la proposée fût une fonction dérivée du troisième ordre, cette troisième équation de condition, relativement à y , '

y (y) - 3 [f (nr * tr (nr - &«• = ° ;

et ainsi du reste.

Enfin, si on suppose qu’on n’ait pour la détermination d’une fonction u, qu’une équation d’un ordre quelconque entre x , y, u et les fonctions dérivées dey el u, et qu’on demande les conditions nécessaires pour que u soit une fonction de x, y, y', y", &c. d’un ordre inférieur, indépendamment d’aucune relation entre .v et y, le problème pourra toujours se résoudre par les mêmes principes et en suivant la même méthode.

Soit V qp o l’équation donnée; supposons qu’à la place dey, on substitue tant dans u que dans V, y -+- u, et ainsi y' - 4 - u', f -f- a", &c. , à la place de y', y", &c. , u étant une fonction indéterminée de x, et qu’on développe ensuite suivant les puissances et les produits de u, u', u" , &c., la fonction u deviendra

u -+- u -h- u -f- u Sic.,

et la fonction V deviendra pareillement

où je dénote, comme je lai fait plus haut, par u et V la totalité des

termes du développement de u et de V, dans lesquels u, c/, Sic., ne sont

qu’à la première dimension ; par « et V, la totalité des termes de ces déveioppemens, dans lesquels u, u', &c., forment deux dimensions; et ainsi de suite.

Donc, si au lieu de. substituer y u, / u, y" H- u“, &c., à la place de y, y', y". Sic . , on y substituait y % ~+-^mu, y' -f- mu', y" -t- mu“ Sic., m étant une constante quelconque, les fonctions u et V deviendraient

* u mu — m 1 u — (— m’a —J— Sic . ,

mV

mW

Sic.

et l'équation V o donnerait cette transformée :

V — t— m V — t— m x V -I— mW — t— &c. = o, laquelle, à cause de V = o, se réduirait, en divisant par m, à

V -H— mV -f- m 1 y — f- &c. — o; et comme m est une constante arbitraire qui peut avoir une vkleur

quelconque, il s’ensuit qu’on aurait séparément l’équation, V — o. Supposons maintenant, par exemple,

il est clair que la fonction u ne pourra contenir que x, y et / ; car si elle contenait , li contiendrait y'"; ainsi l’équation V = o devrait contenir y’"; par conséquent V devrait contenir y'" contre l’hypothcse.

Maintenant, puisque y et u sont les parties du développement de V et de u, qui contiennent les premières dimensions de u, u 1 , u", il est facile de voir qu’on aura

V=uf (y J -f- u'f (/) — t— uTf (f) ùf (u) -f- u'f (u'). •

D’un autre côté^ il est visible que u ne peut être que de la forme

u — A u . ■ | — Pu, .

N et P étant des fonctions de x, y, y, sans u.

De là on aura

Substituant ces valeurs dans l’équation V = p, et ordonnant les termes suivaris â, u', &c., on aura

• « ir (y) -+- n f ( U ) -+- n' p (u')j

[f (y) + Pf WJ = o.

La fonction o> devant demeurer indéterminée , il faudra que les cœfficiens de u, u , u , soient nuis chacun en particulier, ce qui donnera ces trois équations :

P (y) -H Nf (“) H- N' P (u'J = o,

/'. (y') H- Pf H H- (N -4- />'/ f (W) = o,

/' OV h- W = o.

d’où, par*l’élimination des deux quantités TV et /*, on tirera une équation qui sera l’équation de condition cherchée.

En effet, la dernière équation donne

ensuite la seconde donne

Pf (u)

et, substituant ces valeurs dans la première,

on aura l’équation de condition nécessaire pour que la quantité u puisse être une simple fonction dex, y, y', indépendamment d’aucune relation particulière entre x et y. On voit que la méthode est générale, quelles que soient les fonctions dérivées de y et u, qui puissent entrer dans l’équation V =r o.

Si cette équation ne contenait de dérivées que / et u', on aurai* alors/' (y") = o; donc P = o; donc

et l’équation de condition serait

*rw = o.

l6o% ' ANALYSE.

Supposons , poqr plus de simplicité, que l’équation V =r o soit réduite à cette forme

u' -+- /<?> (u, x,y) -+- 4” (u, x, y) o, en sorte que i’on ait

en prenant les fonctions dérivées relativement aux quantités/,/, u, u', on aura . A

'Ainsi l’équation de condition, pour que la quantité u, 3éterminée par cette équation, prisse être une fonctionne x, y, sera

or, <p' ( u , x. y) — i/<p' (ù) -y- qf (x) -+-/<?' (y)

Donc, faisant cette substitution, on aura 4' (y) — u'# (u) — <?' (x) — [/<?' (u) H- 4' (“)] * <P (u. x ,y) =r o;

mais l’équation proposée donne

«'== — /? (u, x, y.) — 4 # (u, x.y); si on substitue cette valeur, les termes affectés de / se détruisent, et l’on aura l’équation •

/est l’équation de condition connue, pour que l’équation dérivée à trois variables ,

«' -+-/<? (u. x, y.) -4- 4 (u, x, y,) = o, admette une équation primitive entre u , x et y; et il est évident, en effet, que le problème général que nous avons résolu revient, dans ce cas, à ce que cette équation ait una*équation primitive indépendamment d’aucune relation entre et y.

On

On peut, au reste, déduire ia solution de ce dernier problème, de la considération de l’équaticyt

en y regardant u comme une fonction de x et y; car, en supposant u — F (x, y), on aura u’ r= F' (x, y), et il faudra que la quantité

soit une fonction dérivée exacte ; par conséquent , par l’équation de condition trouvée plus haut, la fonction dérivée de 4 0 l > x, y), relativement à y, devra être égale ou plutôt identique avec la fonction dérivée de <p (u, x, y), relativement à x. Or, puisque u est une fonction de x et y, dont les fonctions dérivées relatives à. x et y sont représentées par F' (x) et F' (y), il est facile de voir que la fonction dérivée de 4 (u, x, y,), relativement à y, sera 4 ' (y) h- 4 ' (•) « F' (y).

et que la fonction ‘dérivée de < ? (u, x, y), relativement à x, sera

<f>' (x) -+- <f>' (u) x F' (x). Ainsi on aura l’équation de condition

Mais, puisque u = F(x, y), on aura

donc F' (x) = — 4 ( u >x,y) et F' (y) — — <p(u,x,y);

substituant ces valeurs dans l’équation précédente , on a la même équation de condition trouvée par la première méthode.

Après avoir donné les conditions nécessaires pour qu’une fonction ou équation, dérivée d’un ordre quelconque, ait une fonction ou équation primitive, il conviendrait d’exposer les méthodes particulières par lesquelles on peut , dans différens cas , préparer ou transformer une équation dérivée , de manière qu’elle devienne susceptible d’mie équation primitive.

Mais il serait trop long d’entrer dans le détail de ces méthodes; on peut les voir dans les^traités connus sur le calcul, intégral ; et nous en avons indiqué les principales dans la Théorie des Fonctions (n.° 64 et suiv.)

XIL* Cahier. X

11 y a cependant une espèce d’équations primitives qui semblent échapper à la théorie générale, et qui mérÿent une considération par- • ticulière, tant par elles-mêmes que par l’analyse dont elles dépendent. Nous allons en faire l’objet de la leçon suivante.