CONTINIMTION DE LA LEÇON VINGTIÈME

Équations dérivées à plusieurs Variables. Théorie de ces Équations.

Alét /iodes générales pour trouver les Équations primitives des

Equations du premier ordre.

Considérons d’abord une équation quelconque entre les trois variables x, y et g, par laquelle g soit une fonction déterminée de x et y.

Représentons cette équation par F(x, y, g) — o, et supposons, poor un moment, que x et y soient des fonctions données d’une même variable t, alors z sera aussi une fonction de t dépendaiye de l’équation proposée ; et par la théorie des équations dérivées exposées dans les leçons précédentes, non-seulement la fonction F(x,y, z) sera nulle, mais encore ses dérivées F'(x, y, z)> F" (x, y, z) > &c.„ prises relativement à t, seront milles. ’

Or, en conservant la notation de la leçon sixième, on a

F'(x> y . l) — x! F' (x) -+- y' F' (y) H- g! F' (g); dans cette formule x',/, z' < sont les fonctions dérivées de x, y, z, par rapport à t, et F' (x), F' (y), F' (g), sont les fonctions dérivées de F (x, y, z)> prises par rapport à chacune des variables x, y, g en particulier. .

Ainsi l’équation F (x, y, g) r= o donnera celle-ci,

Mais, en considérant g comme fonction de x et y, on a ï — x'g'> -4- / g’’; donc , substituant , on aura

Pour que les fonctions x et y de/, demeurent indéterminées, il faudra que leurs fonctions dérivées x' et y disparaissent de l’équation précédente; ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant les deux équations séparées

Il est visible que ces deux équations ne sont autre chose que' les dérivées de l’équation primitive F(x, y, z) — o, prises séparément par rapport à x et par rapport à y.

En effet , puisque dans cette équation les deux variables x et y sont essentiellement indépendantes entre elles, ses dérivées par rapport à x et par rapport à y auront lieu chacune en particulier. Or, la variable z étant, par cette équation, une fonction de x et y, dont les fonctions dérivées sont z’ par rapport à x seul, et pjr rapport à y seul, il est clair que la dérivée de F(x,y, z) sera F' (x) z!" F' (z) par

rapporta x, et quelle sera F' (y) -+- Z’' F' (z) par rapport à y; de sorte que l’équation primitive F(x,y, z) — 0 donnera ces deux dérivées indépendantes,

lesquelles serviront à trouver les valeurs des fonctions z'' Ç* Z’ > et l’on aura

Ayant ainsi les valeurs des deux premières fonctions dérivées de z> on en déduira celle des fonctions secondes g"', j''', z’" > en prenant* les dérivées de j'' et j'' par rapport à x et y ; et ainsi de suite.

Il suit de là que l’équation primitive F(x, y, z) — o ayant lieu, ses deux dérivées

‘F’ (x) -+- t'F’(l) = o, et F’ (y) -+- V' F' ( Z ) = o

a^ont lieu aussi en même temps; par conséquent une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi , et pourra tenir lieu de l’équation primitive. •

Ainsi une équation entre x, y, et les deux dérivées •£’, ou

par rapport à x et y , sera une équation du premier

ordre à trois variables, à laquelle répondra nécessairement une équa-

tion primitive en x, y,-

Soit, par exemple, l’équation *

M et N étant des quantités constantes.

Son équation primitive sera

1 — Nx = <p (y — Aix),

la caractéristique <p dénoiant une fonction quelconque.

En effet, si on prend les fonctions dérivées par rapport à x, on a

Z’ — ,N = — Mç' (y — Mx);

et si on prend ces fonctions par rapport à /, on a j*' — <p' ( y — Mx) ; de sorte qu’en éliminant la fonction dérivée < p' on a l’équation dérivée proposée

Z'- -4- AJ z'' — N — o.

Considérons l’équation générale de la même forme, dans laquelle AJ et jY soient des fonctions quelconques données de x. y, j.

Supposons que F (x, y, z) — o soit son équation primitive, on aura, par ce qu’on a vu ci-dessus.

donc, substituant ces valeurs dans l’équation proposée, et multipliant tous les termes par F' (z), on aura, en changeant les signes,

F (x) M F' (y) H- NF'(z) — o. ' ’

Or on a, en général, comme on l’a vu,

en regardant x, y, z comme des fonctions quelconques d’une autre variable t ; donc, substituant dans cette formule, à la place de F' (<),

sa valeur tirée de i équation précédente, savoir, — MF'' (y) — NF'fc), on aura

F'(x, y, Z ) = (/ ~ x'M) F' (y) ( Z ' - x' NJ F'( Z J.

On voit, par cette expression de la fonction dérivée F'fx^y, Z ), que cette fonction deviendra nulle si 011 établit entre les trois variables x, y, i des relations telles, que l'on ait ces deux équations particulières

* ’ y' — Mx' — o, z' — Nx' o.

Ces équations étant entre les trois variables x, y, Z , serviront à déterminer les valeurs de ces variables en fonctions de la troisième; de sorte que, par la substitution de ces valeurs, la fonction F(x,y, Z ) deviendra aussi une fonction de cette troisième variable. Donc, puisque sa fonction dérivée doit alors devenir nulle, il s’ensuit que la variable doit disparaître d’elle-même, et que la fonction F(x> y. zJ ne pourra contenir, après cette substitution, que des constantes.

Or, les deux équations^' — x' AI o, Z ' — y' N o, étant du premier ordre fleurs équations primitives contiendront deux constantes arbitraires que nous' désignerons par a et b. En effet, si de ces deux équations on veut éliminer, par exemple, la variable Z , on tombera dans une équation du second ordre en x et y, dans laquelle on pourra faire x' = 1 , ou y' = 1 , suivant qu’on voudra regarder y comme fonction de x, op x comme fonction de y; et cette équation aura pour équation primitive, une équation en x et y, avec deux constantes arbitraires.

■ Ensuite, on aura aussi Z en fonction de x et y par l’une des deux équations proposées.

Il s’ensuit de là qu’après la substitution des valeurs de^ et Z en x, tirées des deux équations du premier ordre dont il s’agit , la fonction F(x, y, 1) ne contiendra plus que les constantes a et b avec les constantes contenues dans les quantités M et N; de sorte quelle deviendra simplement une fonction de <; et que nous désignerons par «I >(a, b). ■ - ' 1 •> 1 / v .

Par conséquent l'équation primitive F(x, y,z) r=s o se réduira à b)z=zo, par laquelle on voit que l’une des constantes a et b sera fonction de l’autre.

Mais à la place des constantes a et b, on peut mettre leurs valeurs en x,y, tirées des deux équations primitives, où elles entrent comme arbitraires. Donc , si on désigne par P et (£ ces valeur^ de a et b, l’équation primitive de la proposée deviendra

la fonction désignée par étant arbitraire.

11 résulte de là une méthode générale pour trouver l’équation primitive d’une équation quelconque du premier ordre , à trois variables x, y, 1, dans laquelle les deux fonctions dérivéeî de la variable, qui est censée fonction des deux autres, ne se trouvent qu’à la première dimension, telle que

* l'> -+- Mi'' = N,

ou, ce qui est la même chose,

r-f; 4- m (iL) = n, •

M et N étant des fonctions quelconques de x, y, £. On fera ces deux équations

/ — Mx’ — o, 1' — N x' ^ o,

dans lesquelles on peut supposer l’une des trois fonctions dérivées x', y', z' égales à l’unité suivant la variable qu’on voudra regarder comine principale, et dont les deux autres serontrensées des fonctions; et ayant trouvé , s’il est possible , les deûx équations primitives de ces équations , on en déduira les valeurs ,P et Q des deux constantes arbitraires a et b qu’elles doivent renfermer : on aura alors «b (P, Q) — o pour l’équation primitive cherchée; d’où résulte Q — ÇP, la caractéristique <p désignant une fonction quelconque de Q,

L’analyse précédente est plus simple et plus directe que celle que j’ai donnée dans la Théorie des fonctions (n.° 1 o 1 ) ; c’est ce qui m’a

engagé

engagé à la mettre ici , d’autant quelle s’applique avec la même facilité aux équations semblables entre un plus grand nombre de variables. Dans les mémoires de Berlin de 1 779 , je m’étais contenté de prouver à posteriori la légitimité et la généralité de cette méthode.

9 Considérons de la même manière l’équation à quatre variables t, x, y, z> de la forme

(±r) ■+• L (SL) -t- M (JL) — N,

L, M, N, étant des fonctions quelconques de t, x, y, j.

Si on représente son équation primitive par F (t, x, y, 1) = o,

sa fonction dérivée F' (t, x, y, z) sera, en général,

• t'F(t) -t- x'F'(x) y' F’ (y) h- z'F'(z), et l’on aura, relativement à chacune des variables t, x ,y en particulier, les équations

F' (ï) -H (jr-) F' ( Z ) = o,

Tirant de ces équations les valeurs des fonctions ( — —), (—r), (—r)>

et les substituant dans l'équation proposée, elle deviendra, après la multiplication par F' (z) > et le changement des signes,

F' (t) LF'(x) h- MF' (y) -h N F' (z) = o; d’où l’on tire

F m (t) = - LF’ (x) - MF' (y) - N F' ( z ).

Cette valeur de F' (t) étant substituée dans celle de F' (t, x, y, z). on aura

F' (t, x, y, Z ) = (x' — t'L) F' (x) - 4 - (f - t' M) FJ (y)

XI 1 / Cahier. O o

Si donc on introduit entre les quatre variables t, x , y, z les relations déterminées par les trois équations

x' — 1' L = o, y' — t' AI =0, 1' — t' N — o ,

la fonction dérivée F' (t, x, y, z) deviendra nulle; par conséquen^ la fonction primitive F(t, x, y, z) ne pourra contenir que des constantes.

Or les trois équations dont il s’agit étant du premier ordre, auront trois équations primitives qui contiendront trois constantes arbitraires a, b, c, et par lesquelles trois des variables t, x, y, z pourront être déterminées en fonctions de la quatrième. Donc, si dans la fonction F (t, x, y, 1) on substitue les valeurs de ces variables, il faudra que la variable restante disparaisse d’elle-même, et la fonction ne pourra plus contenir que les mêmes constantes a, b, c, avec les constantes qui entreront dans les expressions de L, M, N. De sorte qu’aprcs cette substitution , la fonction F (t, x , y, z) deviendra nécessairement de la forme 0>(a, b, c).

Or les trois équations primitives dont il s’agit , déterminent les valeurs de a, b, c, en fonctions des variables t, x, y, g; de sorte qu’en désignant ces fonctions par P, Q, R , on peut mettre ces équations sous la forme

Donc la fonction F (t, x, y, z) devra être de la forme Q>(P, Q, RJ , puisqu’il n’y a que cette forme qui puisse devenir fonction de a, b, c, en vertu des trois équations primitives P — a, Q — b, R — c. Donc l’équation primitive F (t, x ,y, z) = o deviendra <t>(P, Q, RJ = o, par laquelle on aura R = <p (P, Q), la caractéristique <p désignant une fonction quelconque de P et Q.

Ainsi 1 .° l’équation du premier ordre à trois variables

(JL) M (-£-) = N,

dépend des deux équations du premier ordre entre les mêmes variables y' — x' M o, z' — x ' N = o;

et si P — a, Q ■=. L, sont les équations primitives de celles-ci, a ci b étant les constantes arbitraires , l’équation primitive de la proposée sera Q = <pP, <pP étant une fonction quelconque de F.

2° L’équation du premier ordre à quatre variables